1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 138
Текст из файла (страница 138)
е) Если у — гладкая функция, то в качестве константы Липшица Ь для нее, очевидно, может служить максимум модуля ее градиен- 1 та. Например, для линейной функции о„= — 1х1 + ... + х„) имеем 1 ь = Ь„= —. Пусть имеется последовательность липшицевых функций ~'„Е Ыр1о" 11г„), К), для которых Ь„= О ~ — при том, что г„=,/и.
( 1 '1 Оцените РгЯ„(х) — Му„( > е) и дисперсию величины Щх) — Му„( при п )) 1. В частности, когда г"„= о„, получите стандартный закон больших чисел. 1) Пусть |„= х1+... +х„. Уровни этой функции — гиперплоскости в Р', ортогональные вектору (1,..., 1). То же можно сказать и о линей- 1 ной функции Е„= — (х1+... + х„) с той разницей, что при движении из начала координат в направлении 11,..., 1) ее значения совпадают с расстоянием до начала координат. По этой причине на сфере о'" 1(г„) они распределены так же, как любая из координат.
Используя это наблюдение и результат задачи 1л1), полагая г„= = о1/й, получите ваш вариант центральной предельной теоремы. 786 ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ 3. Многомерный промежуток (многомерный «куб«) а) Пусть 1 — стандартный единичный отрезок [О, 1] числовой прямой К, а 1" — стандартный и-мерный промежуток в К", обычно именуемый и-мерным единичным кубом. Это единица объема в К", но ее размеры ~/в при и >> 1 весьма внушительны. Значит, даже липшицева функция с константой Липшица Х может на 1" иметь разброс значений в пределах 1 ~/й. Тем не менее здесь, как и в рассмотренном выше случае сферы, имеет место явление асимптотической стабилизации (концентрации) значений таких функций при и — ~ оо.
Попробуйте теперь сами найти нужные формулировки и провести в соответствии с ними исследование вопроса до посильного вам уровня. (Затем просмотрите еще раздел 5 этого добавления.) Ь) Если бы мы имели и независимых случайных величин х;, принимающих значения на единичном отрезке [О, 1] и имеющих распределения вероятностей р,(х), которые равномерно по г отделены от нуля (в частности, все р;(х) могут быть одинаковы), то с ростом и подавляющая часть случайных точек (хп..., х„) Е 1" окажется в непосредственной близости границы куба. Объясните это и, учитывая результаты пункта а), получите ваш обобщенный закон больших чисел.
с) Покажите на примере, что если плотности вероятностей случайных величин пункта Ь) сосредоточить в вершинах куба в виде точечных масс, то асимптотической стабилизации значений липшицевых функций при и — > оо может не быть. с1) Выше мы отметили, что хотя объем куба 1" в К" равен единице, его диаметр ~/й при и >> 1 растет, что создает трудности. Однако справедливо следующее полезное компенсирующее наблюдение; если каждое из двух подмножеств А и В куба 1" имеет меру, большую сколь угодно малого фиксированного положительного числа е, то расстояние между А и В ограничено сверху константой, зависящей только от с (и не зависящей от и).
Проверьте это и, если нужно, воспользуйтесь этим. е) Подсчитайте объем единичного шара в К" и убедитесь, что радиу р д б р + р . « /я2 )Вр тесь к разделам 1, 2 и убедитесь еще раз, что нормальное распределение ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ 787 и примыкающие к нему законы в геометрическом аспекте тесно связа- ны с простым многомерным объектом — шаром единичного объема.
4. Гауссовские меры и их концентрация а) В связи с обсуждением наблюдаемой стабилизации (постоянства) значений регулярной функции на многомерной сфере мы сказали в разделе 2 этого дополнения об изопериметрическом неравенстве на сфере. Такой же вопрос о минимизации меры б-раздутия множества важен и по тем же причинам интересен также по отношению к другим пространствам, которые служат естественными областями определения нужных функций. Например, для гауссовских вероятностных мер, определяемых нормальным распределением вероятностей в стандартном евклидовом пространстве Ж", ответ на этот вопрос тоже известен (получен Борелем).
В этом случае экстремальной областью (с исходно фиксированным значением гауссовской меры и д-рэздутием, понимаемым в евклидовой метрике) оказывается полупространство. 1 В частности, если взять полупространство гауссовскои меры — и непосредственно вычислить значение гауссовской меры дополнения к его евклидову б-раздутию, то, учитывая упомянутое изопериметрическое неравенство Бореля, можно заключить, что для любого множества А, 1 имеющего в пространстве И" гауссовскую меру —, меру его б-раздутия можно оценить снизу в виде,ы(Аб) > 1 — 1б, где 1~ — интеграл от плот/ )х! ности (2я) 7 ехр ~ — ~ гауссовской меры по полупространству, удаленному от начала координат на евклидово расстояние б.
