1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 134
Текст из файла (страница 134)
Асимптотическая последовательность и асимптотический ряд. Пример: асимптотическое разложение функции Е1(х). Различие между сходящимися и асимптотическими рядами. Асимптотика интеграла Лапласа (главный член). Формула Стирлинга. 1Ъ" семестр Интегральное исчисление (функции многих переменных) 1. Интеграл Римана на и-мерном промежутке. Критерий Лебега существования интеграла. 2.
Критерий Дарбу существования интеграла от вещественнозначной функции на и-мерном промежутке. 3. Интеграл по множеству. Мера Жордана множества и ее геометрический смысл. Критерий Лебега существования интеграла по измеримому множеству. Линейность и аддитивность интеграла.
4. Оценки интеграла. 5. Сведение кратного интеграла к повторному: теорема Фубини и ее важнейшие следствия. 6. Формула замены переменных в кратном интеграле. Инвариантность меры и интеграла. Т. Несобственные кратные интегралы: основные определения, мажорантный признак сходимости, канонические интегралы. Вычисление интеграла Эйлера — Пуассона. 8. Поверхность размерности и в И" и основные способы ее задания. Абстрактное х-мерное многообразие. Край й-мерного многообразия как (й — 1)-мерное многообразие без края. 9.
Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Способы задания ориентации абстрактного многообразия и (гипер)поверхности в И". Ориентируемость края ориентируемого многообразия. Согласованная ориентация многообразия и края. 10. Касательный вектор и касательное пространство к многообразию в точке. Интерпретация касательного вектора как дифференциального оператора. 11. Дифференциальная форма в области В С И". Примеры: дифференциал функции, форма работы, форма потока. Координатная запись дифференциальной формы. Операция внешнего дифференцирования.
12. Отображение объектов и сопряженное отображение функций на этих объектах. Преобразование точек и векторов касательных пространств в этих точках при гладком отображении. Перенос функций и дифференциальных форм при гладком отображении. Рецепт выполнения переноса форм в координатном виде. 13. Коммутирование переноса дифференциальных форм с операциями их внешнего умножения и дифференцирования.
Дифференциальная форма на многообразии. Инвариантность (корректность) операций над дифференциальными формами. 14. Схема подсчета работы и потока. Интеграл от й-формы по 1с-мерной гладкой ориентированной поверхности. Учет ориентации. Независимость ин- ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 763 теграла от выбора параметризации. Общее определение интеграла от дифференциальной й-формы по Й-мерному компактному ориентированному многообразию.
15. Формула Грина на квадрате, ее вывод, интерпретация и запись на языке интегралов от соответствующих дифференциальных форм. Общая формула Стокса. Редукция к я-мерному промежутку и доказательство для я-мерного промежутка. Классические интегральные формулы анализа как конкретные варианты общей формулы Стокса. 16. Форма объема в И" и на поверхности.
Зависимость формы объема от ориентации. Интеграл первого рода и его независимость от ориентации. Площадь и масса материальной поверхности как интегралы первого рода. Запись формы объема я-мерной поверхности Я" С И" в локальных параметрах и запись формы объема гиперповерхности Я" ' С И" в декартовых координатах объемлющего пространства. 17. Основные дифференциальные операторы теории поля (бгаг1, гог, Жг) и их связь с оператором И внешнего дифференцирования в евклидовом ориентированном пространстве Из.
18. Запись работы и потока поля в виде интегралов первого рода. Основные интегральные формулы теории поля в Из как векторная запись классических интегральных формул анализа. 19. Потенциальное поле и его потенциал. Точные и замкнутые формы. Дифференциальный необходимый признак точности формы и потенциальности векторного поля, его достаточность в односвязной области. Интегральный критерий точности 1-форм и векторных полей.
20. Локальная точность замкнутой формы (лемма Пуанкаре). Глобальный анализ. Гомологии и когомологии. Теорема де Рама (формулировка). 21. Примеры приложений формулы Стокса (Гаусса — Остроградского): вывод основных уравнений механики сплошной среды. Физический смысл градиента, ротора и дивергенции.
22. Оператор набла Гамильтона и работа с ним. Градиент, ротор и дивергенция в триортогональных криволинейных координатах. ЭКЗАМЕНАЦИОННОЕ ЗАДАНИЕ (математический анализ, третий семестр) 1. Рассмотрим последовательность (у„) вещественнозначных функций, определенных, например, на отрезке [О, 1]. а) Какие виды сходимости последовательности функций вы знаете? Ь) Дайте определение каждой из них. с) Какова связь между ними? (Докажите эту связь или приведите поясняющий пример, когда такой связи нет.) 2.
Дана 2х-периодическая функция у. Она тождественно равна нулю на интервале ] — я, 0( и у(х) = 2х на отрезке (О, х]. Найдите сумму Я стандартного тригонометрического ряда Фурье этой функции. 3. а) Известно разложение функции (1+ х) ' в степенной ряд (егеометрическая прогрессияэ) . Получите отсюда степенное разложение функции 1п(1+х) и обоснуйте ваши действия. Ь) Каков радиус сходимости полученного ряда? с) Сходится ли этот ряд при х = 1 и, если да, будет ли его сумма равна 1и 2? Почему? 4.
