1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 136
Текст из файла (страница 136)
Любому разбиению Р промежутка 1 на промежутки 1м 1о,..., 1ь соответствует разложение Р на множества у(1;), г = 1,..., и. Если все эти ПФрагмент лекций с альтернативным и независимым доказательством формулы замены переменных. ДОПОЛНЕНИЕ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 775 множества измеримы и пересекаются попарно лишь по множествам ме- ры нуль, то в силу аддитивности интеграла Если 1 непрерывна на Р, то по теореме о среднем где (, Е у(11).
Поскольку 1(С1) = Ду(71)), где т, = у (С1), то нам остается связать р(~р(11)) с р(1,) = ~1 ~. Если бы у было линейным преобразованием, то ~р(11) был бы параллелепипедом, объем которого, как известно из аналитической геометрии и алгебры, был бы равен ~бе1 ф)д(11). Но диффеоморфизм локально является почти линейным отображением, поэтому если размеры промежутков 1, достаточно малы, то с малой относительной погрешностью можно считать, что р(~р(1,)) = ~1(еФ ~р'(7;Ид(11) (можно показать, что при некотором выборе точки т, Е 1; будет иметь место даже точное равенство).
Таким образом, (2) Но справа в этом приближенном равенстве стоит интегральная сумма от функции 1'(у(~))~с1е1~р'(~)~ по промежутку 1, отвечающая разбиению Р этого промежутка с отмеченными точками т. В пределе при А(Р) — 1 0 из (1) и (2) получаем 1(х)йх = Д~р(1))~йеФ~о'(Ф)~Ж. (3) Это и есть искомая формула вместе с ее объяснением. Намеченный путь к ней можно пройти со всеми обоснованиями. Собственно, нам надо только показать законность последнего предельного перехода, предполагавшего, что стоящий в (3) справа интеграл существует, а также уточнить использованную связь р(~р(11)) = (с(еФ у'(7,) ~ .
(Ц. Проделаем это. 776 ДОПОЛНЕНИЕ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 2. Некоторые свойства гладких отображений и диффеоморфизмов а) Напомним, что любое гладкое отображение ~р замкнутого ограниченного промежутка Х С Н" (как и любого выпуклого компакта) является липшицевым. Это следует из теоремы о конечном приращении и ограниченности у' (в силу непрерывности) на компакте: ]У(гг) — Ф(21)] ~ яцр ]]У (7)]] ]гг — 21~ ~ («]гг — 21]. (4) «е]п,н] Ь) Это, в частности, означает,что при отображении р расстояние между точками не может увеличиться более, чем в Е раз.
Например, если какое-то множество Е с 1 имело диаметр с], то диаметр его образа д(Е) не больше чем ь««, и множество «г(Е) можно покрыть (и-мерным) кубиком с ребром величины Тл( и объемом (Ьд)". Так, если Š— и-мерный кубик с ребром д и объемом б", то его образ покрывается стандартным координатным кубиком объема (Ь,/йд)". с) Из этого следует, что при гладком отображении образ множества меры нуль также является множеством меры нуль (в смысле и-мерной меры).
(Ведь в определении множества меры нуль, как легко заметить, можно ограничиться покрытиями из кубиков вместо покрытий общими п-мерными промежутками — «прямоугольными параллелепипедами«.] Если гладкое отображение у: Р« -+ Р, к тому же имеет и гладкое обратное отображение р 1: Р— > Ре т.е. если «г — диффеоморфизм, то, очевидно, и прообраз множества меры нуль тоже имеет меру нуль.
«]) Поскольку при диффеоморфизме якобиан «]е~у' отображения всюду отличен от нуля, а само отображение взаимно однозначно, то (в силу теоремы об обратной функции) внутренние точки любого множества при таком отображении переходят во внутренние точки образа этого множества, а граничные точки — в граничные точки образа. Вспоминая определение допустимого (измеримого по Жордану) множества как ограниченного множества, граница которого имеет меру нуль, можем заключить, что при диффеоморфизме образ измеримого множества также является измеримым множеством. (Это верно и для любых гладких отображений.) Но для диффеоморфизмов еще и прообраз измеримого множества, очевидно, является измеримым множеством.