Оценка интеграла Хб сверху позволяет, например, утверждать, что б ,и(Аб) > 1 — 2ехр ~ — — ). Проверьте это! Ь) Это грубая оценка, но и она показывает быстрый рост р(Аб) при 1 увеличении б, каково бы ни было исходное множество А меры —. Очень интересно (а учитывал возможные переходы в бесконечно- мерные пространства, даже весьма полезно) заметить, что последняя оценка не зависит от размерности пространства. Может показаться, что отсутствие здесь размерности пространства †больш потеря и слабость оценки в контексте обсуждаемой концентрации меры и ста- ДОПОЛНЕНИЕ 3.
МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ 789 править не вдоль какого-то одного ребра куба, а вдоль главной диагонали, смешивая все координатные направления в равной степени. Взяв (1 а = 1 — ... — ( на основании указанной оценки заключаем что 1 «/п' ' ~/и(' объем и-мерного куба 1" с ростом и концентрируется в относительно малой окрестности гиперплоскости, проходящей через начало коорди- (1 нат ортогонально вектору ~ —,..., — ) . В частности, если рассматривать биллиард в таком кубе как динамическую систему (газ) из невзаимодействующих частиц, то при и» 1 подавляющее большинство траекторий частиц будет идти в направле- (1 нии, почти перпендикулярном фиксированному вектору ~ —,..., — (, находясь большую долю времени в окрестности указанной выше гиперплоскости. Заметим также, что сечение куба этой выделенной гиперплоскостью будет становиться все более «круглым«по мере роста размерности и.
6. Кодирование сигнала в канале с шумом Укажем в заключение еще одну область, где функции очень большого числа переменных тоже появляются естественным образом и где принцип концентрации меры проявляется и используется тоже по существу. Мы уже привыкли к цифровому (дискретному) кодированию и передаче сигнала (музыки, изображения, сообщения — информации) по каналу связи. В таком виде сообщение можно себе мыслить как вектор х = (х1,...,х") в пространстве К" очень большой размерности. На передачу такого сообщения затрачивается энергия Е, пропорциональная ~~х~~~ = )х ~~+...
+ (х")~ (подобно рассмотренной выше суммарной кинетической энергии молекул газа). Если Т вЂ” продолжительность передачи сообщения х, то Р = Е!Т вЂ” средняя мощность, затрачиваемая на передачу одного символа (одной координаты вектора х). Если «'« — среднее время, затрачиваемое на передачу одной координаты вектора х, то Т = пЬ и Е = пРЬ. Передающее и принимающее устройства согласованы так, что передатчик преобразует (кодирует) подлежащее передаче исходное сообщение в форму вектора х, отправляет его по каналу связи, а приемник, 790 ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ зная код, расшифровывает х, преобразуя его в форму исходного сообщения. Если нам надо передать М сообщений АО., ., Ам длины п, то достаточно в шаре радиуса Е = пРЬ фиксировать М точек ап..., ам, согласовав этот выбор с приемным концом канала связи.
Если в канале связи нет помех, то, получив вектор а из согласованного набора, приемник безошибочно декодирует его в соответствующее сообщение А. Если же в канале связи есть помехи (что обычно и случается), то помеха, случайный вектор ~ = ((1,..., ~"), сместит передаваемый вектор а и на приемник поступит вектор а+ (, который надо будет правильно расшифровать. Если точки ап..., ам были выбраны так, что шары радиуса )Щ с этими центрами не пересекаются, то однозначная расшифровка еще возможна.
Но если соблюдать это требование, то уже нельзя брать сколько угодно точек а1,...,ам, и возникает проблема плотной упаковки шаров. Это сложная задача, решения которой в рассматриваемой ситуации, как показал Шеннон, можно избежать, учитывая, что размерность п пространства К" здесь огромна. Позволим себе иногда ошибаться при расшифровке принятого сообщения.
Потребуем, однако, чтобы вероятность ошибки была сколь угодно мала (меньше любого фиксированного положительного числа). Шеннон показал, что даже при наличии в канале связи случайных помех (белый шум) любой ограниченной мощности, выбирая достаточно длинный код (т. е. при больших значениях п), можно добиться скорости передачи сколь угодно близкой к скорости передачи информации по каналу без шума, при этом со сколь угодно малой вероятностью ошибки.
Геометрическая идея теоремы Шеннона непосредственно связана с обсуждавшимися выше особенностями распределения меры (объема) областей в пространстве большой размерности. Поясним это. Предположим, что два одинаковых шара в пространстве К" пересекаются. Если принятый сигнал окажется в этом пересечении, то возможна ошибка в расшифровке переданного сообщения. Но если вероятность попадания в какую-то область считать пропорциональной относительному объему области, то естественно сравнить объем пересечения шаров с объемом шара. Проведем нужную оценку. Если центры двух шаров радиуса 1 находятся на взаимном расстоянии е (О < е < 2), р * р яр р рщу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
