1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Поскольку у — свободный параметр из некоторого множества У, то А(1) есть функция на этом множестве У. В математике существует ряд важных интегральных преобразований, и среди них преобразование Фурье занимает одну из самых ключевых позиций. Это обстоятельство имеет довольно глубокие корни и связано с замечательными свойствами преобразования (21), которые мы в какой-то степени опишем и продемонстрируем в работе в оставшейся части параграфа. Итак, будем рассматривать нормированное преобразование Фурье (21). Наряду с обозначениями у для нормированного преобразования Фурье, введем следующее обозначение 1(С):= — 1(х)е'«* дх, ~/2я,/ (23) т. е. 7(С) = У»( — С).
отличающиеся от рассмотренных выше лишь нормировочным множителем. В симметричных формулах (21), (22) практически сливаются «коэффициент» Фурье и «ряд» Фурье, поэтому в дальнейшем мы будем, по существу, интересоваться только свойствами интегрального преобразования (21), называя его нормированным преобразованием Фурье или, если не возникает недоразумений, просто преобразованием Фурье функции 1. Вообще, интегральным оператором или интегральным преобразованием принято называть оператор А, действующий на функции у по закону 13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 671 Формулы (21), (22) говорят о том, что (24) т.е.
интегральные преобразования (21), (22) взаимно обратны. Значит, если (21) есть преобразование Фурье, то интегральный оператор (23) естественно назвать обратным преобразованием Фурье. Ниже будут подробно обсуждены и обоснованы некоторые замечательные свойства преобразования Фурье. Например, Т.е. преобразование Фурье переводит операцию дифференцирования в операцию умножения на независимую переменную; преобразование Фурье свертки функций сводится к умножению их преобразований Фурье; преобразование Фурье сохраняет норму (равенство Парсеваля) и тем самым является изометрическим преобразованием соответствующего пространства функций.
Но начнем мы с формулы обращения (24). По поводу еще одной удобной нормировки преобразования Фурье см. задачу 10. й. Достаточные условия представимости функции интегралом Фурье. Мы сейчас докажем теорему, вполне аналогичную как по форме, так и по содержанию, теореме о сходимости в точке тригонометрического ряда Фурье. Чтобы максимально сохранить знакомый вид прежних формул и преобразований, мы в этом пункте используем ненормированное преобразование Фурье с(с) вместе с его несколько громоздким, но порой удобным обозначением Г(у]((). В дальнейшем, изучая интегральное преобразование Фурье как таковое, мы, как правило, будем работать с нормированным преобразованием Фурье 1 функции 7'.
Теорема 1 (о сходимости интеграла Фурье в точке). Пусть 7': К вЂ” + С вЂ” абсолютно интеерируемал 4ункцил, кусочно непрерывнал на каждом конечном отрезке числовой оси й. ГЛ. ХНП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 672 Если функция Г удовлетворяет в точке х Е К условиям Дини, то ее интеграл Фурье ((5), (10), (10'), (22)) сходится в этой точке к значению 2(Г(х ) + Г(хь)), равному полусумме левого и правого пределов 1 4унккии в этой точке. м По лемме 1 преобразование Фурье с(() = г'[Щ) функции Г непрерывно на К и, значит, интегрируемо на любом отрезке [ — А, А]. Подобно тому, как мы преобразовывали частичную сумму ряда Фурье, проведем теперь следующие преобразования частичного интеграла Фурье: А А СО 1 Г ВА(х) = с(оеь 6дГ, = / — / Г(1)е ибрай е'*6 де = 2к ./ -А -А — СЮ ОО А ОΠ— Г(1) е'(* 0ч дГ <Н = — Г(1) ей = — 00 — А — ОО 1 Г э1п(х — 1)А 1 Г 61п Аи 1 в1п Аи = — / (Г(х — и) + Г(х + и)) — ди. и о Произведенное во втором от начала выкладки равенстве изменение порядка интегрирования законно.
В самом деле, ввиду кусочной непрерывности Г для любого конечного В ) 0 справедливо равенство А В В А — Г(1)е ' ~ а1 е'*~ сК = — Г(1) е'~* )6 аС й, — А - —  — А из которого при  — + +со, учитывая равномерную сходимость по ~ в интеграла [ Г(х)е ибер, получаем нужное нам равенство. -В Теперь воспользуемся значением интеграла Дирихле (20) и завер- 13.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 673 шим наши преобразования; 1(х ) + ~(хь) 2 1 | И(х — и) — У(х )) + (йх + и) — У(х~)) . я,т' и о Полученный интеграл стремится к нулю при А -+ оо. Поясним это и тем самым закончим доказательство теоремы. Представим этот интеграл в виде суммы интегралов по промежутку ]0,1[ и по промежутку [1, +ос[.
Первый из этих двух интегралов стремится к нулю при А — т +оо ввиду условий Дини и леммы Римана. Второй интеграл есть сумма четырех интегралов, отвечающих четыРем слагаемым 1(х — и), 7" (х+ и), 1(х ), ~(х.т). К пеРвым ДвУм из этих четырех интегралов опять применима лемма Римана, а последние два с точностью до постоянного множителя приводятся к виду | ятпАи Г айпи и т' и Но при А — т +оо последний интеграл стремится к нулю, поскольку интеграл Дирихле (20) сходится. > Замечание 1. В доказательстве теоремы 1 мы фактически рассматривали сходимость интеграла в смысле главного значения. Но если сопоставить записи (10) и (10') интеграла Фурье, то становится очевидным, что именно рассмотренное понимание сходимости интеграла (10) отвечает сходимости интеграла (10').
