1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 132
Текст из файла (страница 132)
9. Пемма Морса. Пусть хо — невырожденная критическая точка функции Я(х), х 6 Й", определенной и принадлежащей классу С~ '~ в окрестности точки хо. Тогда существуют окрестности П и И точек х = хо, у = 0 и диффеоморфизм у: 1' -б 17 класса С~ ~(Ъ; У) такие, что е1ег р'(0) = 1, бч,..., и„— собственные числа матрицы 5,",(хо), а у = (уб,..., у") — координаты точки у Е й".
Докажите зту несколько конкретизированную форму леммы Морса, исходя из леммы Морса, изложенной в части 1, гл. ЧП1, 06. 10. Асимнтопбика канонического инпбеграла. а) Пусть | = (10...,1„), 1' = = (1 Е И" ! )11~ < о,1 = 1,2,...,н), а 6 С~ '1(Ъ;И). Рассмотрим функцию г)(Л,Р) = ) а(1м...,1„)е г "Йм где 1' = (бг,...б„), иб > О. Покажите, -б что г)(Л,Р) 2 аь(Р)Л (ь~о) при Л -+ +со; зто разложение равномерно по о=о Р б Ъ' 6 (у 6 н" ' ) ~бб( < б,у = 2,...,н) и аь 6 С~ ~(Г,И) при любом к=0,1,...
б р о Ъ) Домножая Рб(Л, Р) на е о 'о и обосновав законность почленного интегрирования соответствующего асимптотического разложения, получите асимптотическое разложение функции б б г Гг(Л,бн) = / Гд(Л,1)е б "е(бг при Л вЂ” + +оо, — б где бо = (бз,..., С„), нг > О. с) Докажите, что для функции б б ч — $~,ибб А(Л) = ... а(бм...,1„)е б=' б11б ... сй„, -б -б где нб > О, у = 1,...,н, имеет место асимптотическое разложение А(Л) Л "7~ ~ аьЛ ~ при Л вЂ” + +со, ь=о Ь 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 751 где ао = Л/~а(О). 11.
Асимптотина интеграла Лапласа в многомерном случае. а) Пусть Р— замкнутая, ограниченная область в К", 1, Я Е С(Р, К), шах Я(х)) достисеп гаетсЯ только в некотоРой внУтРенней точке хо области Р; 1,5 Е С~ «в некотоРой окРестности точки хо, пРичем деС 5о(хо) ф О. Докажите, что если интеграл (*) абсолютно сходится для какого-нибудь значения Л = Ло, то г'(Л) е"Я~*о«Л "1г~ аьЛ ь при Л вЂ” ++со, ь=о причем зто разложение можно дифференцировать по Л любое число ргэ, а его главный член имеет вид р(Л) =е"~л «Л-"1' (1(хо)+О(Л-')). ] с(еС яо(хо)] Ь) Проверьте, что если в предыдущем утверждении вместо 1,5 е С~ О известно лишь, что 1 Е С, а 5 Е СОО в окрестности точки хо, то при Л вЂ” «+со главный член асимптотики останется тем же, с заменой 0(Л ') на о(1) при Л -ь +ос.
Метод стационарной фазы в одномерном случае. 12. Обобиьение леммы Римана. а) Докажите следующее обобщение леммы Римана. Пусть Я е СО«([а, Ь], К) и У(х) ф О на [а, Ь] =: 1. Тогда для любой абсолютно интегрируемой на промежутке 1 функции 1 имеет место соотношение ь г'(Л) = /1(х)еь"щ*«дх — «О при Л-+ ос, Л б К. Ь) Проверьте, что если, сверх того, известно, что 1 е С«" «О(1,К), а Я е е С«" «г>(1, К), то при Л -+ оо о ь Р(Л) = ~ («Л)-<ььО (,' — ") ',(*) +о(Л-'"'"). '«, Я'(х) дх / Я'(х) с) Выпишите главный член асимптотики функции г'(Л) при Л вЂ” «оо, Л Е К.
