1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 116
Текст из файла (страница 116)
В связи с полученными результатами сделаем несколько полезных замечаний. Замечание 8. Из теоремы 5 (и существенно использованной при ее доказательстве теоремы 3) можно легко и независимо от теоремы Фейера вновь получить аппроксимационную теорему Вейерштрасса, сформулированную в следствии 1. м Достаточно доказать ее для вещественнозначных функций. Используя равномерную непрерывность функции / на отрезке ~ — л, я], аппроксимируем / на этом отрезке равномерно с точностью до е/2 кусочно линейной непрерывной функцией»д(х), принимающей на концах 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 641 отрезка те же значения, что и 1, т. е.
со( — и) = 9э(я) (рис. 105). По теореме 5 ряд Фурье функции у сходится к у равномерно на отрезке [ — я, я]. Взяв частичную сумму этого ряда, уклоняющуюся от со(х) не более чем на е/2, получим тригонометрический многочлен, аппроксимирующий исходную функцию у с точностью до е на всем отрезке [ — я, н]. > Рис. 105. Замечание 9. Предположим, нам удалось представить функцию у, имеющую особенность — скачок, в виде суммы 1' = у+ф некоторой гладкой функции 111 и некоторой простой функции 1о, имеющей ту же особенность, что и у (рис. 106 а, с, Ь). Тогда ряд Фурье функции у окажется суммой быстро и равномерно сходящегося в силу теоремы 5 ряда Фурье функции г11 и ряда Фурье функции у.
Последний можно считать известным, если взять стандартную функцию со (на рисунке со(х) = — я — х при — я < х < 0 и у(х) = я — х при 0 < х < н). Рис. 106, Это наблюдение используется как в прикладных и вычислительных вопросах, связанных с рядами (лгетод А.
П. Крыловаг) выделения особенностей и улучшение сходимости рядов), так и в самой теории три- 0А. Н, Крылов (1863 — 1946) — русский советский механик и математик, внесший большой вклад в вычислительную математику и особенно в методы расчета элементов кораблей. ГЛ, ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 642 гонометрических рядов Фурье (см., например, явление Гиббса, опи- 1) санное в задаче 11).
Замечание 10 об интегрировании ряда Фурье. Благодаря теореме 5 можно сформулировать и доказать следующее дополняющее лемму 4 о дифференцировании ряда Фурье 'Утверждение 2. Если функиия 1: [ — к, и] -+ С кусочно непрерывна, то соогпветствие Г(х) ~, се(Г)емх после интеерирования превраи4ается в равенство где игтрих свидегпельствует об огпсутсгпвии в сумме члена с индексом гс = О; суммирование происходит по симметричным частичным суммам );, и при эгпом ряд сходигпся равномерно на отрезке [ — к, к]. < Рассмотрим вспомогательную функцию Е(х) = 1(1) й — со(1')х 0 на промежутке [ — к,к].
Очевидно, Е Е С[ — к, к]. Далее, Е( — и) = Е(к), поскольку К(к) — Е( — к) = ~(1)г)1 — 2ксо(~) = О, что следует из определения св(1). Поскольку производная г '(х) = у (х)— — св(1') функции Е кусочно непрерывна, ряд Фурье ~ сь(Е)е'~* функции Е по теореме 5 сходится к Е равномерно на отрезке [ — и, к].
По лемме 4 сь(Е) = ~"-(й —" при гс ~ О. По сь(К') = сь(~), если и ~ О. Записывая теперь равенство Е(х) = ~ сь(Е)е'~* в терминах функции 1 и учитывая, что Е(0) = О, получаем то, что и утверждалось. ~ ПДж. У. Гиббс (1839 — 1903) — американский физик и математик, один из основоположников термодинамики и статистической механики. 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 643 4. Полнота тригонометрической системы а. Теорема о полноте. В заключение вернемся вновь от поточечной сходимости ряда Фурье к его сходимости в среднем (10). Точнее, используя накопленные факты о характере поточечной сходимости ряда Фурье, дадим независимое от уже встречавшегося в задачах доказательство полноты в 7с2([ — к, к], К) тригонометрической системы 11,сових,в1пкх;к Е И).