а) Известно, что спектральная функция (характеристика) р линейного прибора (оператора) А всюду отлична от нуля. Как, зная функцию р и полученный сигнал д = Ау, найти переданный сигнал у? Ь) Пусть функция р такова: р(ы) = 1 при ]ы] < 10 и р(ы) = 0 при Ц > > 10. Пусть известен спектр д (преобразование Фурье) принятого сигнала д, а именно, д(ы) = 1 при ]ы] < 1 и д(ы) = 0 при ~ы~ > 1.
Наконец, пусть известно, что входной сигнал у не содержит частот за пределами частот, пропускаемых прибором А (т.е. за пределами частот ]ы] < 10). Найдите входной сигнал у'. 5. Используя Г-функцию Эйлера и метод Лапласа, получите весьма цент в х '1 ную асимптотическую формулу Стирлинга п! ~(2хп ~-) е ПРОМЕ2КУТОхгНОЕ КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ (математический анализ, четвертый семестр) 1. Вычислите значения приведенных ниже форм ы в К" на указанных наборах векторов: а) ы = х~Нх' на векторе с = (1,2,3) е ТК(' >,.
Ъ) ш = дх' Л Нхз + х'Ыхг Л дх4 на упорядоченной паре векторов сесг Е е Т1~, ед о~. (Полагаем сг = ®,, Я), сг = (сг,, сг~) ) 2. пусть 1',..., у" — гладкие функции аргумента х = (х',..., х") е к". Выразите форму ф' л... л ф" в терминах форм дх',..., дх". 3. В области Р С Кг действует векторное поле сил Е. Рассчитываем работу, необходимую для перемещения в этом поле из точки а е Р в точку 6 е Р вдоль гладкого пути у С Р. а) Напишите формулу для подсчета этой работы в виде интеграла первого и второго рода (т, е, в терминах ~Ь и Нх, ду, дг соответственно). Ъ) Проверьте, что в гравитационном поле 6" эта работа не зависит от пути и равна...? 4.
а) В области Р С Кз имеется векторное поле 6' (например, поле скорости некоторого течения). Напишите формулу для подсчета потока векторного поля Г через ориентированную поверхность Я = Яг„С Р в виде интеграла первого и второго рода (т.е. в терминах Нп и дуЛдх,ЖхЛНх,йхЛду соответственно) . Ъ) Взят выпуклый многогранник Р С Кз. На каждой его грани построен вектор, направленный вдоль внешней нормали и по величине равный площади соответствующей грани.
Физика говорит, что сумма этих векторов равна нулю (иначе построим вечный двигатель). Математика дает то же. Покажите зто. с) Прямым расчетом выведите закон Архимеда (подсчитайте выталкивающую силу, действующую на тело, погруженное, например, в наполненную водой ванну, как результирующую давления на поверхность тела). ДОПОЛНЕНИЕ 1 РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ (вводная лекция) В геологии сначала найдут, разведают месторождение, а потом разрабатывают. В математике так же.
Аксиоматика и полезный формализм возникают как результат решения конкретных вопросов и задач. Они не падают с неба, как это может показаться неопытному студенту, когда все начинается с аксиом. Этот семестр в значительной степени посвящен рядам, т. е. по существу пределу последовательности.
Чтобы замечательно эффективный аппарат теории рядов не свелся к абстрактному исследованию сходи- мости ряда (существованию некоего предела), дадим хотя бы начальное представление о том, где и как работает этот инструмент. О. Разминка а) Букашка ка резинке (задача, предложенная Л. Б.
Окунем А. Д. Сахарову).') ° Вы держите один конец резинового шнура длиной 1 км. От второго его конца, который закреплен, к вам со скоростью 1 си/с ползет букашка. Каждый раз, как только она проползает 1 ем, вы растягива- ПМартин Гарднер в своей книге «Путешествие во времени> (Москва, Мир, 1990, с. 133) пишет: «Эту замечательную задачу в духе парадокса Зенона об Ахиллесе и черепахе придумал Д.
Уилкин из Новой Каледонии. Впервые она была опубликована в декабре 1972 г. в разделе занимательных задач французского ежемесячника „Вс1епсе ее У1е", который с присущим ему блеском ведет Пьер Верлокен». ДОПОЛНЕНИЕ 1. РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ 767 ете резинку на 1 км. Доползет ли букашка до вашей руки? Если да, то приблизительно сколько ей на это потребуется времени? Ъ) Интеерал и оценка сумм. После некоторого размышления для ответа на предыдущий вопрос 1 1 1 вам может оказаться полезной сумма оа = 1+ — + — +... + —. 2 3 и 1 ° Вспомните интеграл и покажите, что о„— 1 < ) — дх < о'„1. я с) От обезьяны до доктора наук асеев 106 лет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
