1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 101
Текст из файла (страница 101)
(17) <Действительно, (Г', ~о) = — (Г', у') = — Г(х)ю'(х) с(х = О -~-оо =-(Г -Г )01 м(*О'.=-(о ~х.н'.= — со О О .~. 00 Г с(*м( )~ +о ин )~ — Г г( )ш! )й ) = — ОО О = (л~-о) — л-О)р(о) ~ Г' у'( )р( )ш = = (ГГ"(0) . д,ср) + ((Г'),1о). > Г'(~) = 1Г'(об) + Г Г(0) б(~ 1) + Г~'(О) о(~ 2) +... . + ГГ( 1)(0) о. (18) Укажем теперь некоторые свойства операции дифференцирования обобщенных функций. Утверждение 6.
а) Любая обобщенная 4ункция г' Е Р' бесконечно ди44еренцируема. Если все производные до порядка т функции Г": И -+ С на промежутках х < 0 и х > 0 существуют, непрерывны и имеют односторонние пределы при х = О, то, повторяя проведенное при выводе формулы (17) рассуждение, получим 14. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ Ь) Операция В: Р' — > Р' дифференцирования линейна.
с) Если Г Е Х>', д Е С(~~, то (Е д) б Р' и справедлива формула ,Лейбница (Е д)~ ~ =~ С"-Е~'~ д~ -"~. ь=в с1) Операция В: Р' -+ Х>' дифференцирования непрерывна. е) Если ряд ~ , 'Ях) = Я(х), составленный иэ локально интеерируЬ=1 емых функций К: 2 — 1 С, сходится равномерно на каждом лежащем в К компакте, то в смысле обобщенных функций езо можно дифференцировать почленно любое число раэ, и получаемые при этом ряды будут сходиться в П'. м а) (г1 ),~р):= — (г1"' 11, р'):= ( — 1) (Е,~р1 )).
Ь) Очевидно. с) Проверим формулу при т = 1: ((Е д)', р):=-(Ед,4):=-(Ед 1о) =-(Е,(д-~)'-д' д) = =(Е',др)+(Е,д' р) = (Г'.д, р)+(Е.д', р) = (Г' д+Е.д', р). В общем случае формулу можно получить теперь методом индукции. с1) Пусть Е„-+ Г в Х1' при т — > оо, т.е. для любой функции ~р б Н "ь1(Г,~р) — 1 (г,1о) при т — 1 оо. Тогда е) При указанных условиях сумма Я(х) ряда как равномерный на компактах предел локально интегрируемых функций Я (х) = ~; Ях) Ь=1 сама является локально интегрируемой. Остается заметить, что для любой функции ю Е '11 (т. е. финитной и бесконечно дифференцируемой) имеет место соотношение (Я,у) = Я (х)~рдх-+ Я(х)~р(х)дх = (Я,у).
Теперь на основании доказанного в с1) заключаем, что Я' -+ У при т-+ос. > ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 552 Мы видим, что, сохраняя важнейшие свойства классического дифференцирования, операция дифференцирования обобщенных функций приобретает ряд новых замечательных свойств, открывающих большую оперативную свободу, которой не было в классическом случае изза наличия там недифференцируемых функций и неустойчивости (отсутствия непрерывности) классического дифференцирования относительно предельных переходов. с1. Фундаментальное решение и свертка.
Мы начали этот пункт с интуитивных представлений о единичном импульсе и аппаратной функции прибора. В примере 7 была указана простейшая механическая система, которая естественным образом порождает линейный оператор, сохраняющий сдвиги по времени. Рассматривая ее, мы пришли к уравнению (11), которому должна удовлетворять аппаратная функция Е этого оператора. Мы закончим пункт, снова вернувшись к этим вопросам, но теперь с целью продемонстрировать их адекватное математическое описание на языке обобщенных функций. Начнем с осмысления уравнения (11). В правой его части стоит обобщенная функция б, поэтому соотношение (11) следует трактовать как равенство обобщенных функций.
Поскольку нам известны операция дифференцирования обобщенных функций и линейные операции над распределениями, то левая часть уравнения (11) теперь тоже понятна, даже если ее трактовать в смысле обобщенных функций. Попробуем решить уравнение (11). При 1 ( 0 система находилась в покое.
При 1 = 0 точка получила единичный импульс, поэтому в момент 1 = 0 она приобрела такую скорость е = с(0), что те = 1. При ~ ) 0 на систему не действуют внешние силы и ее закон движения х = х(1) подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению тх+кх=О, (19) которое следует решать при начальных данных х(0) = О, х(0) = 1/т. Такое решение единственно и немедленно выписывается: в 4. сВеРткА ФУнкЦий 553 Поскольку в нашем случае при 1 < 0 система покоится, то можно заключить, что (20) где Н вЂ” функция Хевисайда (см. пример 13).
