1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 131
Текст из файла (страница 131)
АСИМНТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 744 Итак, для интеграла (25) получаем асимптотическое разложение г(А) = л-'",Г 'з ~ ( ) л-", И2г" 1=0 (27) где х = у(у) такая гладкая функция, что х — 1п(1+х) = у~ в окрестности нуля (по х и по у). Если мы хотим найти первые два члена асимптотики, то в общую формулу (27) надо подставить конкретные значения у'(0) и ~р~з)(0). Быть может, не бесполезно продемонстрировать следующий прием для вычисления этих значений, который вообще можно использовать для получения тейлоровского разложения обратной функции по разложению прямой функции. Считая, что х > 0 при р > О, из соотношения х — 1п(1+ х) = у последовательно получаем -х )1 — — х+ — х +0(х))=у, г( 2 1г з1 2 ~ 3 2 г з ' х = ъ/2у 1 — — х 4- хг + 0(хз) ~ 3 2 г = ~/2у 1+ — х — — хг + 0(хз) 3 12 Л Л = ъ'29+ — ух — — ух + 0(ух ).
3 12 х = Лу+ — у Лу+ — ух+0(рз) 9(др)г+0(94) ,2 ( 2,~ .2 3 ~ 3 12 — 9 +0(Р)= Л З 4 6 — — у +0(у)= Л З 4 6 = ~2у+ -у + — р + 0(у ). 2 Л з 3 18 2г 2г =н2у+-у + — у х— 3 9 = ~Г2у+ — у + — у (ъ'29) 2г 2г 3 9 Но х ~/2р при у — + 0 (х — + О), поэтому, используя уже полученное представление х, можно продолжить эту выкладку и получить, что при у -+ 0 12. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 745 Таким образом, для интересующих нас величин у'(О), ~р(з)(0) получаем следующие значения: у'(О) = ~Г2, у(з)(0) = зз22. Подставляя их в формулу (27), находим, что Г(Л) = Л ~7~~/2~г 1+ — Л 1+ 0(Л 2) при Л-++ос, 1 12 откуда вновь можно получить формулу (26).
В заключение сделаем еще два замечания, относящиеся к обсуждаемым в этом параграфе вопросам. Замечание 6 (о методе Лапласа в многомерном случае). Отметим, что метод Лапласа с успехом применяется и при исследовании асимптотики кратных интегралов Лапласа г(Л) = у(х)е ~*) Ых, х в которых х Е К", Х вЂ” область в К", у, Я вЂ” вещественнозначные функции в Х. Для таких интегралов справедлива лемма 1 об экспоненцизльной оценке, в силу которой исследование асимптотики такого интеграла сводится к исследованию асимптотики его порции у(х)е ~*) дх, У(хо) взятой по окрестности точки хо максимума функции Я(х). Если это невырожденный максимум, т.е.
ол(хе) ф О, то по лемме Морса (см. ч.1, гл. 17П1, 26) существует замена переменной х = ~р(у) такая, что Я(хе) — Я(~р(у)) = )у)2, где )у)2 = (у1)+... + (у")2. Тем самым дело сводится к каноническому интегралу который в случае гладких функций 7', Я, применяя теорему Фубини, можно исследовать, опираясь на доказанную выше лемму Ватсона (см. в этой связи задачи 8 — 11). ГЛ. Х1Х.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 74б Замечание 7 (о методе стационарной фазы). Метод Лапласа в его расширенной трактовке, как мы уже отмечали, зто: 1' определенный принцип локализации (лемма 1 об зкспоненциальной оценке), 2' способ локального приведения интеграла к каноническому виду (лемма Морса) и 3' описание асимптотики канонических интегралов (лемма Ватсона).
Идея локализации нам уже ранее встречалась при изучении 6-образных семейств функций, а также при исследовании ряда и преобразования Фурье (лемма Римана, гладкость функции и скорость убывания ее преобразования Фурье, сходимость ряда и интеграла Фурье). Важное место в математике и ее приложениях занимают интегралы вида Я (Л) (( )ехлб(х] ~з х где я с К", называемые интезраламп Фурье.
Интеграл Фурье отличается от интеграла Лапласа лишь скромным множителем 4 в показателе. Это приводит, однако, к тому, что при вещественных Л и о(я) получается ~е лл( ) ~ = 1 и, значит, идея доминантного максимума при исследовании асимптотики интеграла Фурье непригодна. Пусть Х = (о, Ь] С К~, 1 Е Се ((а, Ь], К) (т. е. 1- — финитна на (а, Ь]), Я е С< ) ((а, Ь], К) и з'(я) ~ О на (а, Ь].
Интегрируя по частям и используя лемму Римана (см. задачу 12), получаем,что 7х( ) ъЛЯ(х1 ~ ( ~ аЛб(х) Г У(х) 4Л Я'(х) а а Ь вЂ” — — — (х)е' ~*) с1л = а 1 а ( ) 1ЛБ(х) ~ ) ( ) АЛЬ(х) 1 Л Г Л" / = о(Л ") при Л -+ оо. 12. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 747 Таким образом, если У(0) „-6 0 на отрезке [ач Ь], то эа счет все увеличивающейся при Л -+ оо частоты осцилляции функции е'~~(*) интеграл Фурье по отрезку [а, Ь) оказывается величиной типа 0(Л ). Функция Я(х) в интеграле Фурье называется фазовой функцией.
