1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 128
Текст из файла (страница 128)
Это наблюдение называется принципом лонализаиии. Обращая историческую последовательность событий, можно было бы сказать, что этот принцип локализации для интегралов Лапласа очень напоминает принцип локального действия д-образных семейств функций и самой Б-функции. ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 722 Теперь, когда интеграл берется только по малой окрестности точки хе, функции ((х) и о'(х) можно заменить главными членами их тейлоровских разложений при 1 Э х -+ хе. Остается найти асимптотику получаемого канонического интеграла, что делается беэ особого труда.
В последовательном выполнении этих этапов и состоит по существу метод Лапласа отыскания асимптотики интеграла. Пример 3. Пусть хе = а, У(о) ф О и ('(а) ~ О, что бывает, например, когда функция о(х) монотонно убывает на отрезке [а, Ь]. При этих условиях ((х) = ((а) + о(1) и Ь'(х) = Ь'(а) + (х — а)У(а) + о(1), когда 1 э х о о. Реализуя идею метода Лапласа, при малом е > О и Л о +со находим, что а+о Е С (1) у( ) ЛЯ(х) ( Х( ) ЛЯ(а) ЛОУ(а) ц а о У(О)Е (1 ЛЯ'(а)о) Ло'(о) Поскольку У(а) < О, отсюда следует, что в рассматриваемом случае а ЕЛа(а) Г(Л) —, при Л -+ +ос.
(2) ЛУ(а) Пример 4. Пусть а < хе < 6. Тогда У(хе) = О, и мы предположим, что оа(хе) ~ О, т. е. оа(хе) < О, посколькУ хе — точка максимУма. Используя разложения )(х) = ((хе) + о(х — хе) и о(х) = о(хе) + + оа(хо)(х — хе) + о((х — хе) ), справедливые при х -о хе, находим, 7 что при малом е > О и Л вЂ” о +оо хо-~-а Е л (Л) у(х)ела(х) лх „у(х )е~~(хо) со~~а(хо)~ о(1 хо о — о 1 ао 12 Выполнив в последнем интеграле замену переменной 2ЛЯ (хе)1 = — и2 (ВЕДЬ Ьа(ХЕ) < О), ПОЛуЧаЕМ и(Лл) а2 хЛаа(хо)С~ ра е " ди, Лол(хо) — Е -х(Лл) 12. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 723 д иэ, )=~/-~~, ~- р ~ <- Учитывая, что е я гЬ=~/х, находим теперь главный член асимптотики интеграла Лапласа в рас- сматриваемом случае: 2я Е(Л) (хе)елл(~') при Л вЂ” + +со. (3) Пример 5.
Если хе = а, но У(хе) = О и оа(хе) ( О, то, рассуждая, как и в примере 4, на сей раз получим, что а-~-г Е Е(Л) ((х)еле(х) г1х У(хе)е~~~М е21ч"(т0)г и, значит, 1 2я г(л) -— 2 (хе)е" Ом) при Л вЂ” ~+ос. (4) Г у (х, Л) г1х при Л -~ +ос, Х если: а) для этого интеграла имеет место принцип локализации (т. е. весь интеграл можно заменить эквивалентным ему при Л вЂ” + +ос интегралом, взятым по сколь угодно малым окрестностям некоторых выделенных точек) и Ь) если в локализованном интеграле подынтегральную функцию удается заменить более простой, для которой асимптотика, с одной стороны, совпадает с искомой, а с другой стороны, легко находится.
Мы получили на эвристическом уровне три наиболее употребительные формулы (2) — (4), относящиеся к асимптотике интеграла (1) Лапласа. Из приведенных рассмотрений ясно, что метод Лапласа с успехом можно использовать при исследовании асимптотики любого интеграла ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 724 Если, например, в интеграле (1) функция Я(х) имеет на отрезке [а,ь] несколько точек локапьного максимума хо,х1,...,х„, то, используя аддитивность интеграла, заменим его с мапой относительной погрешностью суммой таких же интегралов, но взятых по столь малым окрестностям У(х ) точек максимума хв,х1,...,х„, что в них содержится только по одной такой точке. Асимптотика интеграла Г 7"(х)е ~*)ах при Л -++ос, П1 „) как уже говорилось, не зависит от величины самой окрестности Цх ), и потому асимптотическое разложение этого интеграпа при Л вЂ” + +оо обозначают символом Г(Л,х ) и называют вкладом точки х в асимптотику интеграла (1).
Принцип локализации в его общей формулировке, таким образом, означает, что асимптотика интеграла (5) получается как сумма Г(Л,хг) вкладов всех критических в том или ином отношении то- 1 чек подынтегральной функции. Для интеграла (1) это точки максимума функции з(х) и, как видно из формул (2) — (4), основной вклад вносят только те точки локального максимума, в которых достигается значение абсолютного максимума функции о'(х) на отрезке [а, Ь]. В следующих пунктах этого параграфа мы разовьем высказанные здесь общие соображения и затем рассмотрим некоторые полезные приложения метода Лапласа.
Для многих приложений изложенного уже достаточно. Ниже будет также показано, как получать не только главный член асимптотики, но и весь асимптотический ряд. 2. Принцип локализации для интеграла Лапласа Лемма 1 (обэкспоненциальной оценке). Пусть М = вир о(х) < а<а<Ь < оо, и пусть при некотпором значении Ло > О интаеграл (1) сходится абсолютно. Тогда он сходится абсолютно при любом Л > Ло, и при таких значениях Л справедлива оценка ]Р(Л)] < [У(х)елз1а)] дх < Аслм (6) 5 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 725 где А Е К.