й) Покажите, что если Я Е С~~~(1 К), а Д~,л) В СОВ [а с], 1](, ь| е СОВ [с Ь], но 1 ф С<г'[а, Ь], то функция г'(Л) не обязана быть величиной о(Л ') при Л вЂ” « ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 752 е) Докажите, что когда 7', Я Е С~ ~(1, И), функция Е(Л) допускает разложение в асимптотический ряд при Л ь со.
1) Найдите асимптотические разложения при Л -+ со, Л е И следующих интегралов: «(1+ х) фу(х,Л)дх, з = 1,2,3, если о > О, а уц = е*"*, фз = о = созЛх, 1бз = апЛх. 13. Принцип локализации а) Пусть 1 = «а,Ь~ С И„У е Со (1,И), о ч Е С~ >(1, И) и о'(х) 71 О на 1. Докажите, что тогда Е(Л):= / 1'(х)еы ОО дх = 0([Л[ ) при Л вЂ” + оо. а Ь) Пусть 1 Е Со ~(1, И), о Е С< ~(1, И); хы..., х„, — конечное число стационарных точек функции о(х), вне которых 5'(х) ф О на 1. Обозначим через г"(Л, х ) интеграл от функции 1(х)еыщ*~ по окрестности У(ху) точки х,, 1 = 1,..., т, не содержащей в замыкании других критических точек. Докажите, что Е(Л) = ~~ Е(Л,хз) +0([Л[ ~) при Л вЂ” + со, з'=1 14.
Асимптотина интеграла Фурье в одномерном случае. а) В достаточно общей ситуации отыскание асимптотики одномерного интеграла Фурье благодаря принципу локализации сводится к описанию асимптотики канонического интеграла а Е(Л) = хд '1(х)еы* дх, о для которого справедлива следующая Лемма Эрдейи. Пусть о > 1, Д > О, 1 е С< >([О,а],И) и (~ь~(а) = О, lс = О, 1,2,...
Тогда ь+в Е(Л) ~ аьЛ и ири Л -+ +со, где причем зто разложение можно ди44еренцировать по Л любое число раз. Пользуясь леммой Эрдейи, докажите следующее утверждение. Пусть 1 = [хо — б, хо+ б] — конечный отрезок, 7", о е С~ ~(1, И), причем 1' Е е Со(1, И), а о имеет на 1 единственную стационарную точку хо, где о'(хо) = 12. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 753 = О, но Яо(хо) ф О.
Тогда при Л вЂ” г +со еоез г'(Л,хо):= / 1(х)ег" <*) дх е'т'я" <*')егл <*о)Л 1 ~~~ аьЛ лов — 0 о=о и главный член асимптотики имеет вид 1($ жо ел<*о))-хо<*о))(у( ) < 0(Л-г)) г(Л,х ) = Ь) Рассмотрите функцию Бесселя целого индекса и > О: 1 Г ,У„(х) = — 1 сов(х гйп <о — п<о) д<о. о Покажите, что /2 г ии яч д„(х) = </ — соя ( х — — — — ) + 0(х ') при х -+ +оо. ))' з'х ~ 2 4) е'(Л) гм / 1(х)е' <*) дх. и (лл) Тогда для любого й й )ч' найдется такая положительная постоянная А(й), чтоприЛ > 1имеетместооценка<г(Л)) ( А(й)Л ь,и,значит, Р(Л) = 0(Л ) при Л ) +со.
Ь) Пусть по-прежнему 7" й С< ~(Р,И), Я Е С< )(Р,И), но Я имеет в Р конечное число критических точек хы..., х, вне которых Егаг) Я(х) ф О. Обозначим через г'(Л,х ) интеграл от функции 7(х)ем~<*) по такой окрестности У(х ) точки х, в замыкании которой нет критических точек, отличных от точки х .. Докажите, что е'(Л) = Ц~~ Р'(Л,хд)+0(Л ' ) при Л вЂ” г+оо. 1=1 16. Приведение и каноническому интеералу. Если хо — невырожденная критическая точка функции 5 й С< )(Р, К), определенной в области Р с К", Метод стационарной Фазы в многомерном случае 15. Принцип локализации, а) Докажите следующее утверждение. Пусть Р— область в И", / й Со< ~(Р,Ж), Я е С< )(Р,И), бгадЯ(х) ф О при х й Е вирру и НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДА~-1И КОЛЛОКВИУМОВ 111 семестр Ряды и интегралы, зависящие от параметра 1.
