1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 111
Текст из файла (страница 111)
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 610 В уравнении (24) независимые переменные х и 1 оказались в разных его частях (разделились), поэтому обе части на самом-то деле должны представлять некоторую, одну и ту же, постоянную Л. Если учесть еще граничные условия Х(0)Т(1) = Х(г)Т(1) = О, которым должно удовлетворять рассматриваемое нами решение специального вида, то его отыскание сводится к одновременному решению уравнений То(1) = Ла Т(1), Хо(х) = ЛХ(х) (25) (26) при условии, что Х(0) = Х(1) = О. Легко написать общее решение каждого из этих уравнений в отдельности: Т(1) = Асов~ГЛа1+ Ввгп1/Ла1, Х(х) = Ссов 1ггЛх+ Ряп1/Лх.
(27) (28) Если мы попытаемся удовлетворить условиям Х(0) = Х(() = О, то получим, что при Л ~ 0 должно быть С = 0 и, отбросив тривиальный случай Р = О, получаем, что яп ~ГЛ1 = О, откуда ~/Л = ~пя/г, и Е 1Ч. Таким образом, в уравнениях (25), (26) число Л, оказывается, можно выбирать только среди некоторой специальной серии чисел (так называемых собсгпвенных чисел задачи), Л„= (пх/г)2, где п Е Ы Подставляя эти значения Л в выражения (27), (28), получаем серию специальных его решений / яа яа х и„(х,1) = япп — х ~А„сова — 1+ В„вгпн — 1(, (29) удовлетворяющих граничным условиям и„(0, 1) = и„(1, 1) = 0 (и описывающих стоячую волну вида Ф(х) яп(го1+ д), в которой каждая точка х е [О, 1[ совершает простые гармонические колебания со своей амплитудой Ф(х), но одной и той же для всех точек частотой го).
Величины го„= п-~~, и е И, по естественной причине называют собственными частотами струны, а ее простейшие гармонические колебания (29) — собственными колебаниями струны. Колебание и1(х,1) с наименьшей собственной частотой называют основным тоном струны, а остальные ее собственные колебания и2(х,1), из(х,1), ... называют обертоналги (именно обертоны создают характерную для данного музыкального инструмента окраску звука, называемую тембром). 11. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ б11 Мы хотим теперь представить искомое колебание и(х, 1) в виде суммы 2 и„(х,1) собственных колебаний данной струны. Граничные услов=1 вия (22) при этом автоматически выполнены, и надо только позаботиться о выполнении начальных условий (23), которые означают, что у(х) = ~~> А„ыпп — х в=1 (30) и Полезно заметить, что возникшие из уравнения (26) функции ( в1пп1х; и Е М) можно рассматривать как собственные векторы ли,нг нейного оператора А = —, отвечающие его собственным значениям ~ 2' А„= и —, которые появились из условия, что оператор А действует на пространстве функций класса С(э~[0, 1], обращающихся в нуль на концах отрезка [0,1[.
Значит, равенства (30), (31) можно трактовать как разложения по собственным векторам данного линейного оператора. Линейные операторы, связанные с конкретными задачами, являются одним из основных источников ортогональных систем функций в анализе. Напомним один известный из алгебры факт, вскрывающий причину ортогональности таких систем. Пусть е †линейн пространство со скалярным произведением (, ), а Š— некоторое (возможно совпадающее с е ) его подпространство, плотное в л. Линейный оператор А: Е -+ е называется симметрическим, если для любых векторов х,у Е Е выполнено равенство (Ах, у) = (х, Ау).
Так вот: собственные векторы симметрического оператора, отвечающие различным его собственным значениям, ортогональны. ~ Действительно, если Аи = аи, Аи = ~Ь и а ~ 13, то ка, к ф(х) = ~~> п — В„в1пп — х. (31) в=1 Таким образом, дело свелось к нахождению пока еще свободных коэффициентов А„, В„, или, что то же самое, к разложению функций ~р и ф в ряд Фурье по системе (в1пп1х; и б Ы), ортогональной на отрезке [О, 1[.
ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 612 а(и, и) = (Аи, с) = (и, Ао) = )3(и, и), откуда следует, что (и,о) = О. > Полезно теперь с этой точки зрения посмотреть на пример 3, где, в сущности, рассматривались собственные функции оператора А = у лг '( — + д(х)), действующего на пространстве функций класса з С12) [а, Ь], обращающихся в нуль на концах отрезка [о, Ь]. Интегрированием по частям можно убедиться в том, что этот оператор на указанном пространстве является симметрическим (относительно стандартного скалярного произведения (4)), поэтому результат примера 4 является конкретным проявлением отмеченного алгебраического факта. В частности, когда д(х) = О, из А получается оператор —, который 6 от~ при [а, Ь] = [О, 1] встретился нам в последнем примере 15.
