1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 135
Текст из файла (страница 135)
Литлвуд в своей известной книжке <Математическая смесь<, говоря о больших числах, писал, что 106 лет — время, необходимое для превращения обезьяны в доктора наук1). ° Поспеет ли букашка иа защиту или хотя бы к концу света? 1. Экспонента а) степенные разложения функций ехр, сов, я1п. Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа 2 1 п е* = 1 + — х + — х +... + — х" + га (х), 1! '2! и! где ги(х) =,ее х"41 и )С! < (х~; 2 1 4 ( 1) 2и совх = 1 — — х + — х — ...
+ х " + гги(х)~ 2! 4! ' ' ' (2п)! где тги(х) =, сов ((+ —,(2п+1)) х "+ и !ь! < !х!; 61ПХ = Х вЂ” — Х + — Х вЂ”... + Х + Гга<.1(Х)< 3 1 5 ( ) 2ат1 3! 5! (2п + 1)! где гг„<.1(х) =, в<в (~+ — (2п+ 2)) хг"+г и ф < !х!. Поскольку при п — < оо для любого фиксированного значения х Е Н остаточный член в каждой из приведенных формул, очевидно, стремит- ОДж. Литлвуд, Математическая смесь. Москва, Фиаматлит, 1962, с. 111. ДОПОЛНЕНИЕ 1.
РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ 7бз ся к нулю, то пишут 2 1 3 1 4 1 5 1 п е*=1+ — х+ — х + — х + — х + — х +...+ — х" +..., 1! 2! 3! 4! 5! и! 2 1 4 ( 1) 2п соз х = 1 — — х + — х —... + х " +..., 2! 4! (2п)! 3 1 5 ( 1) 2п-~-1 япх=х — — х + — х —...+ х" +.. 3! 5! (2п + 1)! Ь) Выход в комплексную область и формула Эйлера.
Подставим в правую часть первого из этих равенств вместо х комплексное число ьх. Тогда после простых арифметических преобразований мы вслед за Эйлером получим замечательное соотношение е'* = соз х + ь яп х. Положив здесь х = к, найдем, что еьв + 1 = О. Это знаменитое равенство, соединяющее фундаментальные константы математики: е— анализ, ь — алгебра, к — геометрия, 1 — арифметика, Π— логика.
Мы определили функцию ехр для чисто мнимых значений аргумента и получили формулу Эйлера еге = сов х + 4 зшх, из которой, очевидно, также следует, что созх = — (е' + е '*) и япх = — (е'* — е '*). 2 2ь с) Экспонента как предел. хтв Мы знаем, что (1+ — ) — ь е* при и — ь оо и х Е Н. Естественно т ьь полагать, что е':= 1Ьп (1 + — 7!, где теперь х = х+ьу — произвольное комплексное число.
Подсчет этого предела дает е' = е*(сову+ 4 яву). ° Проверьте это и получите формулы для соз г и япж г)) Умножение рядов и основное свойство экспонентьь Выражение е*(соз у+ ь яп у) для е*44" естественнее получить прямо из соотношения ея+'я = е*е*", если, конечно, оно справедливо и для комплексных значений аргумента функции ехр.
ДОПОЛНЕНИЕ Е РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ 769 Проверим это прямым умножением. Пусть и и и — комплексные чи- Оь 1 ОО ела. Полагая е":= 2; — „,и" и е':= 2 —,и'", находим ь=о Н т=о е".е" = ~> —,и~ ~~~ —,и™ = у ~ —,—,и и —,—,и и 1 1 п=о Ь-~т=п †,(и + и)п = е" "". 1 п=о и! Мы здесь воспользовались тем, что 2" „, ',и"и = (и+и)", по- Ь-~-т=п скольку ии = ии.
е) Экспонента от матрицы и роль коммутатиености. А что если в выражении е =1+ — А+ — А +...+ — А" +.. А 1 1 2 1 п 1! 2! и! 0 0 ' 0 — 1 ' — 1 0 ' 1 0 ' 0 0 ° Пусть А1 и Аэ — последние две матрицы второго порядка. Найдите е'4', елх и убедитесь, что е'4' ° е'42 ~ е'4'4'42. В чем тут дело? ° Покажите, что еь 4 = Х + СА + о(С) при С вЂ” х О. ° Проверьте, что с1еС(1 + СА) = 1 + С (Сг А) + о(С), где Сг А — след квадратной матрицы А. ° Выведите важное соотношение: с1еС е = ем~. 1) Экспонента от оператора и формула Тейлора. Ы Пусть Р(х) — многочлен, а А = — — оператор дифференцирования.