Критерий Коши сходимости ряда. Теорема сравнения и основные достаточные признаки сходимости (мажорантный, интегральный, Абеля — Дирихле). Ряд Ця) = ~ и '. и=1 2. Равномерная сходимость семейств и рядов функций. Критерий Коши и основные достаточные признаки равномерной сходимости ряда функций (мажорантный, Абеля — Дирихле). 3. Достаточные условия коммутирования двух предельных переходов. Непрерывность, интегрирование, дифференцирование и предельный переход.
4. Область сходимости и характер сходимости степенного ряда. Формула Коши — Адамара. Теорема Абеля (вторая). Тейлоровские разложения основных элементарных функций. Формула Эйлера. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. 5. Несобственный интеграл. Критерий Коши и основные достаточные признаки сходимости (мажорантный, Абеля-Дирихле). 6. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Критерий Коши и основные достаточные признаки равномерной сходимости (мажорантный, Абеля — Дирихле) .
7. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование собственного интеграла, зависящего от параметра. 8. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование несобственного интеграла, эависяшего от параметра. Интеграл Дирихле. 9. Эйлеровы интегралы. Области определения, дифференциальные свойства, формулы понижения, различные представления, взаимосвязь.
Интеграл НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 756 Пуассона. 10. Дельтаобразные семейства функций. Теорема о сходимости свертки. Классическая теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции алгебраическим многочленом. Задачи, рекомендуемые к вопросам коллоквиума сл 1. Пусть Р— полипом. Вычислите (е 3У) Р(х). 2. Проверьте, что вектор-функция е'4хе решает задачу Коши х = Ах, х(0) = хе (х = Ах — система уравнений, задаваемая матрицей А). 3.
Найдите с точностью до о(1/пз) асимптотику положительных корней Л1 < Лз «... Л„< ... уравнения з1пх+ 1/х = 0 при и — > оо. 4. а) Покажите, что 1п 2 = 1 — 1/2+ 1/3 —... Сколько членов этого ряда надо взять, чтобы знать 1п 2 с точностью до 10 з? Ь) Проверьте что 2 1п Т-~ — = 1+ 31з+ 61з+...
Используя зто разложение, удобно вычислять 1п х, полагая х = ~~--~. 1-~- 1 с) Полагая в Ь) 1 = 1/3, найдите, что — 1п2= — + — — + — — +.. Сколько членов зтого ряда надо взять, чтобы знать 1п 2 с точностью до 10 з? Сравните с тем, что было в а). Это один из приемов улучшения сходимости. 5. Проверьте, что в смысле Абеля а) 1 — 1+1...
= 2, Ь) ~ сйп)пр = 2~ ссай $, р ф 2яп, п В У; я=1 с) 2~ + 2 соя Ьр = О, р ф 2яп, п В У,. я=1 6. Докажите лемму Адамара: а) если / В С~О((7(хе)), то /(х) = /(хо) + р(х)(х — хо) где р В С((7(хо)) и ~р(хе) = /'(хе) Ь) если / В СОО((7(хо)), то 1 /(х) = /(хе) + —,/'(хе)(х — хо) + + 1 + /1" П(хе)(х — хе)" ' + ~р(х)(х — хо)" (и — 1)! где р В С(П(хо)) и р(хе) = -„~/60(хе). с) Как выглядят эти соотношения в координатной записи, когда х = (х', ..., х"), то есть когда / — функция п переменных? НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 757 7. а) Проверьте, что функция о удовлетворяет уравнению Бесселя уо + -у' + у = О. 1 г Ь) Попробуйте решить это уравнение, используя степенные ряды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
