1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 129
Текст из файла (страница 129)
При этом <р е СОО(1„, 1 ). 17п п! Далее, ~р'(О) = (ф'(хо)) ~ = ( — 1-„-~~-' — ~ . Наконец, по самому по- 1,!б" (хо)1/ строению о(~р(у)) = о(хо) + ву", где в = вяп г(хо) = вяп орй(хо). ° Замечание 1. Наибольший интерес представляют обычно следующие случаи: и = 1 или 2, а к = 1 или оо. Утверждение 2 (о редукции). Пусть в интеграле (1) отрезок интегрирования 1 = [а, б] конечный и выполнены следующие условия: а) 1,о Н С(1,К); Ь) тахо(х) достигается только в одной точке хо Е 1; хг7 с) о Е С1"1(117(хо),й) в некоторой окрестности 117(хо) точки хо (рассматриваемой в пределах промежутка 1); с1) Ф"1(хо) ф О, и если 1 < п, то о(П(хо) =...
= Ф" 0(хо) = О. Тогда при Л -+ +ос интеграл (1) с погрешностью, определяемой принципом локализации (8), может быть заменен интегралом вида Д(Л) = еЛЗ( ь) г(у)е-Ли" ду где 1„= [ — е,е), или 1ь — — [О,е), е — -сколь угодно малое положительное число, а функция т того же класса гладкости на 1ю что и функция 1' в окрестности точки хо. ~ Используя принцип локализации, заменим интеграл (1) интегралом по такой окрестности 1 = 177(хо) точки хо, в которой выполнены 12. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 729 условия леммы 3.
Сделав замену переменной х = (р(у), получим Знак минус в показателе ( — Лу") связан с тем, что по условию хв = = р(О) есть точка максимума. ь Асимптотику канонических интегралов, к которым в основных случаях приводится интеграл Лапласа (1), дает Лемма 4 (Ватсон()). Пусть (т > О, (3 > О, О < а < оо и 1 Е Е С([О,а],11). Тогда относительно асимптотики интеграла а И'(Л) = хд ~.г(х)е ~* дх в (12) при Л вЂ” + +оо справедливы следующие утверждения: а) Главный член асимптотики интеграла (12) имеет вид И (Л) = — 'У(О)ГУУ )Л-'-+0 (Л-~), (13) если известно, что 1'(х) = 1(О) + 0(х) при х — 1 О. Ь) Если 1(х) = ао + а(х +...
+ а„х" + 0(х"т1) при х -+ О, то и'о(= — г Г[ )~ ° +0(~ ° ). (14( а=о с) Если 1 — бесконечно дифференцируема при х = О, то имеет место асимптотическое разложение (15) которое можно дифференцировать по Л любое число раз. П Дж. Н. Ватсон (Уотсон) (1886 — 1966) — — английский математик. ~ Представим интеграл (12) в виде суммы интегралов по промежуткам ]О, е] и [е, а[, где е — сколь угодно малое положительное число. ГЛ.
Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ По лемме 1 хд 'у(х)е ~* дх < Ае ~' = 0(Л '"') при Л вЂ” э+со, ~ | ~ Л е а | ~ Л е о поэтому е И'(Л) = хо ~у(х)е ~ с1х+0(Л ~) при Л вЂ” ++со. о В случае Ь) у(х) = ~, аьхь+ г„(х), где г„Е С(О, е~ и /г„(х) / < Сх" "1 я=о на отрезке [О, е). Значит, е е во~ = Х |~"-"-" * ° » | '~.— ° « =~, о о о где с(Л) — ограниченная величина при Л вЂ” ~ +со. По лемме 1 при Л вЂ” ) +ос Но Г х~+е "е А* дх = — Г Л о откуда теперь и следует формула (14) и ее частный случай — формула (13). Разложение (15) вытекает из равенства (14) и формулы Тейлора.
Воэможность дифференцировать разложение (15) по Л следует из того, что производная интеграла (12) по параметру Л есть интеграл того же типа (12) и для И" (Л) можно в соответствии с формулой (15) предъявить в явном виде асимптотическое разложение при Л -+ +ос, совпадающее с тем, которое получается формальным дифференцированием исходного разложения (15). ь О 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) Пример 6. Рассмотрим преобразование Лапласа Г(Л) = 1(х)е *дх, о уже встречавшееся нам в примере 1. Если этот интеграл сходится абсолютно при некотором значении Л = Ло, а функция 1 бесконечно дифференцируема при х = О, то по формуле (15) находим, что Г(Л) = ~ 1'00(0)Л 1~'ьц при Л -+ +ос.