ах Тогда (АР)(х) = — „(х) = Р'(х). считать А квадратной матрицей, полагая, что и 1 обозначает единичную матрицу 1 того же размера? Например, если А — единичная матрица, то, как легко проверить, е4 окажется диагональной матрицей с элементами е на главной диагонали. ° Вычислите ехр А для следующих матриц А: 770 ДОПОЛНЕНИЕ 1. РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ ° Проверьте, что соотношение ехр(1 — )Р(х) = Р(х + 1) является д Ых знакомой вам формулой Тейлора. ° Кстати, сколько членов ряда для е* надо взять, чтобы получить многочлен, позволяющий вычислять е* на отрезке [ — 3,5] с точностью до 10-2? 2.
Бином Ньютона а) Степенное разложение Функций (1+ х)". Зная для натуральных значений а формулу степени бинома о ~~ о(о 1) 2 о(о 1)' '(о и+1) о (1+х) =1+ — х+ х +...+ 112) и'. х" +..., Ньютон понял, что она справедлива для любых а, только сумма при этом может быть бесконечной. Например, (1+ х) 1 = 1 — х + хг — хз +..., если [х[ < 1. Ь) Интезрирование ряда и разложение 1п(1+ х). Проинтегрировав последний ряд по отрезку [О, х], найдем, что 1п(1 + х) = х — — х + — х +...
при ]х[ ( 1. 12 12 2 3 с) Разложения (1+ хг) 1 и вхс$ях. Аналогично написав разложение (1 + хг) 1 = 1 — хг + х4 — хв + .. и проинтегрировав его по отрезку [О, х], получим разложение 3 1 5 агс1я х = х — — х + — х 3 5 я 1 1 1 из которого при х = 1 вроде бы следует, что — = 1 — — + — — — +... 4 3 5 7 Может быть зто и так (и действительно это так), но чувствуется, что мы уже выходим на границы дозволенного. Следующий пример только усилит наши опасения.
с1) Разложение (1 — х) 1 и вычислительные странности. При х = 1 разложение (1+ х) " = 1 — х + хг — хз +... приводит к 1 равенству — = 1 — 1 + 1 — 1+... 2 1 Расставив в нем скобки, можно получить — = (1 — 1)+ (1 — 1)+... = О, а можно получить и — = 1 + ( — 1 + 1) + ( — 1 + 1) +... = 1. 1 2 ДОПОЛНЕНИЕ 1. РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ 771 После такого приходится ставить под сомнение почти все, что мы так успешно и беззаботно делали, перемножая бесконечные суммы (ряды), переставляя и группируя в них члены, интегрируя их. Во всем этом явно надо разобраться.
Этим мы вскоре займемся, а пока упомянем еще одну область использования рядов. 3. Решение дифференциальных уравнений а) Метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим простейшее уравнение х+ х = 0 гармонических колебаний и будем искать его решение в виде ряда х(1) = аз + а11+ а212+... Подставляя ряд в уравнение, собирая члены с одинаковыми степенями 1 и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1 в обеих частях уравнения, получим бесконечную систему соотношений: 2а2+ао = О, 2 Заз+а1 —— О, 3 4а4+а2 =О, Если начальные условия х(0) = хо и х'(0) = ио даны, то из х(1) = ао+а11+а25~+... и х'(1) = а1+ а21+...
при 1 = 0 находим ао = хе и а1 = оо. Зная ао и а1, теперь можно последовательно однозначно найти остальные коэффициенты разложения. Например, если х(0) = 0 и х'(0) = 1, то 3 1 5 х(1) = 1 — — 1 + — 1~ —... = 51п1, 3! 5! а если х(0) = 1 и х'(0) = О, то х(5) = 1 — — 1 + — 1 —... = соя Е 2 1 4 2! 4! Ь) Использование экспоненты. А что если решение искать в виде х(1) = ем? Тогда х + х = ем(Л + 1) = 0 и, следовательно, Л + 1 = О, т.
