1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 121
Текст из файла (страница 121)
~/2~г Таким образом, равенство (25) установлено. Это очень важное соотношение и мы к нему еще вернемся отдельно. Мы показали, что дС) = (1С) ь~РО((), нополемме Риманаурб(~) — > -+ 0 при 4 -+ О, поэтому утверждение Ь) тоже доказано. > Ь. Скорость убывания функции и гладкость ее преобразования Фурье. Ввиду почти полного совпадения прямого и обратного преобразований Фурье справедливо следующее, дополнительное к утверждению 1, Утверждение 2 (о связи скорости убывания функции и гладкости ее преобразования Фурье). Если локально интегрируемая функция ~: К -+ С такова, что функцил х" 1(х) абсолютно интегрируема на К, то а) преобразование Фурье функции 1" принадлежит классу С(") (К, С); Ь) имеет место равенство ~~ )(() = ( — 1) х"Дх)(().
(26) ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 678 м Для гг = О соотношение (26) тривиально выполнено, а непрерывность Д0 уже была доказана в лемме 1. Ксли гг > О, то при и < й на бесконечности имеет место оценка )х" 1(х)! < )х~Дх)(, из которой следует абсолютная интегрируемость функции х"у (х). Но ~х"1(х)е '1*~ < < ~х"у(х)~, что позволяет, ссылаясь на равномерную по параметру С сходимость соответствующих интегралов, последовательно провести их дифференцирование под знаком интеграла: 1 7"(С) = — / Дх)е '~~г1х, ~гг2я,г' П4) = — х1 (х) е '~* дх, ~/2зг / Р )Ы) = ) ~ х'П ) -Ц*г1 ~/2~г / Последний интеграл по лемме 1 является функцией, непрерывной по ~ на всей числовой прямой.
Значит, действительно, у Е е Сг")())с, С). а с. Пространство быстро убывающих функций Определение 4. Обозначим символом о(2, г.) или более коротким символом о совокупность всех функций у Е Сг )(Я, С), удовлетворяющих условию ,ЗУ(а) (х) ~ яеи каковы бы ни были неотрицательные целые числа а и )3. Такие функции называют быстро убыеающиии (при х — + оо). Совокупность быстро убывающих функций, очевидно, образует линейное пространство относительно стандартных операций сложения функций и умножения функции на комплексное число.
Пример 8. Функция е * или, например, все финитные функции класса Се~ (И,гг.'.) входят в о'. г 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 679 Лемма 3. Ограничение преобразования Фурье на Я лвллетсл автоморфизмом Я нан линейного пространства. м Проверим, что (у е Я) =ь (у б Я). Для этого заметим сначала, что по утверждению 2а) у Е С~ )(И,С). Далее заметим, что операция умножения на х (о > 0) и операция .0 дифференцирования не выводят из класса быстро убывающих функций. Значит, при любых целых неотрицательных значениях о и ~3 из того, что у Е Я, следует, что функция Р~(х~у (х)) принадлежит пространству Я. Ее преобразование Фурье по лемме Римана стремится к нулю на бесконечности.
Но по формулам (25), (2б) РД(х" ~(х))(с) = г' +646~~ ~(С), и мы показали, что ~я~~ ~(() -+ 0 при С вЂ” ~ оо, т.е. 7 Е я. Покажем теперь, что о = Я, т.е. что преобразование Фурье отображает Я на все множество Я. Напомним, что прямое и обратное преобразования Фурье связаны простым соотношением у(С) = у( — (). Изменение знака аргумента функции, очевидно, является операцией, переводящей множество Я в себя. Значит, обратное преобразование Фурье тоже переводит пространство Я в себя.
Наконец, если у — произвольная функция из Я, то, по доказанному, у = ~ Е Я и по формуле обращения (24) получаем, что ~ = ~р. Линейность преобразования Фурье очевидна, поэтому лемма 3 теперь полностью доказана. ь 3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье а. Некоторые определения, обозначения и примеры.
Выше мы достаточно подробно рассмотрели преобразование Фурье заданной на вещественной прямой функции ~: К вЂ” ~ С. В частности, мы уяснили связь, существующую между свойствами регулярности самой функции и соответствующими свойствами ее преобразования Фурье. Теперь, когда этот вопрос в принципе решен, мы будем рассматривать преобразования Фурье только достаточно регулярных функций, чтобы в концентрированной форме и без технических осложнений изложить фундаментальные аппаратные свойства преобразования Фурье. Взамен мы рассмотрим не только одномерное, но и многомерное преобразование ГЛ. ХУП1.
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 680 Фурье и выведем его основные свойства практически независимо от изложенного выше. Желающие ограничиться одномерным случаем могут ниже считать и = 1. Определение 5. Пусть 7': К" -+ С вЂ локаль интегрируемая на К" функция.
Функция 7" (С):= 7(х)е '16'*)бх 1 (2я)абаз (27) называется преобразованием Фурье 4уннции 7'. При зтом имеется в виду, что х = (хь...,х„), 4 = ((ь. ( ) ((, х) = (1х1 + ... + („х„, а интеграл считается сходящимся в следующем смысле главного значения: А А Г ~р(хь..., х„) е1х1...