Отметим также, что в рассмотренном примере дело свелось к разложению функций 9з и ф (см. соотношения (30) и (31)) в ряд по собствен- 4 ным функциям оператора А = —. Здесь, конечно, возникает вопрос о 4т принципиальной возможности такого разложения, эквивалентный, как мы теперь понимаем, вопросу о полноте системы собственных функций рассматриваемого оператора в выбранном пространстве функций.
Полнота в %2[ — н,я] тригонометрической системы (и некоторых других конкретных систем ортогональных функций) в явной форме, по-видимому, впервые доказана Ляпуновым1). В неявном виде полнота конкретно тригонометрической системы присутствовала уже в работах Дирихле, посвященных исследованию сходимости тригонометрических рядов. Эквивалентное полноте равенство Парсеваля для тригонометрической системы, как уже отмечалось, было обнаружено Парсевалем еще на рубеже Хк'1П-Х1Х веков.
В общей постановке вопросы полноты ортогональных систем и их приложения в задачах математической физики были одним иэ основных объектов исследований Стеклова2), ко- ОА. М. Ляпунов (1857-1918) — русский математик и механик, выдающийся представитель школы П.Л. Чебышева, творец теории устойчивости движения.
Успешно занимался различными областями математики и механики. ЮВ, А. Стеклов (1864 — 1926) — русский советский математик, представитель созданной П. Л. Чебышевым петербургской математической школы, основатель школы математической физики в СССР. Его нмя носит Математический институт Российской Академии наук.
11. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ торый и ввел в математику само понятие полноты (замкнутости) ортогональной системы. При исследовании вопросов полноты он, кстати, активно использовал метод интегрального усреднения (сглаживания) функции (см. Б 4, 5 гл. ХЧ11), который поэтому часто называется методом усреднений Стеклова. Задачи и упражнения 1. Метод наименьших квадратов. Зависимость у = ь'(хм...,х„) величины у от величин хм..., х„изучается экспериментально. В результате т (> п) экспериментов была получена таблица в строках которой указан набор (а'„аз,...,а'„) значений параметров хм хю..., х„и соответствующее ему значение Ь' величины у, измеренное прибором с определенной точностью. По этим экспериментальным данным требуется получить удобную для расчетов эмпирическую формулу вида у = ~ оьх,.
ь=1 Коэффициенты оп ою..., оо искомой линейной функции надо подобрать так, чтобы минимизировать величину среднего квадратич- ного уклонения данных, получаемых по эмпирической формуле, от результатов, полученных в экспериментах. Проинтерпретируйте этот вопрос как задачу о наилучшей аппроксимации вектора (Ьь,...,Ь'") линейными комбинациями векторов (а[,...,а',."), ь = = 1,..., п, и покажите, что дело сводится к решению системы линейных уравнений типа системы (18). 2. а) Пусть С[а, Ь] — линейное пространство непрерывных на отрезке [а, 6] функций с метрикой равномерной сходимости функций на этом отрезке, а Се[а,Ь] — то же линейное пространство,но с метрикой среднего квадратич- ь ного уклонения функций на этом отрезке (т.е.
д(у,д) = 1 [1 — д[з(х)дх ). 0 Покажите, что сходимость функций в С[а, 6] влечет их сходимость в Се[а, 6], но не обратно, и что пространство Се[а, 6] не является полным, в отличие от пространства С[а,Ь]. Ъ) Объясните, почему система функций (1,х,хз,...) линейно независима и полна в Се[а,Ь],но не является базисом этого пространства. ГЛ. ХЧП1.
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 614 с) Объясните, почему полиномы Лежандра являются полной ортогональной системой и даже базисом в Сз[ — 1, 1]. б) Найдите первые четыре члена разложения Фурье функции зшях на отрезке [ — 1, Ц по системе полиномов Лежандра. е) Покажите, что квадрат нормы []Р„[] в Сз [ — 1, 1] п-го полинома Лежандра равен 1 2 [ „(и+1)(п+ 2)...2п 2п+1 п~22и -1 1) Докажите, что среди всех полиномов данной степени и, с коэффициентом 1 при старшей степени переменной, полипом Лежандра Р„(х) является наименее уклоняющимся от нуля в среднем на отрезке [ — 1, 1]. к) Объясните, почему для любой функции у Е Сз([ — 1, 1],с) должно быть выполнено равенство 1 ~(х)Р„(х) Их -1 где (Рш Ры... ) — система полиномов Лежандра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
