1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 127
Текст из файла (страница 127)
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 715 ни О, а ь" непрерывна на Е, пьо Г 7" (1) д1 аох + — х~ +... + х" + .. 2 и о е) если в дополнение н дсловилм ь1) г' е Сьь)(Е) и .ь"(х) = ао+ а',х+..., ьпо а'„= (и + 1)а„+1, и = О, 1,... < а) Это частный случай утверждения 2.
Ь) Используя свойства символа о( ) (см. гл. П1, ~ 2, утверждение 4), получаем, что У. дй ) = У(х) д( ) = = (ао+ аьх+... + а„х" + о(х"))(6о+ Ььх+... + Ь„х" + о(х")) = = (аоЬо) + (аоЬ1+ аьЬо)х+... + (аоЬ„+ аьЬ„ь +... + а„Ьо)х" + о(х") при Е Э х — ь О. с) Если Ьо ф О, то д(х) ф 0 при х, близких к нулю, поэтому можно рассматривать отношение 4м~ = Цх). Проверим, что если в предвь хь ставлении Ь(х) = Но + с~ьх +... + Н„х" + г„(х) коэффициенты до,..., д выбраны в соответствии с утверждением с), то г„(х) = о(х") при Е Э х — ь О. Из тождества г"(х) = д(х)Ь(х) получаем, что ао + аьх +... + а„х" + о(х" ) = = (Ьо + Ььх +...
+ Ь„х" + о(х"))(4~ + дьх +... + д„х" + г„(х) ) = = (Ьоььо) + (Ьоаь + 61 де)х +... + (Ьоьь„+ Ььа„— 1 +... + Ь де)х" + + Ьог„(х) + о(г„(х)) + о(х"), откуда следует, что о(х") = Ьог„(х) + о(г„(х)) + о(х") или г„(х) = о(х") при Е э х -> О, поскольку Ьо 7е О. ьь) Это вытекает из утверждения Зс), если положить там ы = 0 и о х вспомнить, что — ) 1(1) ~Й = ) ('(1) <Ы.
х о е) Поскольку функция у'(х) непрерывна на )О, х) (или (х, 0() и ограх ничена (стремится к а~о при х — > 0), то интеграл ) у'(х) ь(ь' существует. о 11. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 717 то это разложение можно получить формальным дифференцировани- ем разложения функции 1', причем и=2 3,... и ао — — а1 — — О. ! ! а„= -(п — 1)ап ! М Поскольку у'(х) = а!о + ф + 0(1/х~) при с!' Э х -+ со, то х ,1(х) = 1 (хо) + 1'(1) к(1 = а!Ох + а', 1пх + 0(1) ХО Прн К! Э Х -+ СС, И таК КаК 1 (Х) = аа+ х + ~~ +..., а ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ х, 1пх, 1, —, —,,... асимптотическая при к!' Э х -+ со, утверждение 1 по- 1 1 х зволяет заключить, что а!о — — а', = О.
Теперь, интегрируя разложение ! ! у!(х) = дл + дл +..., в силу следствия 1 получаем разложение функции — „з у(х), и на основании единственности разложения приходим к соотношениям а'„= — (и — 1)ап 1 при п = 2, 3,... ~ Задачи и упражнения 1. а) Пусть Ь(х) = 2 апх " при ~х~ > И, х е С. Покажите, что тогда п=о Ь(х) 2 апх п пРи С Э х -+ оо. п=о Ь) Считая, что искомое решение у(х) уравнения у'(х) + у (х) = О1п -т при х -+ со имеет асимптотическое Разложение У(х) 2 спх ", найдите пеРвые =о трн члена этого разложения. с) Докажите, что если 7(х) = 2 апхп при ф ( г, х е С, а д(х) Ькх+ п=о + Ьэхх + ...