< Действительно, при Л > Ло | х( ) ЛЬЯ(х) (Л вЂ” Ло)Я(х) а /Е(Л)/ = 7'(х)еЛЯ(*) дх а Ь Ь < е(л — ло)м (|(х)елоЯ(х)) дх е — лом )дх)елоо(х)(с(х елм ь» а а Лемма 2 (об оценке вклада точки максимума). Пусть интеграл (1) сходится абсолютно при некотором значении Л = Ло, и пусть внутри или на границе промежутка Х интегрирования нашлась такая точка хо, в которой Я(хо) = впр Я(х) = М.
Если 4ункции |'(х) и а<х<Ь Я(х) непрерывны в точке хо, причем 7'(хо) ~ О, то для любого е > 0 и любой достаточно малой окрестности (7~(хо) точки хо в 1 имеет место оценка (7) Пс(хо) с постоянной В > О, справедливая при Л > щах(Ло,О). (((х)~е (х) дх > Пь(х ) ох(хо) > ~у( )~ Л(Я(хо)-о) д . В Л(Я(хо)-о) ./ 2 ЬЛ(хо) Утверждение 1 (принцип локализации). Пусть интеграл (1) сходится абсолютно при некотором значении Л = Ло, и пусть вну- ~ При фиксированном е > 0 возьмем любую окрестность Пг(хо), в пределах которой )|'(х)) > ~~(Дхо)) и Я(хо) — е < Я(х) < Я(хо).
Считая | всщественнозначной, можем заключить теперь, что в пределах Пг(х) значения функции | одного знака. Это позволяет при Л > щах(Ло, О) записать,что 72б ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ тири или на границе промежутка 1 интегрирования функция Я(х) име- ет единственную точку хв абсолютного максимума, т. е.
вне любой окрестности У(хо) точки хо епр о'(х) < Е(хв). 11п(хо) Если при этом функции У(х), Я(х) непрерывны в точке хо и 1(хв) ~ ~0, то Г(Л) = Гп,(хо)(Л)(1+ 0(Л ')) при Л о+ос, (8) где У~(хо) — произвольная окрестность хв в 1, Е,,( „)(Л):= 1( )."'(х) дх, и(х) а 0(Л ) — функция, которая есть о(Л ") при Л вЂ” о +ею и любом и Е Е Ы. < Из леммы 2 следует, что если окрестность Уг(хв) достаточно мала, то каково бы ни было число е > 0 при Л -+ +со финально выполняется неравенство (Л)! > ел(5(хо) — о) (9) Вместе с тем в силу леммы 1 для любой окрестности У(хв) точки хв справедлива оценка Г ')1(Х)~)Е~~(х) дХ < АЕЛ" Прн Л вЂ” + +ОО, ЮЧхо) (10) Р(Л) = 1'1(Л) = Гц,(хо)(Л) + Р11ц(хо)(Л), и, сославшись на оценки (9), (10), заключить о справедливости соотно- шения (8).
)ь где А > 0 и)х = впр Я(х) < Е(хо). хек(и(хо) Сопоставляя зту оценку с неравенством (9), легко заключить, что неравенство (9) имеет место финально при Л о +ос для любой окрестности Ус(хо) точки хо. Теперь остается написать,что 12. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 727 Итак, установлено, что с относительной погрешностью порядка 0(Л ) при Л вЂ” 1 +ос можно, описывая асимптотику интеграла Лапласа (1), заменить его интегралом по сколь угодно малой окрестности 111(хо) точки хо абсолютного максимума функции Я(х) на промежутке интегрирования 1.
3. Канонические интегралы и их асимптотика Лемма 3 (о каноническом виде функции в окрестности критической точки). Если вещественнозначнал функиил Я(х) в окрестности (полуокрестности) точки хо Е К принадлежит классу гладкости С~ +~), причем У(хо) =... = Е1" ')(хо) = О, Е(")(хо) ~ О, а й Е И или й = оо, то существуют такие окрестности (полу- окрестности) 1 точки хо, 1д точки 0 в К и такой диффеоморфизм <р Е СОО(1„,1 ), что З(у(у)) = Б(хо) +ву", когда У Е 1о и в = зкпо1")(хо).
При этом 1 1/и 1о(0) = хо и ср'(0) = ) ~Ф(")( П) ~ Воспользовавшись формулой Тейлора с интегральным видом остатка Е(х) = Яхо) + / Е ")(хо+ й(х — хо))(1 — ~)" (х — хо)и и-1 ( -1)( l о представим разность Я(х) — Я(хо) в виде Я(х) — Я(хо) = (х — хо) г(х), где функция г(х) = о( )(хо+1(х хо))(1 — с)" ас 1 (и — 1)! о ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 728 в силу теоремы о дифференцировании интеграла по параметру х принадлежит классу С1ь1, причем г(хо) = -~~У"~(хо) ~ О. Значит, функция у = ф(х) = (х — хо) ~4г(х)[ в некоторой окрестности (полуокрестности) 1 точки хо также принадлежит классу гладкости С и даже монотон- 00 на,поскольку В таком случае рассматриваемая на 1 функция ф имеет обратную функцию ф ' = ~р, определенную на промежутке 1и — — Я1х), содержащем точку 0 = 4(хо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
