1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 124
Текст из файла (страница 124)
Ь) Проследите за изменением функции «г (1) и ее спектра при о — » +О и скажите, каким, по вашему мнению, следует считать спектр единичного импульса, выражаемого б-функцией. НВ. Гейзенберг (1901 — 1976) — немецкий физик, один из создателей квантовой механики. л 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 697 с) Используя пример 2, найдите теперь сигнал у(1) на выходе идеального фильтра низкой частоты (с верхней граничной частотой а), возникающий как ответ на единичный импульс б(1). д) Опираясь на полученный результат, истолкуйте теперь физический смысл членов ряда Котельникова (44) и предложите принципиальную схему передачи сигнала 1(г), имеющего финитный спектр, основанную на формуле Котельникова (44).
8. Пространство Л. Шварца. Проверьте, что: а) Если у Е 5, а Р— полинам, то (Р . у) Е 5. Ь) Если р Е 5, то Р р 6 5 и РВ(РВ р) Е 5, где о и )1 — неотрицательные мультииндексы, а Р†полип. с) В 5 вводится следующее понятие сходимости. Последовательность (~рл) функций рл 6 5 считается сходящейся к нулю, если для любых неотрицательных мультииндексов о, 11 последовательность функций (хай ул) сходится к нулю равномерно на И". Соотношение ул — ~ у В 5 будет означать, что (у — ~рл) -+ 0 в 5. Линейное пространство 5 быстро убывающих функций, наделенное указанной сходимостью, называется пространством Шварца. Покажите, что если ул — л у в 5, то и рь -+ у в 5 при й — л оо. Таким образом, преобразование Фурье является линейным непрерывным преобразованием пространства Шварца.
9. Пространство 5' обобщенных функций умеренного роста. Линейные непрерывные функционалы, определенные на пространстве 5 быстро убывающих функций, называют обобщенными функциями медленного или умеренного роста. Линейное пространство таких функционалов (сопряженное к пространству 5) обозначают символом 5'. Значение функционала Р Е 5' на функции у Е 5 будем записывать символом Р(у). а) Пусть Р: И" — > С вЂ” полинам от и переменных, а (: И" -+ С вЂ” локально интегрируемая функция, допускающая на бесконечности оценку (У'(х)~ < < ~Р(х)~ (т.е., быть может, растущая при х — ~ со, но умеренно: не быстрее, чем степенным образом) .
Покажите, что тогда 1' можно считать (регулярным) элементом пространства 5', если положить Д~о) = 1(х)ф(х) Их (ф е 5). Ь) Умножение обобщенной функции Р б 5' на обычную функцию 1: И" — ~ — > С определяется, как всегда, соотношением (~Р)(у):= Р(~у). Проверьте, что для обобщенных функций класса 5' корректно определено умножение не только на функции ( В 5, но и на полиномы Р: И" -+ С. с) Дифференцирование обобщенных функций Р Е 5' определяется традиционным способом: (Р Р)(у):= ( — 1)~ЩР(П ~р). ГЛ.
ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 698 Покажите, что это определение корректно, т.е. если Г Б Б', то и Р Е 6 Б' при любом неотрицательном целочисленном мультииндексе о = (ам ., ., о„). б) Если 7' и ~р достаточно регулярные функции (например, класса Я), то, как видно из соотношения (36), имеет место равенство Ь Р) = ~ 7'(х) 9 (х) 1х = ~ 1(х) д(х) 1х = Ы). Это равенство (Парсевзля) и кладут в основу определения преобразования Фурье Р обобщенной функции Е 6 5', полагая по определению, что Е(~р):= = Е(д).
Благодаря инвариантности пространства Б относительно преобразования Фурье, это определение корректно для любого элемента Г 6 Б. Покажите, что оно не является корректным для обобщенных функций пространства Р'(К"), действующих на пространстве Р(К') гладких финитных функций. Именно этим обстоятельством и объясняется роль пространства Б Шварца в теории преобразования Фурье и его применении к обобщенным функциям. е) В задаче 7 мы получили начальное представление о преобразовании Фурье б-функции. Преобразование Фурье б-функции можно было бы наивно искать прямо по общему определению преобразования Фурье регулярной функции. Тогда мы нашли бы, что б(4) = „7з ~ б(х)е Ц~'*~Их= Покажите теперь, что при корректном отыскании преобразования Фурье обобщенной функции б Б У(К"), т.е., исходя из равенства б(у) = бД), получается (то же самое), что б(~р) = ДО) = — ~ -.
Итак, преобразование Фурье (З )ь!2 б-функции есть постоянная функция. (Можно перенормировать преобразование Фурье так, чтобы эта константа была равна единице, см задачу 10.) 1) Сходимость в У, как всегда в обобщенных функциях, понимается в следующем смысле; (Е„-+ г' в о" при и -+ оо):= (Фр 6 Б(Г„(у) — > Р(у) при и -+ оо)). Проверьте формулу обращения (интеграл Фурье) для б-функции: б(х) = 1пп ... б(с)ец*д1 щ.