е. Л = 1 или Л = — 1. Но что это за странные комплексное колебания х(1) = е", х(1) = е " или х(1) = с1еи+ с2е '~? ° Проанализируйте ситуацию и доделайте все же задачу до конца, например, если х(0) = 0 и х'(0) = 1 или если х(0) = 1 и х'(0) = О. Вспомните формулу Эйлера и сравните ваши результаты с полученными выше. ДОПОЛНЕНИЕ 1. РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ 772 4. Общая идея приближения и разложения а) Смысл позиционной системы счисления.
Иррациональные числа. Вспомним, что означает привычная запись я = 3,1415926... или вообще десятичная дробь ао, а1агаг... Ведь это сумма ав10 + о110 1+ + а210 2 + аз10 з + Мы знаем,что конечные дроби отвечают рациональным числам, а запись иррационального числа требует бесконечного числа десятичных знаков и, следовательно, требует рассмотрения бесконечного числа слагаемых и бесконечных сумм — рядов. Если мы обрываем этот ряд на каком-то месте, мы получаем рациональное число. С ним мы обычно и работаем.
Что при этом произошло? Мы упростили объект, позволив себе некоторую ошибку. Т. е. мы приближаем сложный объект (здесь иррациональное число) удобными нам объектами (здесь рациональными числами), допуская при этом некоторую ошибку, которую называем точностью приближения. Улучшение точности приводит к усложнению приближающего объекта.
Компромисс приходится искать в соответствии с конкретными обстоятельствами. Ь) Разложение вектора по базису и аналогии в рядах. В линейной алгебре и геометрии мы раскладываем векторы по базису. Традиционная для анализа запись 1(х) — у(0) + — 1 (0)х + — у (0)х +... фактически означает то же самое, если считать, что базисом является набор функций е„= х". Это ряд Тейлора функции 1 в точке хо = О. Аналогично, если какой-то периодический сигнал или процесс у(х) подвергают спектральному анализу, то интересуются его разложением 1'(1) = ~; а„сов и1 + Ь„в1пп1 на простейшие гармонические колебап=в ния. Такие ряды называются классическими (или тригонометрическими) рядами Фурье. Новое, что тут имеет место в сравнении с ситуацией линейной алгебры, состоит в том, что рассматривается бесконечная сумма, которая понимается как некоторый предел конечных сумм.
Значит, кроме структуры линейного пространства, в пространстве наших объектов должно быть определено то или иное понятие близости ДОПОЛНЕНИЕ Е РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ 773 объектов, поэволяю1цее говорить о пределе последовательности самих объектов или их сумм. с) Расстиоянпе. Близость объектов определяется наличием того или иного понятия окрестности объекта (окрестности точки пространства). Это называется заданием топологии пространства. В топологических пространствах можно говорить о пределе и непрерывности.
Если в пространстве тем или иным способом введено расстояние между объектами — точками пространства, то автоматически определена и окрестность точки, и даже точнее, любая ее о-окрестность. Расстояние между точками одного и того же пространства можно измерять по-разному. Например, расстояние между двумя непрерывными функциями на отрезке можно измерять максимумом модуля разности функций на этом отрезке (равномерная метрика), а можно измерять величиной интеграла от модуля разности функций на этом отрезке (интегральная метрика). Выбор метрики диктуется содержанием рассматриваемой задачи. ДОПОЛНЕНИЕ2 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ (вывод и первое обсуждение формулы замены переменныхЦ) 1.
Постановка вопроса и эвристический вывод формулы замены переменных Рассматривая интеграл в одномерном случае, мы получили в свое время важную формулу замены переменной в таком интеграле. Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти формулу замены переменных в общем случае.
Уточним вопрос. ПУсть Рз — множество в й'.", 1 — интегРиРУемаЯ на Р фУнкциЯ, а ~р: Р~ — > Р,— отображение 1 ь+ ~р(1) множества Рс С Е" на Р . Спрашивается, по какому закону, зная 1 и ~р, находить функцию ф в Р~ так,чтобы иметь равенство ~(х) дх = Ф(~) сЫ, позволяющее сводить вычисление интеграла по Р к вычислению интеграла по Р~? Предположим сначала, что Рс есть промежуток 1 с лс", а ~о: 1 — з -+ Р— диффеоморфное отображение этого промежутка на Р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
