1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 130
Текст из файла (страница 130)
Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 736 вид Р(Л) = — Л ел~(')Г х [ — /(")( ) ~о(л-"- )), (1в) Р(Л) 1Л-Ю,~л(*о)Г +' (2 )) " [ —,У~"~(щ) ~- О (л )~ . (19) (1) Разложенил (16), (17) можно ди44еренцировать по Л любое число раз. ~ Из леммы 1 следует, что в наших условиях с точностью до величины вида еле~'о)0(Л ' ) при Л + оо интеграл (1) можно заменить интегралом по сколь угодно малой окрестности точки хо.
Сделав в такой окрестности замену переменной х = (р(у), указанную в лемме 3, приведем последний интеграл к виду — ~~(хо) (У о,р)(у) ~( ) — ~и д (20) где 1„= (О, 61, о = т, если хо = а и 1и —— [ — е, 61, а = 2т, если а < хо < Ь. Окрестность, в которой производилась замена х = (р(у), можно считать столь малой, что обе функции 1', о в ней бесконечно дифференцируемы. Тогда и полученную под знаком интеграла (20) функцию (у о (р)(у)(р'(у) можно считать бесконечно дифференцируемой.
Если 7и — — [О, е), т. е. в случае хо = а, к интегралу (20) непосредственно применима лемма 4 Ватсона и наличие разложения (16) тем самым уже доказано. Если же 1и — — [ — е, е), т. е. в случае а < хо < Ь, приводим интеграл (20) к виду е еЛ6(*о) [(7' о (р)(у)(р'(у) + (у' о (р)( — у)(р~( — у))е ~" (1у (21) о 12.
АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 737 и, вновь применяя лемму Ватсона, получаем разложение (17). Возможность дифференцировать разложения (16), (17) следует из того, что при наших условиях интеграл (1) можно дифференцировать по Л, и при этом снова получается интеграл, удовлетворяющий условиям теоремы. Для него выписываются разложения (16), (17), и можно непосредственно убедиться в том, что эти разложения действительно совпадают с теми, которые получаются формальным дифференцированием разложений (16), (17) исходных интегралов. Остановимся теперь на формулах для коэффициентов аь и сь.
По лемме Ватсона аь — — ~-- — ~(0)Г ( — "+ ), где Ф(у) = ((' о у)(у)ф(у). Учитывая, однако, что Я(~р(у)) — Я(а) = — у Я (х)у (у) = — ту~ <р (у) = — т(Я(а) — Я(х)) т/Я (х), д, д ду сЬ' — = 'р'(у) —, Ф(у) = 7" (х)у'(у), получаем д" Ф х 1~ь — „(О) = ( — т) + ( а(х,а) — ) ®х)а(х,а))~ где й(х, а) = (Я(а) — 5(х)) /У(х). Аналогично получаются формулы для коэффициентов сь применением леммы Ватсона к интегралу (21).
Полагая Ф(у) = 7(у(у))у'(у)+7(у( — у))~р'( — у), можно записать, что при Л -+ +ос Но, ф(2" +') (0) = 0 ввиду четности функции Ф(у), поэтому последнее асимптотическое разложение можно переписать в виде ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 738 Остается заметить, что ор1~")(0) = 2Ф1~")(0), где Ф(у) = 1(ор(у))ор'(у). Теперь формула для сь получается из уже установленной формулы коэффициента аь заменой в ней й на 2Й и удвоением результата такой подстановки. Для получения главных членов (18), (19) асимптотических разложений (16), (17) при указанном в с) условии !(х) = -„-,~(")(хе)(х — хе)" + + 0((х — хе) "+1), где 1(") (хе) ф О, достаточно вспомнить, что х = 7о(у), хе = ор(0), х — хе = ор'(0)у + 0(уз), т.е.
У~"~(хо) (У о ор)(у) = у" , (ор'(0))" + 0(у) !00(х ) (~ о ~р)(у)~р'(у) = у" ' (р'(О))"-'+ 0(у) 1/т при у -+ О, поскольку ор'(0) = ( ™! ) ~ О, если хе = а и ор'(0) \, /л~ ~~ (а) / 1/зпо — оо,.. <*,<о. ',~я -(..И) Остается подставить полученные выражения соответственно в интегралы (20), (21) и воспользоваться формулой (13) из леммы Ватсона. ~ Замечание 2. Из формулы (18) при п = 0 и т = 1 вновь получаем формулу (2'). Аналогично из (19) при п = 0 и т = 1 получаем соотношение (3').