ДОПОЛНЕНИЕ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 777 е) Последнее, в частности, означает, что если ~о: Р~ -+ Р— диффеоморфизм, то из существования интеграла, стоящего в левой части доказываемой формулы (3), вытекает (на основании критерия Лебега) и существование интеграла, стоящего справа. 3. Связь мер образа и прообраза при диффеоморфизме Покажем теперь, что если ~р: 1 -+ ~р(1) — диффеоморфизм, то д(~р(1) ) = Йе1 у'(й) сй, 1 (5) в предположении положительности подынтегральной функции йеФ у'. Отсюда по теореме о среднем, в частности, получится, что найдется такая точка т Е 1, что д(~р(1)) = с1е1 ~о'(7)~1~.
(6) Формула (5) фактически есть частный случай формулы (3), когда 1' = 1. Для линейных отображений она известна, хотя, возможно, без обсуждения деталей, связанных с тем, что она справедлива по отношению к линейным отображениям не только простейших параллелепипедов, но и любых измеримых множеств. Поясним зто. Известно,что линейное отображение раскладывается в композицию простейших, которые, с точностью до возможной перестановки пар координат, сводятся к изменению только одной из них: умножению на число или добавлению к одной из координат другой. Теорема Фубини позволяет сказать, что в первом случае объем любого измеримого множества умножится на тот же множитель, что и умножземая координата (точнее, на его модуль, если рассматриваются неориентированные объемы).
Во втором случае фигура хотя и меняется, но ее объем остается прежним, поскольку соответствующие одномерные сечения лишь сдвигаются, сохраняя линейную меру. Наконец, перестановка пары координат меняет ориентацию пространственного репера (определитель такого линейного преобразования равен -1), но не меняет значения неориентированного объема фигур. (На языке теоремы Фубини зто просто смена порядка двух интегрирований.) 778 ДОПОЛНЕНИЕ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ Остается вспомнить, что детерминант композиции линейных отображений является произведением детерминантов сомножителей.
Итак, считая, что для линейных и аффинных отображений формула (5) уже установлена, докажем ее для произвольного диффеоморфизма с положительным якобианом. а) Воспользуемся еще раз теоремой о конечном приращении, но теперь чтобы оценить возможное отклонение отображения у: 1 — ~ р(1) от аффинного отображения Ф ~ А(1) = ~о(а) + у'(а)(1 — а), где 1— переменная, а а — фиксированная точка промежутка 1. Отображение А: 1 — ~ А(1) есть просто линейная часть тейлоровского разложения отображения ~р в точке а б 1.
Применяя к функции 2 > у(2) — ~о'(а)(2 — а) теорему о конечном приращении, находим (~р(2) — у(а) — ~р'(а)(1 — а)~ < апр фр'(7) — ~р'(а)8 ° (1 — а~. (7) ге[ля) Учитывая равномерную непрерывность непрерывной функции у' на компакте Х, из (7) заключаем, что существует неотрицательная функция 6 + е(д), стремящаяся к нулю при Б -+ +О, такая что для любых точек 1,а Е 1 С В" (1 — а~ < ~/пд ~ )у(~) — А(~И = ~у(~) — ~р(а) — ~р'(а)(~ — а)~ < с(о)Б. (8) Ь) Теперь перейдем непосредственно к доказательству формулы (5). Позволим себе сначала маленькое техническое облегчение: будем считать, что длины ребер параллелепипеда 1 соизмеримы и, следовательно, его можно разбить на одинаковые кубики Щ сколь угодно малого размера ребер 4 = 5 и объема Б," = Б", т.е.