Из доказанной теоремы получаем, в частности, Следствие 1. Пусть т": К -+ С вЂ” непрерывная, абсолютно интегрируемая функцил. Если в каждой точке х е И функция | дифференцируема или имеетп конечные односторонние производные, или удовлетворяет условию Гельдера, то она предстпавляется своим интеералом Фурье. Итак, для функций указанных классов оба равенства (3), (5) или (21), (22) имеют место, и мы тем самым доказали для таких функций формулу обращения преобразования Фурье. ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 674 Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 5. Предположим, что известен сигнал е(1) = РЦ)(1) на выходе прибора Р, рассмотренного в примере 2, а мы хотим найти сигнал 1'(1), поданный на вход прибора Р. В примере 2 мы показали, что 1 и е связаны соотношением с(1) = с(ы)р(м)е™ Йо, где с(м) = У [1"](ы) — спектр сигнала 1 (ненормированное преобразование Фурье функции 1'), а р — спектральная характеристика прибора Р.
Считая все эти функции достаточно регулярными, на основе доказанного заключаем, что тогда с(ш)р(ю) = У'[е](ю). Отсюда находим с(ы) = У'[у"](ю). Зная с(ш), интегралом Фурье (10) найдем сигнал 1. Пример 6. Пусть а > 0 и е л* при х>0, 0 при х(0. Тогда ~[Щ) = — / е ' е '~*пх =— 2х „/ 2я а+Ц а Обсуждая само определение преобразования Фурье, мы уже отметили в пункте Ь ряд его очевидных свойств. Отметим еще, что если 1 (х):= 1( — х), то У'[1 ](С) = У'[1]( — ().
Это элементарная замена переменной в интеграле. Возьмем теперь функцию е 4 ~ = у(х) + у( — х) =: ~р(х). Тогда ~[д] Ы) — Ю] (О + ~[Л(-0 — —,, Если же взять функцию ф(х) = 1'(х) — 1 ( — х), являющуюся нечетным продолжением функции е '*, х > О, на всю числовую ось, то ~[4](() — ~[УП() — Р[УН-0 — — —,, (, 675 13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Используя теорему 1, точнее, ее следствие, получаем, что е '~, если х > О, если х=О, О, если х<0; 1 / е'*« — дс = 2я / а+«С 1 /' ае«*« я/ а+с -«со /' (с~*1 / а+( -а)хЕ е '*, если х > О, О, если х = О, — е", если х < О, соо ~С ~ — а~~~ аз+С» 2а о Г «1« = — е "~*~ еЕпх. а2 + ~2 о Пример Т. На основе примера 4 легко найти (элементарной заменой переменной), что если г» г у(х) = е « *, то )'(С) = е х«т. »/2а Очень поучительно проследить за одновременной эволюцией графиков функций у'и у при изменении параметра а от 1/»(2 до О.
Чем «сосредоточеннее» одна из функций, тем «размазаннее» другая. Это обстоятельство тесно связано с квантово-механическим принципом Геизенберга. (См. в этой связи задачи 6, 7.) Замечание 2. Заканчивая обсуждение вопроса о возможности представления функции интегралом Фурье, отметим, что, как показывают совместно примеры 1 и 3, сформулированные в теореме 1 и ее Все интегралы здесь понимаются в смысле главного значения, хотя второй, ввиду его абсолютной сходимости, можно понимать и в смысле обычного несобственного интеграла. Отделяя в двух последних интегралах действительные и мнимые части, находим уже встречавшиеся нам интегралы Лапласа ГЛ.
ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 676 следствии условия на функцию у являются достаточными, но не явля- ются необходимыми для возможности такого представления. 2. Взаимосвязь дифференциальных и асимптотических свойств функции и ее преобразования <Фурье а. Гладкость функции и скорость убывания ее преобразования Фурье. Уже из леммы Римана следует, что преобразование Фурье любой абсолютно интегрируемой на К функции стремится на бесконечности к нулю.
Это уже отмечалось и в доказанной выше лемме 1. Теперь мы покажем, что, подобно коэффициентам Фурье, преобразование Фурье тем быстрее стремится к нулю, чем глаже функция, от которой оно берется. Взаимный с этим факт будет состоять в том, что чем быстрее стремится к нулю функция, от которой берется преобразование Фурье, тем глаже ее преобразование Фурье.
Начнем со следующего вспомогательного утверждения. Лемма 2. Пусть 7': Н вЂ” > С вЂ” непрерывная функция, обладающая локально кусочно непрерывной производной 7"' на К. Если при этом а) функция 7"' интегрируема на К, то 7"1х) имеет предел и при х — + -+ — оо, и при х — > +оо; о) функции 7' и 1' интегрируемы на К, то 11х) + 0 при х — > оо. < При указанных ограничениях на функции у, у' имеет место формула Ньютона — Лейбница у(х) = 7" (0) + 1'(1) сМ. о В условиях а) правая часть этого равенства имеет предел как при х — > +оо, так и при х — > — оо.
Если же имеющая пределы на бесконечности функция у интегрируема на К, то оба эти предела, очевидно, обязаны быть равны нулю. ° Теперь докажем Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания ее преобразования Фурье). Если 7" Е С~~)(К,С) (к = 0,1,...) и все функции 1, 7',..., 1'рс1 абсолютно интегрируемы на й, то 13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 677 а) при любом и б (0,1,...,Ц 100(~) = (1~) у(~), (25) Ь) ('(~) = о -~ при ~ — ~ О. ° я Если 1с = О, то а) тривиально верно, а Ь) следует из леммы Римана. Пусть |с > О. По лемме 2 функции у, у',...,у(~ О стремятся к нулю при х — + оо. Учитывая это, выполним интегрирование по частям: ~00(():= — 1( )(х)е '~ ах = н2~г / 1 — )(х)е '~*~+ + (1() ~~" О(х)е '~*дх ~/2я (1()" Г / Дх)е '~*дх = (1() ~(~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