ь=о 4. Главный член асимптотики интеграла Лапласа Теорема 1 (о типичном главном члене асимптотики). Пусть в интеграле (1) отрезок интегрирования 1 = (а, Ь] конечный, 1,Я й Е С(1, 2) и щах Я(х) достигается только в одной точке хо Е 1. хе1 Пусть также известно, что 1(хо) ~ О, 1(х) = 1(хо) + 0(х — хо) при 1 Э х -+ хо, а функция Я принадлежит классу гладкости С1") в окрестности точки хо. Тогда: а) если хо = а, й = 2 и Я'(хо) ~ 0 (т. е. Я'(хо) < 0), то Г(Л) =, е~~1~'1Л ~(1+0(Л ~)] при Л-++оо; (2') — Я'(хо) Ъ) если а < хо < Ь, й = 3 и Яо(хо) ~ 0 (т.
е. Яо(хо) < 0), то г'(Л) = 1'(хо)елз1*')Л "1г(1+ 0(Л ~1г)] при Л -+ +со; (3') 2к с) если хо = а, й = 3, Я'(а) = 0 и Яо(а) ф 0 (т. е. Яо(а) < 0), то г'(Л) = 1(хо)е~з(*~~Л ~~~(1+0(Л ~~~)] при Л -+ +ос. (4') — 2Яо(хо) < Используя принцип локализации и делая замену переменной х = = у(у), указанную в лемме 3, придем, согласно утверждению 2 о редукции, к следующим соотношениям: ГЛ. Х)Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 732 / Е а) Р(Л) = ел'!х') ~ ) ()'о у)(у)ф(у)е л" ду+ 0(Л ) о Ь) Р(Л) = еЛЯ(х') ) ()'о !р)(у)!р'(у)е Л" !1у+0(Л оо) еЛо(хо) )'((~ о ~р)(у)о/(у) ! (/о <р)( у)ср~( у))е — ЛУ !1у ! 0()! — оо) ло с) г'(Л) еЛо(хо) () (~ о !р)(у)!рг(у)е — Ля !1у ! Оу(Л вЂ” оо) Л,о Функция (/ о!р) !р' при сформулированных выше требованиях удовлетворяет условиям леммы Ватсона. Остается применить лемму Ватсона (формула (14) при н = 0) и вспомнить выражения для ~р(0), и ~р'(0), указанные в лемме 3.
> Итак, мы обосновали формулы (2) — (4) вместе с той замечательно простой, ясной и эффективной рецептурой,которая привела нас в разделе 1 к этим формулам. Рассмотрим некоторые примеры приложений доказанной теоремы. Пример 7. Асимптотпика еамма-функциц. Функцию Г(Л+1) = 2~е 'сМ (Л > — 1) о можно представить в виде интеграла Лапласа 1'(Л ! 1) е-сел!пс(11 о и если при Л > 0 сделать замену переменной 1 = Лх, то придем к интегралу -!-оо Р(Л ! 1) 1Л-!-! -Л(х-! х) 1 . о который можно исследовать средствами доказанной теоремы. Функция о(х) = 1пх — х имеет единственную точку максимума х = 1 на промежутке ]О, +ос(, причем У'(1) = — 1.
На основании принципа локализации (утверждение 1) и утверждения Ь) теоремы 1 заключаем, $ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 733 что Г(Л+1) = ~/2яЛ вЂ” ~ [1+0(Л ь~в)] при Л-+ +ос. ~,е7 В частности, вспоминая, что Г(п + 1) = и! при п Е Ы, получаем классическую формулу Стирлинеа ) Ц и! = ъ/2пп(п7е)" [1+ 0(п ~!~)] при и -+ оо, и Е Ы Пример 8. А сил!итотина 4уннции Бесселя 1„(х) = — ех' соопдгУ), о где и Е )Ч.
Здесь 1'(О) = сояпу, 5(9) = сояО, так Я(0) = 5(0) = 1, О<х<х Б!(0) = О, У!(0) = — 1, поэтому на основе утверждения с) теоремы 1 Х„(х) = [1+0(х '!~)] при х-++со. ~/2их Пример 9. Пусть у е СО) ([а, 6], К), Я е С(~) ([а, 6], К), причем Я(х) ) 0 на [а, 6] и тах Я(х) достигается только в одной точке хо е а(х<6 б [а, Ь]. Если у(хо) ф О, Я'(хо) = 0 и Я" (хо) ~ О, то, переписав интеграл ( Л ) ! ( х ) [ Я ( х ) ] Л Д х а в форме интеграла Лапласа Р (Л) — У (х) е~ п (х) лх а на основании утверждений Ь) и с) теоремы 1 получаем, что при Л вЂ” 6 — 6 +Со ~(Л) = )(хо) ' [Б(хо)]"'7'Л-'7'[1+ О(Л-'7')], 1т ! ПСм.