1 = ЦХ; и ~1~ = Е 1Х'~ = Е 5". Ф В каждом кубике Х; фиксируем некоторую точку а;, построим соответствующее аффинное отображение А,(2) = ~р(а,) — ~р'(а,)(~ — а;), рассмотрим образ А;(дХ;) границы дХ, кубика Х; при отображении А, и возьмем с(д)б-окрестность этого образа, которую обозначим через Ь;. В силу (8) образ ~о(д1;) границы дХ; кубика 1, при диффеоморфизме у лежит в Ь;. Значит, имеют место следующие включения и неравенства: А;(11) ~ Ь, С |р(1,) С А (1,) 0 Ь, 1А(1 И вЂ” ~А! < ФХ*)! < !А(1)1+ 1~'1. ДОПОЛНЕНИЕ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 779 Суммируя их, находим, что ~) (А,(1«)) — ~1 !Ь;( < !(Р(1)/ = ~~» )(р(1;)) < »» /А,(1;)/+ ~ )Ь,/. (9) Но при б — »+О 7 (А((х()(=2 «~«( «))»( /«««(Р)«« » Ф поэтому для доказательства формулы (5) в нашем случае осталось про- верить,что 2 „(Ь(( -» О при в -+ +О.
с) Оценим сверху объем ~Ь,~, опираясь на оценки (4) и (8). Согласно (4) ребра параллелепипеда А;(1,) имеют длину не большую, чем 15, где 6 = 5« — длина ребра кубика 1,. Поэтому (и — 1)-мерная «площады каждой из 2п граней параллелепипеда А,(1,) не больше чем (Ы)" ». Мы берем е(в)в'-окрестность такой грани.
Ее объем оценивается величиной (2+ 2)е(в)в(1 в)" ', где вторая двойка написана для поглощения вклада скругленных частей этой окрестности, возникающих около края самой грани. Таким образом, ~Ь,~ < 2п 4Ь" 'е(6)Б", поэтому ~Ь;~ < 8пЬ" ~~» е(Б)Б»Р = 8п1" 'е(б)(1), и мы видим, что ,'», (Ь,) -+ О при в -+ +О. с1) Проведенная оценка величины ~Ь;~ заодно показывает, что сколь угодно малое уменьшение ребер исходного промежутка 1, которое, возможно, следовало бы сделать, чтобы получить их соизмеримость, в пределе не влияет на результат. 4. Некоторые примеры, замечания и обобщения Итак формула (3) для случая Р« —— 1 и непрерывной функции 1 доказана. Рассмотрим и обсудим некоторые примеры. Эти обсуждения заодно покажут, что на самом деле мы уже доказали формулу (3) не только для Р« — — 1 и не только для непрерывной функции 1'.
а) Пренебрежимые множесшва. Используемые на практике замены переменных или формулы преобразования координат иногда имеют те или иные особенности (например, где-то может быть нарушение взаим- 780 ДОПОЛНЕНИЕ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ ной однозначности, обращение в нуль якобиана или отсутствие дифференцируемости). Как правило, эти особенности бывают на множествах меры нуль и потому сравнительно легко преодолеваются. Например, если нам нужно перейти от интеграла по кругу к интегралу по прямоугольнику, мы часто делаем замену переменных х = гсов у, у = тв1п~о. (10) Это хорошо известные формулы перехода от полярных координат к декартовым на плоскости. Нри этом отображении прямоугольник 1 = ((т, у) Е ж2 ~ 0 ( т ( В, 0 < у < 2к) преобразуется в круг К = ((х, у) Е ж~ )х + у < 11~). Это отображение гладкое, но оно не является диффеоморфизмом: вся сторона прямоугольника 1, на которой т = О, переходит при этом отображении в одну точку (0,0); образы точек (т, 0) и (т,2к) совпадают.
Однако если рассмотреть, например, множества 1 '1 д1 и К 1 Е, где Š— объединение границы дК круга К и радиуса, идущего в точку (О, В), то ограничение отображения (10) на область 1 1 д1 окажется ее диффеоморфизмом на область К ~ Е. Значит, если вместо прямоугольника 1 взять лежащий строго внутри него чуть меньший прямоугольник 18, то к нему и его образу Кв применима формула (6). А тогда, исчерпывая прямоугольник 1 такими прямоугольниками 1в и замечая, что при этом их образы Кя исчерпывают круг К, что ~1Д вЂ” ~ (1( и ~Кв( -+ (К~, в пределе получаем формулу (6) применительно к самой исходной паре К, 1. Сказанное, естественно, относится и к общей полярной (сферической) системе координат в К". Разовьем сделанное наблюдение. Ь) Исчерпания и предельные переходы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