Йх„:= 1пп / ... у(хь..., х„) е1х1... Йх„. А — ~+со у Определение 6. Обозначим символом о(К", С) или, если не возникает недоразумений, символом о', совокупность всех функций 7" б е С1 1(К", С), удовлетворяющих условию япр )хдР 7'(х)) < оо, яеу" каковы бы ни были неотрицательные мультииндексы а и 17. Такие фун- кции называют быстро убывающими (при х — > оо). В таком случае многомерное преобразование Фурье (27) можно рассматривать как п одномерных преобразований Фурье, проведенных по каждой из переменных хь..., х„. Тогда, когда функция 7' абсолютно интегрируема, вопрос о том, в каком смысле понимается интеграл (27), вообще не возникает.
ПУсть о = (аь..., оо) и,9 = (Д,..., 13„) — мУльтиинДексы, состоящие из неотрицательных целых чисел о1,,31, у = 1,...,п, и пусть, д~~~ как всегда, Р обозначает оператор дифференцирования д" ,...д „"" порядка ~о~:= а1+... + о„, а х:= х ' ... х„. 6. А, Д 681 13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Множество Я с алгебраическими операциями сложения функций и умножения функции на комплексное число, очевидно, является линейным пространством. Пример 9.
Функция е ~'~, где )х)з = хз~+...+х~, и все финитные функции класса Сз~ ~(К", С) входят в Я. Если 7' Е Я, то интеграл в соотношении (27), очевидно, сходится абсолютно и равномерно по ~, на всем пространстве И". Более того, если 7 Е Я, то в соответствии со стандартными правилами этот интеграл можно дифференцировать сколько угодно раз по любой из переменных (1,..., ~„. Таким образом, если 7" Е Я, то 7' Е С1~1(й", С). Пример 10. Найдем преобразование Фурье функции ехр( — ~х~з/2).
При интегрировании быстро убывающих функций, очевидно, можно пользоваться теоремой Фубини и, если требуется, то можно беспрепятственно менять порядок несобственных интегрирований. В данном случае, используя теорему Фубини и пример 4, находим е ~~~ 7 е '~~'*) Ых = (2я)п/2 ап я ОО = Ц вЂ” / е *~7 е 'Ь*~ дх. , 1/2~г -00 Теперь выделим и докажем основные аппаратные свойства преобразования Фурье, считая, чтобы избежать технических осложнений, что преобразование Фурье применяется к функциям класса Я.
Это примерно так, как если бы научиться оперировать (считать) рациональными числами, а не полным пространством К сразу. Процесс пополнения единообразен. См. по этому поводу задачу 5. Ь. Линейность. Линейность преобразования Фурье очевидна: она следует из линейности интеграла. с. Взаимоотношения оператора дифференцирования и преобразования Фурье. Имеют место формулы (28) (29) ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 682 ~ Первая из них получается, как и формула (25), интегрированием по частям (рззумеется, с предварительным использованием теоремы Фубини, если речь идет о пространстве К" размерности и ) 1). Формула (29) обобщает соотношение (26) и получается прямым дифференцированием интеграла (27) по параметрам (ь..., ~„. Ь Замечание 3.
Ввиду очевидной оценки й()~ < „у'~У(хПбх <+-, 1 (2я)о/2 / откуда следует, что если 1' Е о, то при любых неотрицательных муль- тииндексах о и )3 имеем 8ДР у(с) -+ О, когда ~ -+ со в К". Таким образом, показано, что (165) =ь (165). д. Формула обращения Определение 7. Оператор, определяемый (вместе с его обозначением) равенством (30) называется обратным преобразованием Фурье. Имеет место следующая формула обращения преобразования Фурье: (31) или в форме интеграла Фурье 1(х) = / у(С)ец*л) щ.
1 (2я) Л / (32) иа из равенства (28) вытекает, что Я) -+ 0 при ~ — > оо, какова бы ни была функция ~ е о, поскольку .Р ~ Е о. Далее, совместное использование формул (28), (29) позволяет написать, что 683 2 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Используя теорему Фубини, формулу ( ) (31) можно немедленно получить из соответствующей формулы ( ) д д ы (24) ля о номерного преобразования Фурье, но мы, как и обещали, пр д п ове ем короткое независимое доказательство этой формулы. ~ Покажем сначала, что для любых функц „',д нк ий „г б я(К,С) справедливо соотношение ни Г д(д)у(()еЦх 6) щ = д(д)у(х+ д) цд (33) нп к,г б Я а по замечанию 3 Оба интеграла имеют смысл, поскольку,г, д тогда и у, д Е Я. Преобразуем интеграл, стоящий в левой " части оказываемого рад венства д(с) г(с)е'(*'~) ггпу = и 1 ~(д) -'н,ю,~д '(*,а д~ г ~ (2я)М2 / на Ж" — д(()е '(~'" *~ гЦ г(у) ггу = (2, )и/2 г и ни д(у — хЩд) ду = д(уЩх + у) ду.
Е" и" Законность проведенного изменения р д по я ка интегрирования не вызывает сомнении ввиду тог, ого что у и д — быстро убывающие функции. Итак, равенство (33) проверено. Заметим теперь, что при любом е ) 0 (е()е'("'~) дС = д(и)е ~"'"~'~ ди = е "д(у/е), )" г2 1 (2я) 226 значит, в силу равенства (33) ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 684 Учитывая абсолютную и равномерную по е сходимость крайних интегралов последней цепочки равенств, при с — > 0 получаем д(0) 1(С)ец*'1) <Ц' = у(х) д(и) с~и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