Наконец, равенство (4') получается из равенства (18) при п = 0 и т = 2. Все это, разумеется, в условиях теоремы 2. Замечание 3. Теорема 2 относится к случаю, когда функция о(х) имеет на отрезке 1 = [а, Ь] единственную точку максимума. Если же таких точек несколько х1,..., х„, то интеграл (1) разбивают в сумму таких интегралов, асимптотика каждого из которых уже описывается теоремой 2. То есть в этом случае асимптотика получается как сумма 2,' г (Л, х ) вкладов указанных точек максимума.
1=1 Легко себе представить, что при этом могут произойти некоторые или даже полные взаимные уничтожения. 1 2. АСИМНТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 739 Пример 11. Если Я Е С~ )(К,К) и Я(х) -+ — оо при х -+ оо, то Р(Л) = У(х)еЛ9(*) Нх = О при Л > О. Значит, в этом случае такая интерференция вкладов заведомо должна иметь место. С формальной точки зрения приведенный пример может показаться неубедительным, поскольку раньше речь шла о конечном отрезке интегрирования. Однако этот вопрос снимает следующее важное Замечание 4.
В теоремах 1 и 2 для облегчения и без того громоздких формулировок мы считали,что промежуток интегрирования 1 — конечный, а интеграл (1) — собственный. На самом же деле, если вне любой окрестности У(хо) точки максимума хо Е 1 выполнено неравенство вир Я(х) < Я(хо), то лемма 1 уже позволяет заключить, что 7~сТ~,) интегралы, взятые по промежуткам, лежащим вне У(хе), экспоненциально малы в сравнении с елл(*0) при Л -+ +ос (разумеется, при условии, что интеграл (1) абсолютно сходится хотя бы при некотором значении л=л,). Таким образом, и теорема 1, и теорема 2 применимы также к несобственным интегралам, если выполнены указанные только что условия.
Замечание 5. Полученные в теореме 2 формулы для коэффициентов ввиду их громоздкости обычно удается использовать лишь для получения нескольких первых членов асимптотики, нужных в конкретных вычислениях. Общий вид асимптотического разложения более простой, чем указанный в теореме 2, по этим формулам для коэффициентов аю сь получить удается крайне редко. И все же такие ситуации встречаются.
Рассмотрим для разъяснения самих формул следующие примеры. Пример 12. Асимптотику функции Ег1(х) = е " Ыи ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 740 при х -+ +со легко получить интегрированием по частям: 2 2 +~ — — + 1ц е г!ц=..., 2х 22хз -~-оо е х 1 Г ЕгГ(х) = — — — / ц 2е " оц = 2х 2/ откуда после очевидных оценок следует, что е * ( — 1)" (2й — 1)!! ЕгГ(х) = — ~~> х ~~ при х -++оо.
(22) 2х 2" х=О Получим теперь зто разложение, исходя из теоремы 2. Сделав замену ц = х2, приходим к представлению ЕгГ(х) = х е х 1 г!г. 1 Полагая здесь Л = х2 и обозначая переменную интегрирования, как и в теореме 2, буквой х, сводим вопрос к отысканию асимптотики инте- грала Р(Л) = е лх 11х, 1 (23) поскольку ЕгГ(х) = хГ(х2). Интеграл (23) с учетом замечания 4 удовлетворяет условию теоремы 2: о(х) = — х2, У(х) = — 2х < 0 при 1 < х < +оо, У(1) = — 2, о(1) = — 1.