При этом, как ив п.1, под 7с2([ — к,к],й) или 7с2([ — з, к], С) понимается линейное пространство вещественно- или комплекснозначных функций, локально интегрируемых на промежутке ] — к, к[ и имеющих интегрируемый на ] — к, к[ (хотя бы в несобственном смысле) квадрат модуля; это векторное пространство предполагается наделенным стандартным скалярным произведением (7), порождающим норму, сходимость по которой и есть сходимость в среднем (10).
Теорема, которую мы собираемся доказать, попросту утверждает, что система тригонометрических функций полна в гс2([ — к, к], с). но мы сформулируем теорему так, что в самой формулировке будет ключ к излагаемому доказательству. Оно основано на том очевидном факте, что свойство полноты транзитивно: если А приближает В, а В приближает С, то А приближает С. Теорема 6 (о полноте тригонометрической системы). Любая функция |' Е 7с2[ — к,к] может быть сколь угодно'точно приближена в среднем а) финитными на ] — к,к[ интеерируемыми по Риману на отрезке [ — к, к] функциями; Ь) финитными кусочно постоянными на отрезке [ — к,к] функцилми; с) финигпными непрерывными кусочно линейными на отрезке [ — к, к] функциями; г1) триеонометрическими полиномами.
м Поскольку теорему, очевидно, достаточно доказать для вещественнозначных функций, то мы и ограничимся этим случаем. а) Из определения несобственного интеграла следует, что ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б44 Значит, каково бы ни было число е > О, найдется число 6 > О такое, что функция у(х), если ~х[ < я — 6, О, если гг — 6<[х] <я будет отличаться в среднем на [ — я, я] от у меньше, чем на е, поскольку (У вЂ” 14) (Х)Г(Х = У (Х)ГГХ+ У (Х)ПХ. Ь) Достаточно проверить, что любую функцию вида у4 можно в К2([ — я, я], 2) аппроксимировать кусочно постоянными финитными на [ — я,я] функциями. Но функция 14 уже интегрируема по Риману на отрезке [ — я + 6, я — 6]. Значит, она ограничена на нем некоторой постоянной М, и, кроме того, существует такое разбиение — я+ 6 = хб < < хг « ...
х„= я — 6 этого отрезка, что соответствующая ему и нижняя интегральная сумма Дарбу 2; тгЬхг функции 14 отличается а=г от интеграла 14 по отрезку [ — я + 6, я + 6] меньше чем на е > О. Полагая теперь т„если х Е]х, ьх,[, 1 = 1,...,и, д(х) = 1 О в остальных точках отрезка [ — я, я], получим, что (Ь вЂ” д)'(х)г(х < [Ь вЂ” д[~Ь+д[(х)г1х < -~г г0 < 2М ((4 — д)(х) дх < 2Ме, -зг~-4 и, значит, действительно у4 можно сколь угодно точно в среднем на отрезке [ — гг, я] аппроксимировать кусочно постоянными на этом отрезке функциями, обращающимися в нуль в окрестности концов отрезка [ — гг, я].
с) Теперь уже достаточно научиться приближать в среднем указанные в Ь) функции. Пусть д — такая функция. Все ее точки разрыва 52. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 645 хь..., х„лежат в интервале ] — дг, дг[. их конечное число, позтому, каково бы ни было число е > О, можно подобрать число б > О столь маленькое, что б-окрестности точек хг,...,х„не пересекаются, содержатся строго внутри интервала ] — дг, гг[ и 2бпМ < е, где М = впр ~д(х) ~. За(х)<дг меняя теперь функцию д на отрезках [х, — б, х,+б], г = 1,..., п, линейной функцией, интерполирующей значения д(х,— б) и д(х,+б), которые функция д принимает на концах соответствующего отрезка, мы получим кусочно линейную непрерывную и финитную на [ — дг, дг] функцию д4.