л-н- (2я)"!з,/ — А 8) Пусть б(х — хо), как обычно, означает сдвиг б-функции в точку хо, т. е. б(х — хо)(у) = ~р(хе) Проверьте, что ряд б(х — и) = 1пп ~ б(х — п) з 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 699 сходится в пространстве У(И), (здесь д В 5'(И) и н В К). Ь) Используя возможность почленно дифференцировать сходящийся ряд обобщенных функций и учитывая равенство из задачи 131, 9 2, покажите, что если Г= 2 б(х — и), то Р' = ~/2к к~~ б(х — 2кп). !) Используя соотношение Р(р) = Г(~р), получите из предыдущего результата формулу Пуассона (39). )) Докажите следующее соотношение (В-фор мула) е га = ~/ — ~~~ е ч и (1>0), играющее важную роль в теории эллиптических функции и теории теплопроводности.
10. Если преобразование Фурье У [1] функции 1: И -+ С определить формулой г(и):= .7[Яи):= ( (($)е ьа г(1, то многие относящиеся к преобразованию Фурье формулы станут особенно простыми и изящными. а) Проверьте, что 1(н) = ~ ((2-). Ь) Покажите, что У[У[1]](г) = 1( — 1), т.е. ~(и)Е юга Это наиболее естественная форма разложения Я) по гармоникам различных частот и, а 1(и) в этом разложении есть частоганый спектр функции 1. с) Проверьте, что д = 1 и 1 = 6. г1) Убедитесь в том, что формула Пуассона (39) теперь принимает особенно изящный вид у(п) = ~ ф(п). ГЛАВА Х1Х АСИМПТОТИь1ЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ Большинство явлений, с которыми нам приходится сталкиваться, в математическом отношении характеризуется некоторым набором числовых параметров с довольно сложной зависимостью между ними. Однако описание явления, как правило, существенно упрощается, если известно, что некоторые из этих параметров или их комбинации очень велики или, наоборот, очень малы.
Пример 1. При описании относительных движений, происходящих со скоростями и, много меньшими скорости света (~е~ << с), вместо преобразований Лоренца (гл.1, 3 3, пример 3) можно использовать преобразования Галилея х' = х — е1, поскольку е/с = О. Пример 2.
Период х/2 дВ а! Д-а а~в о колебаний маятника через параметр йз = з1п ф связан с углом уо максимального отклонения маятника от положения устойчивого равно- ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 701 весия (см. гл. Ч1, 34). Если колебания малы, т. е. ус О, то для периода таких колебаний получается простая формула Т 2я Г д Пример 3. Пусть на частицу массы т действует возвращающая ее в положение равновесия сила, пропорциональная величине отклонения (пружина с коэффициентом жесткости Й), и сила сопротивления среды, пропорциональная (с коэффициентом ««) квадрату скорости частицы. Уравнение движения в этом случае имеет вид (см.
гл. »', '3 6) тх + с«х + Йх = О. Если среда «разрежается», то с« — » О и, надо полагать, движение становится близким к описываемому уравнением тх+йх=О (гармонические колебания частоты у — ), а если среда «густеет», то lь «« -» оо и, поделив на с«, получаем в пределе уравнение хг = О, т.е. х(«) = сопаФ. Пример 4. Если я(х) — количество простых чисел, не превосходящих х б К, то, как известно (см. гл. 111, 32), при больших значениях х величину я(х) с малой относительной погрешностью можно находить по формуле я(х) =— 1пх Пример 5. Куда более тривиальными, но не менее важными являются соотношения а1пх х или 1п(1+х) — х, относительная погрешность в которых тем меньше, чем ближе х к нулю (см.
гл. У, '3 3). Эти соотношения при желании могут быть уточнены, з г я1пх х — — х 1п(1+ х) х — — х 3. 2 приписыванием одного или более следующих членов, получаемых по формуле Тейлора. 702 ГЛ. Х!Х. АСИМНТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ Итак, задача состоит в том, чтобы найти обозримое, удобное и в существенном правильное описание изучаемого явления, используя специфику ситуации, возникающей, когда какой-то характеризующий явление параметр (или комбинация параметров) мал (стремится к нулю) или, наоборот, велик (стремится к бесконечности). Значит, по существу речь снова идет о теории предельного перехода. Задачи такого рода называются асимптогпическими. Они возникают, как можно понять, практически во всех отделах математики и естествознания.
Решение асимптотической задачи обычно состоит из следующих этапов: выполнение предельного перехода и отыскание (главного члена) асимптотики, т.е. удобного упрощенного описания явления; оценка погрешности, возникающей при использовании найденной асимптотической формулы, и выяснение области ее применимости; уточнение главного члена асимптотики, аналогичное (но далеко не всегда столь алгоритмичное) процессу дописывания следующего члена в формуле Тейлора. Методы решения асимптотических задач (называемые асимптотическиии методами) обычно весьма тесно связаны со спецификой задачи. К числу редких достаточно общих и в то же время элементарных асимптотических методов, конечно, относится формула Тейлора— одно из наиболее важных соотношений дифференциального исчисления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