Таким образом, для интеграла Фурье имеет место свой принцип локализации, называемый принципом стационарной фазы. Согласно этому принципу асимптотика интеграла Фурье (в случае )' Е Со )) с точностью до величины 0(Л ) при Л -+ оо совпадает с асимптотикой порции интеграла Фурье, взятой по окрестности (7(хо) стационарной точки хо фазовой функции (т. е. точки хо, в которой о'(хо) = 0). После этого заменой переменной дело приводится к каноническому интегралу Е Р!(Л) — 1(х)е1лх дх о асимптотика которого описывается специальной леммой Эрдейи, имеющей для интеграла Фурье ту же роль, что и лемма Ватсона для интеграла Лапласа. Указанная схема исследования асимптотики интеграла Фурье называется методом стационарной фазы.
Природа принципа локализации в методе стационарной фазы совсем иная, чем в случае интеграла Лапласа, но общая схема метода Лапласа, как видно, оказывается пригодной и здесь. Некоторые подробности, относящиеся к методу стационарной фазы, читатель найдет в задачах 12 — 17. Задачи и упражнения Метод Лапласа в одномерном случае. 1. а) Функция Ь(х) = е "* при о > 0 достигает максимума, когда х = О.
При этом Ь(х) есть величина порядка 1 в 6-окрестности точки х = О размера в =0(Л '7 ). Используя лемму 1, покажите, что если 0 < 6 < 1, то интеграл а И'(Л) = / хв '1'(х)е "* дх, й ля) ~-1 -ллл где с(Л,б) = Л, имеет порядок 0(е лл ) при Л -+ -~-оо; А — положительная постоянная. ГЛ.
Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 748 Ь) Докажите, что если функция 7 непрерывна при х = О, то И'(Л) = а 'Г(13/а) [7(0) + о(1)]Л ®У при Л -+ +со. с) В теореме 1, а), условие 7(х) = 7(хо) + 0(х — хе) можно ослабить, заменив его условием непрерывности 7 в точке хо. Покажите, что при этом сохраняется тот же главный член асимптотики, но, вообще говоря, не само равенство (2'), в котором теперь 0(х — хе) заменяется на о(1). 2. а) Числа Бернулли Взь определяются из соотношения — — — — — — [1] < 2х. 1 1 1 Вль 1 — е ' 2 (2/с)! а=1 Известно,что Покажите, что ! ~ ~ ~ х ~~ ~ ~ ~ ~ о Г' 1 ч Вль — ] (х) 1пх — — — у — х при х -++ос. Ь) Докажите, что при х -+ +оо Это асимптотическое разложение называется рядом Стирлинеа.
с) Используя ряд Стирлинга, получите первые два члена асимптотики функции Г(х + 1) при х -+ +со и сравните ваш результат с полученным в примере 13. д) Следуя методу примера 13 и независимо от этого пользуясь рядом Стирлинга, покажите,что Г(х+1) = ~/2хх [ — ) [1+ — + +0 [ — ) ] при х — ~+со. е [, 12х 288хз 1,хз)/ 3. а) Пусть 7' Е С([О,а], К), 5 Е С< >([О,а],И), В(х) ) 0 на [О,а] и В(х) достигает максимума при х = О, причем У(0) ф О. Покажите, что если 7(0) ф ф О, то а 1(Л):= У(х)В~(х) дх —, В~л ~(0) при Л -+ +ос. о 2 2.
АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 749 Ь) Получите асимтотическое разложение 1(Л) я + (0)~~ аьЛ 1ь+И при Л-++ос, ь=о если дополнительно известно, что 1, 5 Е 01'а1([О„а), Н). 4. а) Покажите, что а/г ейп 1й = ~ — (1+ 0(п ~)) при и — Ф +оо. у 2п о Ь) Выразите этот интеграл через зйлеровы интегралы и покажите, что ~2о — 1М! я при п Е М он равен (2 1 1' 2нп чг с) Получите формулу Валлиса я = 1пп — „~ " а) д) Найдите второй член асимптотического разложения исходного интеграла при п — > +оо. 1 5. а) Покажите, что ) (1 — хг)" Ых ~ф при и -+ +со.
— 1 Ь) Найдите следующий член асимптотики этого интеграла. б. Покажите, что если о ) О, то при х -+ +со 2к 1 7о Ф а 1*й ~1 — хта екр ~ — ха) . у еа ~е о 7. а) Найдите главный член асимптотики интеграла (1 + 1) "е "' й при и — > +со. о -~-со Ь) Используя полученный результат и тождество к!п ь = ) е "'1" й, о покажите,что сак1п ~ = — (1+0(п ')) при п — ~+со.
2 ьао Метод Лапласа в многомерном случае. 8. Лемма об экспоненциальной оценке. Пусть М = впрЯ(х), и пусть при аев некотором значении Л = Ло интеграл Г(Л) = э~ 71х)е~~1*1дх псиа ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 750 сходится абсолютно. Покажите, что тогда он сходится абсолютно при Л > Ло и !1(Л)/ < / !~(х)е~л~*~/е1х < Ае"~ (Л > Ло), и где А — положительная постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