прн С Э х — к О, то в некоторой проколотой окрестности точки О е с определенафункция 7 одн (7 од)(х) со+с!э+сох~+... прн с э х -+ О, где коэффициенты со, сп... получаются подстановкой ряда в ряд так же, как н для сходящихся степенных рядов. 2. Покажите, что: а) Если 7' — непрерывная, положительная и монотонная функция прн х > О, то п п 1'(й) = / 1'(х) Нх + О( 1'(п)) + 0(1) прн п -+ оо; к=о о Ь) ~„у — — 1и п + с+ о(1) прн п -+ оо. к=! ГЛ. Х1Х.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 718 ) х ч е-"--'-"-"Р" я=1 3. Интегрированием по частям найдите асимптотические разложения при х -+ +оо следующих функций: +ж а) Г,(х) = ) 1' ~е ~а1 — неполная гамма-функция; е Ь) ег((х) = —, ) е ~ с(1 — функция вероятности ошибок (напомним, что ~гл ОО ) е ' дх = ~/к — интеграл Эйлера — Пуассона); ен с) Е(х) = Х е д1,еслио>0. 4. Используя результат предшествующей задачи, найдите асимптотические разложения при х -+ +ос следующих функций; а) Ь1(х) = 1 в Г- Ю вЂ” интегральный синус (напомним, что 1 г~~~ дх = .~— о о интеграл Дирихле); Ь) С(х) = д сов~~1гд1, о(х) = 1' ейп~ггд1 — интегралы Френеля (напоо о +Ос О3 мним, что ) совх дх = д сйпх дх = ~~1Я ).
о о 5. ЭрдейиП принадлежит следующее обобщение введенного Пуанкаре и рассмотренного выше понятия разложения по асимптотической последовательности (9"н(х)). Пусть Х вЂ множест, П вЂ ба в Х, (у„(х)) — асимптотическая при базе В последовательность функций на Х. Если заданные на Х функции 1(х), фо(х),ф~(х),фг(х),... таковы, что для любого и = 0,1,... имеет место равенство 7"(х) = ~~ у1ь(х) + о(~р„(х)) при базе В, я=о то пишут 1'(х) ~ ф„(х), (у„(х)) при базе 6 и говорят, что имеется асимптотическое в смысле Эрдейи разложение функции 7' при базе В. а) Обратите внимание на то, что в задаче 4 вы получили разложения асимптотические в смысле Эрдейи, если считать у„(х) = х ", и = О, 1,...
Ь) Покажите, что асимптотические в смысле Эрдейи разложения не обладают свойством единственности (функции у1„можно менять). 0 А. Эрдейи (род. 1908) — английский математик. э 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 719 с) Покажите, что если заданы множество Х, база В в Х, функция у на Х и последовательности (до(х)) и (~р„(х)), вторая из которых является асимптотической при базе В, то разложение Дх) ~~~ а„р„(х), (у„(х)) при базе В, о=о где а„— числовые коэффициенты, либо вообще невозможно, либо единственно. 6.
Равномерные асимптотические оценки. Пусть Х вЂ” множество, Вх — база в Х, и пусть Дх,у), д(х,у) — определенные на множестве Х и зависящие от параметра у Е У (векторнозначные) функции. Положим (~(х,у)) = а(х,у))д(х,у)~. Говорят, что асимптотические соотношения 7(х,у) = о(д(х,у)), 1(х,у) = 0(д(х,у)), 7(х,у) д(х,у) при базе Вх равномерны по параметру у на множестве У, если соответственно а(х, у) =7 0 на У при базе Вх, о(х, у) равномерно по у е У финэльно ограничена при базе В» и, наконец, ) = о д+о(д), где о(х,у) =Ф 1 на У при базе Вх Покажите, что если в множестве Х х У ввести базу В = (В х У), элементы которой суть прямые произведения элементов В, базы Вх и множества У, то указанные определения соответственно равносильны тому, что 7(х,у) = о(д(х,у)), 7'(х,у) = 0(д(х,у)), )'(х,у) д(х,у) при базе В.
7. Равномерные асимптотические разложения. Асимптотическое разложение Дх, у) ~~~ а„(у)у„(х) при базе Вх называется равномерным относительно параметра у на множестве У, если в равенствах 7(х,у) = ~~~ аь(у)~рь(х) +ев(х,у), и = 0,1,... в=о имеет место равномерная по у е У оценка г„(х,у) = о(у„(х)) при базе Вх в множестве Х.
