1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Далее, если заранее фиксировать асимптотическую последовательность (~о„), по которой желательно вести асимптотическое разложение, то надо считаться с ограниченными воэможностями любой такой системы функций (~р„). А именно, найдутся функции, которые при данной базе бесконечно малы в сравнении с любым членом у„асимптотической последовательности ~у„).
Пример 10. Пусть р„(х) = — 1~, и = О, 1,..., тогда е * = о(у„(х)) при х — ~ +со. Таким образом, естественно принять Определение 5. Если )~р„(х)) — асимптотическая последовательность при базе В, то функция 1' такая, что для каждого и = О, 1,..., ~(х) = о(~р„(х)) при базе В, называется асимптотическим нулем относительно последовательности (~р„(х)). Определение 6.
Функции ~ и д будем называть асимптотически совпадаюшими при базе В относительно последовательности функний 1 р„), асимптотической при базе В, если разность 1 — д этих функций является асимптотическим нулем относительно последовательности 1р„). Утверждение 1 (о единственности асимптотического разложения). Пусть ~у„) — асимптотическал последовательность функций ГЛ.
Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 710 при некоторой базе В. а) Есяи 4ункция 1' допускает асимптотическое разложение по последовательности (ьз„) при базе В, то зто разложение единственно. Ь) Если функции 7" и д допускают асимптотическое разложение по системе (~р„), то зти разложения иденгпичны в том и только в том случае, когда пункции )' и д асимптотически совпадают при базе В относительно последовательности (~р„). < а) Пусть функция ~р не равна нулю тождественно на элементах базы В. Покажем, что если 7" (х) = о(у(х)) при базе В и одновременно 7'(х) = = ср(х) + о(у(х)) при базе В, то с = О.
Действительно, ~~(хИ > ~ор(х)~ — (о((~р(х))~ = ~с~ 'Рр(х)~ — о(ур(х))) при базе В, поэтому, если )с) > О, то найдется элемент В1 базы В, в любой точке которого будет выполнено неравенство )~(х)! > ф(1о(х)!. Если же 7"(х) = о(~р(х)) при базе В, то найдется элемент Вз базы В, в любой точке которого )~(х)! < ~~)~р(х)!. Значит, в любой точке х Е Е В1 Г1 Вг должно быть выполнено неравенство )2((~р(х)( < )З() р(х)! или, в предположении, что (с) ~ О неравенство З)~р(х)! < 2Рр(х)). Но это невозможно, если ~р(х) ф О хотя бы в одной точке х Е В1 Г1 Вз.
Рассмотрим теперь асимптотическое разложение функции 1 по последовательности (~р„). Пусть у(х) = св~рв(х) + о(~рв(х)) и ('(х) = со~ро(х) + о(~ов(х)) при базе В. Вычитая второе равенство из первого, получаем, что О = (со— — с,)~рв(х) + о(~ро(х)) при базе В. Но О = о(уо(х)) при базе В, значит, по доказанному со — со = О. ксли совпадение коэффициентов св = св,..., с„1 —— с, 1 двух разложений функции 7' по системе (р„) уже доказано, то из равенств 1(х) = со~ро(х) +... + с„1<р„1(х) + с„у„(х) + о(<р„(х)), 1(х) = соус(х) +... + с„1у„1(х) + с„р„(х) + о( р„(х)) тем же способом получаем, что и с„= с„.
Ссылаясь на принцип индукции, заключаем, что утверждение а) верно. Ь) Если при любом и = О, 1,... ~(х) = со~ро(х) + ... + с„~р„(х) + +о(~р„(х)) и д(х) = св~рв(х)+... +с„у„(х)+о(у„(х)) при базе В, то при любом и = О, 1,... у(х) — д(х) = о(~р„(х)) при базе В, и, значит, фун- 11.