Итак, хе = а = 1, гп = 1, Г(х) = 1, Ь(х, и) = — ~~-, Ь(х, о)~-- — ††~~-„- — „" . Значит, ( 2х) ( 2х) ( 2х) 2х ( 2) 2х х ( 2х) ( 2) = ( — 2)' ( — 1)( — 3)х 12. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 741 Полагая х = 1, находим, что ( — 1)х !! / (2Й вЂ” 1)!! Л ь (2Й вЂ” 1)!! Выписав теперь асимптотическое разложение (16) для интеграла (23), с учетом соотношения Ег1(х) = хГ(х~) получаем разложение (22) для функции ЕгЦх) при х — ! +ос. Пример 13. В примере 7, исходя из представления Г(Л .! 1) — '!Л-1-1 Š— Л(х — !пх) !1Х о (24) Г(Л + 1) ЛЛ-1-1 — Л ЛОп(1-1-х) — х) — 1 и дело свелось к исследованию асимптотики интеграла р (Л) Л(!и(1!-х)-х),ХХ -1 (25) при Л вЂ” 1 +ос. Здесь Я(х) = 1п(1+х) — х, У(х) = ~+- — 1, У(0) = О, т. е. хо = О, Я"(х) = —, оп(0) = — 1 ~ О, т.е. с учетом замечания 4 (1+ х) выполнены условия Ь) теоремы 2, где надо положить еще 7"(х) = 1 и гп = 1, так как Яп(0) ~ О.
Функция )!(х, хо) = А(х) в данном случае имеет следующий вид: Ь(х) = — (х — 1п(1 + х) ) '! . х мы получили главный член асимптотики функции Г(Л+1) при Л -+ +со. Попробуем теперь, пользуясь теоремой 2Ь), уточнить найденную ранее формулу. Для некоторого упрощения дальнейшей записи заменим в интеграле (24) х на х + 1. Тогда получим, что ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 742 Если мы хотим найти первые два члена асимптотики, то нам надо вычислить при х = 0 (Ь(х) ~,) (Ь(х)) = Ь(х), (Ь( ) —,".)'(Ь( )) = Ь(х) л( ), (Ь(х) †) (Ь(х)) = (Ь(х) †) (Ь(х) †(х)) = Это вычисление, как видно, легко сделать, если найти значения Ь(0), Ь'(О), Ь" (0), которые в свою очередь можно получить из тейлоровского разложения функции Ь(х), х > 0 в окрестности нуля: Ь(х) = — — "* ~х — (х — —,'х'+ 1х' — 4х'+ О(х5))] ' ' 1+* р 2 1.3+1 4+0( 5)]'/~ = -+ [1 — ф + 2х'+ О(х')] '" = ъ~2 — * (1 — зх+ зех + 0(х )) = ч'2 — — — х+ — х + 0(х ).
1 '2 5 2 3 ъ72 3 36ъ'2 Таким образом, И,(0) = —.~~., Ь'(0) = — ф Ь"(0) = (Ь(х) — *, ) (Ь(х)) ! = — +, (Ь(х)Д)' (Ь(х))! 12. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 743 =-2Г(1) (- — ',) = у2я, Значит, при Л -+ оо г(Л) = ~/2згл 'г~ 1+ — Л ~+0(Л 2) 1 1 12 т.е. при Л -++со Г(Л+1) = ~(2згЛ ~ — ) ~1+ — Л '+0(Л 2) . (26) 1е) 1 12 Полезно иметь в виду, что асимптотические разложения (16), (17) можно находить также, следуя доказательству теоремы 2, без привлечения указанных в формулировке теоремы 2 выражений для коэффициентов.
В качестве примера получим вновь, но несколько иначе, асимптотику интеграла (25). Используя принцип локализации и делая в окрестности нуля замену х = (о(у) такую, что 0 = (о(0), Я(гр(у)) = 1п(1+ гр(у)) — (о(у) =- — у2, сводим вопрос к исследованию асиптотики интеграла где гг' (у) = (о'(у) + (о'( — у). Асимптотическое разложение последнего ин- теграла получается на основании леммы Ватсона ф(у)е ~" г(у = — ~> Г ~ ) Л (~~~)7~ при Л-++со, Г л 2 1 Ф(~)(0) /й+ 1~ ьгг 2 2 Ы ~, 2 ) О Ь=О что с учетом соотношений ф(2" г')(О) = О, у(2")(О) = 2(о(2" гг)(0) дает асимптотический ряд ( ) Г ~ й+ -) Л-(""~2) = Л-'7'Г Ц '~ О' ( ) Л-". (2й~-1) О у 1А у1', ~"' (2ь~-1) О (2Й)! ~, 2) ~,2) к(22е ГЛ. Х1Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