Проверим теперь, пользуясь законами дифференцирования обобщенных функций и результатами рассмотренных выше примеров, что задаваемая равенством (20) функция Е(1) удовлетворяет уравнению (11). Для упрощения записи проверим, что функция (21) е(х) = Н(х) удовлетворяет в смысле теории распределений уравнению (22) — +щ е=д. Действительно, <Р ~(з яп юх з яп ых = Н + 2Н сових — щН(х) в1пюх+ „япых ,янах + юН(х) в1пюх = Б' + 2бсових. Далее, для любой функции ~о Е Р ,в1пих l, япых Б' +2бсовшх,у) = (д', у)+(6,2(сова~х)р) = — 6,— ~р +2у(0) = — (сових)~р(х) + ~р'(х)~ + 2р(0) = у(0) = (Б,~р), щ l к=а тем самым проверено, что функция (21) удовлетворяет уравнению (22).
Введем, наконец, следующее ГЛ. ХЛ»П. ИНТЕГРАЛВ1, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 554 Определение 9. Фундаментальным решением или функцией Грина (аппаратной функцией или функцией влияния) оператора А: 'Р— 4 Р' называется такая обобщенная функция Е Е Р', которая под действием оператора А переходит в функцию в' Е»»', т. е. А(Е) = в. Пример 1Т. В соответствии с этим определением функция (21) является фундаментальным решением для оператора А = ~ — + ь» ~, 21 — 4х2 поскольку она удовлетворяет уравнению (22). Функция (20) удовлетворяет уравнению (11), т.
е. является функци- ~2 ей Грина для оператора А = (т — + й). Фундаментальная роль апня паратной функции оператора, сохраняющего сдвиги, уже обсуждалась в п. 1, где была получена формула (1), на основании которой можно теперь записать соответствующее указанным в примере 7 начальным условиям решение уравнения (10): +со Гь в(п Л~ — т х(1) = (~ * Е)(1) = ~(1 — т)Н(т) дт, х(1) = / 1(1 — т) вш1~ — тдт. ,ы l о (20) Задачи и упражнения 1. а) Проверьте ассоциативность свертки: и * (и * и») = (и * и) я и». Ь) Пусть, как всегда, Г(а) — гамма-функция Эйлера, а Н(х) — функция Хевисайда.
Положим х Н» (х):= Н(х) — е *, где а ) О, а Л й С. Г(а) Покажите, что Н„* НВ = Н ьВ. Учитывая продемонстрированную важную роль свертки и фундаментального решения, ясно, что желательно определить также свертку обобщенных функций. Это делается в теории распределений, но мы на этом останавливаться не будем.
Отметим лишь, что в случае регулярных распределений определение свертки обобщенных функций равносильно рассмотренному выше классическому определению свертки функций. 2 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 555 х"-' Л, с) Проверьте, что функция Е = Н(х)~- *†-~е * является и-й сверточной степенью функции з = Н(х)е"', т. е. Е = у * у *... * у. 2 2. Функция С (х) = е 2, а > О, задает плотность распределения 1 о222~г вероятностей в гауссовском нормальном законе распределения вероятностей. а) Нарисуйте график функции С (х) при различных значениях параметра о. Ь) Проверьте, что математическое ожидание (среднее значение) случайной величины с распределением вероятностей С, равно нулю (т.
е. ( хС (х) дх = и = 0). с) Проверьте, что среднее квадратическое уклонение величины х от своего 11'2 среднего значения (дисперсия х) равно о (т. е. () х2С„(х) дх) = 12). 2и а) В теории вероятностей доказывается, что плотность вероятности суммы двух независимых случайных величин является сверткой плотностей распределения вероятностей самих этих величин.
Проверьте, что С ь Ся =С ~/о2 ЬЗ2' е) Покажите, что сумма п однотипных случайных величин (например, п независимых измерений одного и того же объекта), распределенных по нормальному закону Св, распределена по закону С, „-. Отсюда, в частности, следует, что ожидаемый порядок погрешности среднего арифметического и таких измерений, взятого в качестве значения измеряемой величины, равен о(,/й, где о — вероятная погрешность отдельного измерения. 3.
Напомним, что функция А(х) = ~ а„х" называется производящей у1унн=о киией последовательности ао, а1,... ПУсть Даны Две послеДовательности (аь), (Ьь). Если считать, что аь = = Ьь = 0 пРи Ь < О, то свеРткУ последовательностей (аь), (Ьь) естественно определить как последовательность сь = ~ а Ьь . Покажите, что производящая'функция свертки двух последовательностей равна произведению производящих функций этих последовательностей. 4.
а) Проверьте, что если свертка и 2 и определена и одна из функций и, о, периодична с периодом Т, то и * о — тоже Т-периодическая функция. Ь) Докажите теорему Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной периодической функции тригонометрическими полиномами (см. замечание 5). с) Докажите усиленные варианты аппроксимационной теоремы Вейерштрасса, указанные в замечании 4. 5. а) Пусть компакт К С К содержит строго внутри себя замыкание Е множества Е из утверждения 5.
Покажите, что в этом случае ( у(у)2зь(х— к 556 ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА — у) ду Л 1(х) на Е. Ь) Из разложения (1 — г) ~ = 1 + х + 22 +... выведите, что д(р, В) за = — 1- +ВЕ = 1 + реез + рге'го +... при О < р < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