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 711 кции 1 и д асимптотически совпадают относительно асимптотической последовательности 1 р„(х) ). Обратное утверждение следует из а), поскольку асимптотический нуль, в качестве которого мы возьмем разность у — д, должен иметь только нулевое асимптотическое разложение. ° Замечание 4. Мы обсудили вопрос о единственности асимптотического разложения.
Подчеркнем, однако, что само по себе асимптотическое разложение функции по заданной наперед асимптотической последовательности возможно далеко не всегда. Не всегда же две функции (' и д вообще должны быть связаны одним из асимптотических соотношений у = 0(д), 1' = о(д), или у д при базе В.
Довольно общая асимптотическая формула Тейлора, например, указывает конкретный класс функций (имеющих при х = О производные до порядка п), каждая из которых заведомо допускает асимптотическое представление Пх) = ПО) + †,У'(О)х + " + †,УОО(О)х" + о(х") при х + О. Но вот уже функции х112 нельзя дать асимптотическое разложение по системе 1,х,х~,...
Таким образом, асимптотическую последовательность и асимптотическое разложение не следует отождествлять с некоторым каноническим базисом и разложением по нему любой асимптотики. Возможных видов асимптотического поведения много больше того, что может описать фиксированная асимптотическая последовательность, поэтому описание асимптотического поведения функции — это не столько разложение по заранее заданной асимптотической системе, сколько ее отыскание. Нельзя, например, вычисляя неопределенный интеграл от элементарной функции, заранее требовать, чтобы ответ был композицией определенных элементарных функций, потому что он вообще может не быть элементарной функцией.
Поиск асимптотических формул, подобно вычислению неопределенных интегралов, представляет интерес лишь в той степени, в какой ответ проще и доступнее для исследования, чем исходное выражение. Ь. Допустимые действия с асимптотическими формулами. Элементарные арифметические свойства символов о и 0 (такие, как о(д)+о(д) = о(д), о(д)+ 0(д) = 0(д)+ 0(д) = 0(д) и т.
п.) были рассмо- ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 712 трепы еще в теории предела (гл. И1, 2 2, утверждение 4). Из этих свойств и определения асимптотического разложения вытекает очевидное 'Утверждение 2 (о линейности асимптотических разложений). Если функции 1" и д допускают асимптотические разложения 1' а„ю„, д 1 6„д„по асимптотической последовательности в=о о=о (у„) при базе Е, то их линейная комбинация о('+ 13д также допускает такое разложение, причем (а1 + ~3д) 1 (оа„+ ]16„) р„. в=о Дальнейшие свойства асимптотических разложений и вообще асимптотических формул будут относиться ко все более специальным случаям.
Утверждение 3 (об интегрировании асимптотических равенств). Пусть 1" — функция, непрерывная на промежутке 1 = [а;ю[ (или на промежутке 1 =]ш,а]). а) Если функция д(х) непрерывна, неотрицательна на промежутке 1, а интеграл ] д(х) дх расходится, то из соотношений а 1'(х) = 0(д(х)), 1(х) = о(д(х)), 1(х) д(х) при 1 3 х — ~ ю вытекает соответственно, что Р(х) = 0(С(х)), Р(х) = о(С(х)) и Р(х) С(х), где Р(х) = 1(1) Й и С(х) = д(1) д1. а а Ь) Если непрерывные положительные на промежутке 1 = [а,ы[ функции р„(х), п = 0,1,..., образуют асимптотическую последовательность при 1 Э х -+ ю, а интегралы Ф„(х) = ] ю„(1)сЫ при х е 1 сходятся, то функции Ф„(х), п = 0,1,... тоже образуют асимптотическую последовательность при 1 Э х — + ш.
с) Если интеграл У'(х) = ] 1(х)дх сходится и функция 1' имея ет асимптотическое разложение 1(х) ~; с„~р„(х) при 1 Э х — + ш о=в 11. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 713 по указанной в Ь) асимптотической последовательности (у„(х)), то длл,т' справедливо асимптотическое разложение У(х) 1, 'с„Ф„(х). о=в ~ а) Если 1(х) = 0(д(х)) при 1 Э х -э ш, то найдутся точка хв Е 1 и постоянная М такие, что ~1(х) ~ < Мд(х) при х б (хв, ш(.