а) Пусть У вЂ” измеримое (ограниченное) множество в И", и пусть при каждом фиксированном значении х Е Х функции )(х,у),ао(у),ао(у),... интегрируемы на У. Покажите, что если при этих условиях асимптотическое разложение Дх,у) ) а„(у)р„(х) при базе Вх равномерно по параметру у Е У, ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 720 то справедливо также асимптотическое разложение !)*, !) Н! — 2 ) „)!) Ы!) !„)*) ! ! П У п=е Ь) Пусть У = [с,д[ С И. Предположим, что функция 7(х,у) при каждом фиксированном х е Х непрерывно дифференцируема по у на отрезке У и при некотором уе Е У допускает асимптотическое разложение 7(х,уо) — ~~ ап(уо))рп(х) при базе Вх.
п=е Докажите, что если при этом имеет место равномерное по у Е У асимптотическое разложение В7" — (х, у) ~ ап(у))рп(х) при базе Вх =-О с непрерывными по у коэффициентами ап(у), и = 0,1,..., то исходная функция 7(х, у) имеет асимптотическое разложение 7(х, у) ~ а„(у))р„(х) при п=О базе Вх, РавномеРное по У Е У, его коэффициенты ап(У), и = О, 1,..., глаДко на промежутке У зависят от у и Я~~" (у) = ап(у). я 8. Пусть р(х) — гладкая, положительная на отрезке с ( х ( И функция.
а) Решите уравнение — "(х, Л) = Ляр(х)и(х, Л) в случае, когда р(х) = 1 ах2 на [с,д). Ь) Пусть 0 < т < р(х) < М < +ос на [с, )1[, и пусть и(с, Л) = 1, ~~-"-(с, Л) = О. Оцените снизу и сверху величину и(х, Л) при х е [с, д[. с) Считая, что 1пи(х, Л) ~ сп(х)Л' " при Л -+ +со, где се(х),с)(х),... п=е и! П!! П! ! 22 — гладкие функции, и, пользуясь тем, что ( — „) = — „— [ — „), покажите, что се (х) =р(х) и с'„' ) + ~ с), с'„, (х) = О. !2 О=О 82. Асимптотика интегралов (метод Лапласа) 1. Идея метода Лапласа.
В этом параграфе будет изложен метод Лапласа — один из немногих достаточно общих методов построения асимптотики интеграла, зависящего от параметра. Мы ограничим- 12. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 721 ся рассмотрением интегралов вида Г(Л) = у(х)е Я1*) дх, а где Я(х) — вещественнозначная функция, а Л вЂ” параметр. Такие инте- гралы обычно называют интегралами Лапласа.
Пример 1. Преобразование Лапласа Х(у)(~) = у(х)е ~*дх о является частным случаем интеграла Лапласа. Пример 2. Сам Лаплас применял свой метод к интегралам вида Ь ~Дх)~р"(х)Нх, где и Е 11, а у(х) > 0 на ~)а,Ь1. Такой интеграл тоже а является частным случаем общего интеграла Лапласа (1), поскольку ~он(х) = ехр(п1п~р(х)).
Нас будет интересовать асимптотика интеграла (1) при больших значениях параметра Л, точнее, при Л вЂ” + +со, Л Е )к. Чтобы при описании основной идеи метода Лапласа не отвлекаться на второстепенные детали, будем считать, что в интеграле (1) [а, Ь] = = 1 — конечный отрезок, функции у(х) и Я(х) гладкие на 1, причем 5(х) имеет единственный, и притом строгий, максимум Я(хв) в точке хе Е 1. Тогда функция ехр(ЛЯ(х)) тоже имеет строгий максимум в точке хв, который тем более резко возвышается над остальными значениями этой функции на отрезке 1, чем больше значение параметра Л. В результате, если у(х) ф 0 в окрестности хо, то весь интеграл (1) можно заменить интегралом по сколь угодно малой окрестности точки хв, допуская при этом относительную погрешность, стремящуюся к нулю при Л вЂ” > +со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