также задачу 10 к 1 3 гл. ЪЧ1. ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 734 где е = 1, если а < хо < Ь и е = 1/2, если хо = а или хо = Ь. Пример 10. Асимптотика полиномов Лежандра при и — + оо, и Е 14, в области х ) 1 может быть получена как частный случай предыдущего примера, когда ~:— 1, 5(В) = х+ ~/хг — 1сояО, шах о(0) = о(0) = х+ ~/хг — 1, 0(о(я У(0) = О, У'(0) = — ъ/сх2 — 1. Таким образом, (.+ / г 1) -ь1/2 Р (х) = 4 (1+0(п ~ )1 прин-++со п6 И.
/2 "'4/2 *5. Асимптотические разложения интегралов Лапласа. Теорема 1 дает только главные члены характерной асимптотики интеграла Лапласа (1) и к тому же при условии, что 1'(хо) ф О. В целом это, конечно, наиболее типичная ситуация, и поэтому теорема 1, несомненно, является ценным результатом. Однако уже лемма Ватсона показывает, что асимптотика интеграла Лапласа порой может быть доведена до асимптотического разложения.
Такая воэможность особенно важна, когда 7'(хо) = 0 и теорема 1 ничего не дает. Совсем отбросить условие 1'(хо) ~ О, не заменив его ничем, разумеется, нельзя, оставаясь в рамках метода Лапласа: ведь если 1(х) с— и 0 в окРестности точки хо максимУма фУнкции о'(х) или если 1 (х) очень быстро стремится к нулю при х + хо, то точка хо может и не быть ответственной за асимптотику интеграла.
Теперь, когда в результате проведенных рассмотрений мы уже пришли к определенному типу (е~'л "') (ро < р1 < ... ) последовательностей, асимптотических при Л -+ +ос, можно говорить об асимптотическом нуле по отношению к такой последовательности и, не предполагая, что у(хо) ф О, можно следующим образом сформулировать принцип локализации: асимптотика интеграла Лапласа (1) при Л -+ +со с точностью до асимптотического нуля по отношению к асимптотической последовательности 12. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 735 (елэ(*')л Я") (рв < р~ <...
) совпадает с асимптотикой порции этого интеграла, взятой по сколь угодно малой окрестности точки хв, если это единственная точка максимума 4ункции Я(х) на промежутке интегрированна. Мы не будем, однако, возвращаться к рассмотрению и уточнению этих вопросов, а, считая / и Я функциями класса С( ), дадим вывод соответствующих асимптотических разложений, использующий лемму 1 об зкспоненциальной оценке, лемму 3 о замене переменной и лемму 4 Ватсона. Теорема 2 (об асимптотическом разложении). Пусть 1 = [а, Ь|— конечный отрезок, /, Я Е С(Х,К), щах Я(х) достигаетсл только в одев7 ной точке хо Е 7 и У,Я Е С~ )Щ(хо),К) в некоторой окрестности П7(хв) точки хо.
Тогда относительно асимптотики интеграла (1) справедливы следующие утверждения: а) Если хв = а, Ф ')(а) ~ О, ЯОО(а) = О для 1 < у < т, то Е(Л) = Л Ч'"елэ<'~~~ а Л ь!'" при Л-++ос, (16) где ( — 1)"+'т" 7Й+1Л 7 д Л аь = Г ~~ ~ Ь(х,а) — ) (/(х)Ь(х,а))~э=в, Ь(х,а) = (Я(а) — Я(х)) 7 /Я'(х). Ъ) Если а < хв < Ь, Я<э )(хв) ~ О, ЕОО(ха) = О для 1 <,1 < 2т, то Е(Л) Л ~7~~е~~~*'~ ~ сьЛ ~7 при Л вЂ” + +ос, (17) я=о где ( — 1)г"'ь~(2т)з" /2Ь+ 1Л / с~ Л сь — 2 Г ~ ) ~Ь(х,хв) — ) Щх)Ь(х,хв)))е-еь, Ь(х хв) — (Я(хо) Я(х))~ ~/У(х) с) Если /ОО(хо) ~ О и У(х) „т/~ ~(хв)(х — хо)" при х -+ хо то главный член асимптотики в случаях а) и Ъ) соответственно имеет ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