Значит, при я оо а /а х Е (хв, ю( имеем ) Д1) д1 < )' 1(1) д1 + М ) д(1) д1 = 0 ( ~' д(1) д1 о о ао о Для доказательства оставшихся двух соотношений можно воспользоваться (как и в примере 7) правилом Лопиталя, учитывая, что С(х) = = ) д(1) сЫ вЂ” э оо при 1 Э х — 1 ш В результате получим, что о Г(х) . г (х) . 1(х) 1э*-к С(х) 1эх — ны С'(х) 1эх-~ю д(х) Ь) Поскольку Ф„(х) -+ 0 при 1 Э х — > м (и = 0,1,...
), то, вновь применяя правило Лопиталя, находим, что Ф„ь1(х) Ф'„1(х), ~р„ь1(х) 1пп 1пп, = 1пп = О. 1э*- Ф„(х) 1э*-и Ф'„(х) 1эо-э р„(х) с) Функция т„(х) в соотношении 1(х) = св~рв(х) + с11о1(х) +... + с„1р„(х) + т (х), как разность непрерывных на 1 функций, сама непрерывна на 1 и, очевидно, В„(х) = ) т„(1) Ж -э 0 при 1 э х -+ ю. Но т„(х) = о(р„(х)) при х 1 э х -+ ш и Ф„(х) э 0 при 1 э х -э ш, поэтому из того же правила Лопиталя следует, что в равенстве .Р'(х) = свФв(х) + с1Ф1(х) +...
+ с„Ф„(х) + В (х) величина В (х) есть о(Ф„(х)) при 1 Э х — > ы ~ Замечание 5. Дифференцирование асимптотических равенств и асимптотических рядов, вообще говоря, незаконно. Пример 11. Функция 1(х) = е *в1п(е*) непрерывно дифференцируема на К и является асимптотическим нулем относительно асим111 птотическои последовательности 11 в 1 при х -+ +оо.
Производные от 1 г1 ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 714 функций — „снова с точностью до множителя имеют вид —, однако 1 1 х" х функция 1>(х) = — е*в1п(е*) + сов(е*) не только не является асимптотическим нулем, но вообще не имеет асимптотического разложения по последовательности 4 †) при х -+ +оо. о'тверждение 4. Пусть 0 — предельная точка множества Е, и пусть 1(х) = ао+а1х+агх +..., при Еэх — ~0. д(х) = Ьо + Ь!х+ Ьгхг + Тоеда при Е Э х †> 0 а) (о(' + ~3д)(х) ~; (аа„+ 1дЬ„)х"; о=в Ь) (У д)(х) ~ с„х", еде с„= аоЬп+а16п 1+...+а„Ьо> и = 0,1,...; о=о с) если Ьо 74 О, то ® (х) = ~ д„х", где коэ44ициенты д„нахов=о дятел из рекуррентных соотношений а1 = Ьвд1 + Ь1дв,..., а„= ~> Ььд„Ь...; ь=о ао = Ьодо, д) если Š— проколотая окрестность или полуокресгпность точ- 3.
Степенные асимптотические ряды. Остановимся в заключение на степенных асимптотических разложениях, которые встречаются особенно часто, хотя порой и в некотором обобщенном виде, как зто было в примере 8. Мы будем рассматривать разложения по последовательности (х"; и = 0,1,... ), асимптотической при х — > О, и по последовательности — „;и = 0,1,... ), асимптотической при х -+ оо. Поскольку с точностью до замены х = — „это один и тот же объект, мы сформулируем 1 очередное утверждение только для разложений по первой последовательности и отметим затем специфику некоторых из приводимых формулировок в случае разложений по второй последовательности. 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