По построению ~д4(х) ~ < М на [ — дг, дг], значит, (д — д4)~(х) дх < 2М ~д — д4~(х) дх = — х дд п хд-д-д =дддд 1 ~д — д,~( ~д <дм ддм дд) <дм, яд — 4 и возможность аппроксимации доказана. г1) Осталось показать, что тригонометрическим полиномом можно в среднем на отрезке [ — дг, дг] приблизить любую функцию класса с). Но ведь при любом е > О для любой функции типа д4 по теореме 5 найдется тригонометрический многочлен Т„, равномерно с точностью до е аппроксимирующий д4 на отрезке [ — гг, я].
Значит, ] (д4 — Т„)~(х) гЬ < < 2дге~, и возможность сколь угодно точной аппроксимации в среднем на отрезке [ — гг,дг] любой функции класса с) посредством тригонометрических полиномов установлена. Ссылаясь на неравенство треугольника в Яз[ — дг,т], можно теперь заключить, что и вся теорема б о полноте в Яг[ — т, гг] указанных классов функций тоже доказана. ь + ~~д аь(~) соя дгх+ БьЦ) 61пггх о(у) 2 ь=г (34) Ъ. Скалярное произведение и равенство Парсеваля. После доказанной полноты в Ез([ — дг, дг], С) тригонометрической системы на основании теоремы 1 можем утверждать, что для любой функции ~ б Е 'дь2([ — дг, дг], С) имеет место равенство ГЛ. ХЧ1П.
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 646 или, в комплексной записи, равенство 7" = ~> с,(7")е' *, (35) где сходимость понимается как сходимость по норме пространства Яа [ — я, я], т. е. в среднем, а предельный переход в (35) совершается при п -+ оо по суммам вида Я„(х) = ~; сьЩе™х. Если переписать равенства (34), (35) в виде 1 е' —,. 7" = ~> сь(7') —, (35') то в правых частях окажутся ряды по ортонормированным системам г~/ ~/ ~/ ~ г~/ сояйх, 1 61пйх;й Е 1г4'г, ( 1 ег"*;7г Е.'Е).
Значит, на основании общего закона вычисления скалярного произведения векторов, по их координатам в ортонормированном базисе (см. лемму 1 из 31) можно утверждать, что для любых функций )' и д из Яэ([ — я, я],С) справедливо равенство 1 аоУ)ао(д) — (г',д) = + ~~г аьЦ)аь(д) + ЬьЦ)Ьь(д) (36) ь=1 или, в иной записи, равенство †(),д) = ~~г сь())ось(д), 1 (37) где, как всегда, (1д) = У(х)д( )(. В частности, при 7" = д из (36) и (37) получаем записанное в двух эквивалентных между собой формах классическое равенство Парсева- б 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ б47 ~~О(УН + ~' ~а (С)[2+ ~у (сг)[2 Ь=1 — !)Д = 5 [сь(~)[, 1 (38) (39) Мы уже отмечали, что с геометрической точки зрения равенство Парсеваля можно рассматривать как бесконечномерный вариант теоремы Пифагора.
На основе равенства Парсеваля легко доказать следующее полезное Утверждение 3 (о единственности ряда Фурье). Пусть 7" и д— функции из гь2[ — к,к~. Тозда, а) если тризонометрический ряд — + ~~> аь сов кх+ бь вгпкх = ~ сьег~* 2 Ь=1 — ОО ~ Утверждение а) на самом деле есть частный случай общего факта единственности разложения вектора в ряд по ортогональной системе. Скалярное умножение, как мы знаем (см. лемму 1Ь), немедленно показывает, что коэффициентами такого разложения являются коэффициенты Фурье и только они.
Утверждение Ь) можно получить из равенства Парсеваля с учетом доказанной полноты в сс2([ — л, к), с) тригонометрической системы. Поскольку разность (у — д) имеет нулевой ряд Фурье, то в силу равенства Парсеваля [[у — д[~н, = О. Значит, функции 1 и д совпадают во всех точках непрерывности, т. е. почти всюду. > с(а)са~ Замечание 10. Рассматривая ряды Тейлора 2 с — „.+~~(х — а)", мы а=о В СВОЕ ВрЕМя ОтМЕтИЛИ, Чта раЗЛИЧНЫЕ фуНКцИИ КЛаССа Сгаа)(К, К) МО- гут иметь одинаковые ряды Тейлора (в некоторьгх точках а е ж).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
