1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Эта глава должна дать читателю начальные представления об элементарных асимптотических методах анализа. В первом параграфе мы введем общие понятия и определения, относящиеся к элементарным асимптотическим методам, а во втором используем их при изложении метода Лапласа построения асимптотического разложения интегралов Лапласа.
Этот метод, найденный Лапласом в его исследованиях по предельным теоремам теории вероятностей, является важнейшей составной частью развитого впоследствии Риманом метода перевала, излагаемого обычно в курсе комплексного анализа. Дальнейшие сведения о различных асимптотических методах анализа можно найти в специальных книгах, цитированных в списке литературы. В них также имеется обширная бибилиография, относящаяся к этому кругу вопросов. 1П АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 703 ~ 1. Асимптотическаи формула и асимптотический ряд 1. Основные определения а.
Асимптотические оценки и асимптотические равенства. Начнем для полноты с некоторых напоминаний и пояснений. Определение 1. Пусть у: Х -+ У и д: Х -+ У вЂ” вещественно-, комплексно- или вообще векторнозначные (в соответствии с природой множества У) функции, определенные на множестве Х, и пусть В— база в Х. Тогда соотношения 1 = 0(д) или 1(х) = 0(д(х)) х Е Х, у = 0(д) или у(х) = 0(д(х)) при базе В, 7' = о(д) или 7'(х) = о(д(х)) при базе В означают по определению, что в равенстве (~(х)) = се(х))д(х)) вещественная функция ст(х) является, соответственно, ограниченной на Х, финально ограниченной при базе В и бесконечно малой при базе В. Эти соотношения обычно называют асимптотическими оценками (функции у). Соотношение д или 7'(х) д(х) при базе В, по определению означающее, что у(х) = д(х)+о(д(х)) при базе В, называют обычно асимптотической эквие лентностью или асимптотическим раеенствомП указанных функций при базе В.
Асимптотические оценки и асимптотические равенства объединяют термином асимптотические формулы. Там, где указание аргумента функции несущественно, принята сокращенная форма обозначений у = о(д), ~ = 0(д), или 7' д, которой мы уже систематически пользовались. Если у = 0(д) и одновременно д = 0(у), то пишут ~ ж д и говорят, что ('и д — величины одного порядка при данной базе. В наших дальнейших рассмотрениях У = С или У = И; Х с С, или Х с К; В, — как правило, одна из баз Х Э х — ) 0 или Х Э х -+ сю.
1) )Полезно иметь в виду также часто употребляемый для обозначения асимптотическил равенств символ ГЛ. Х!Х. АСИМНТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 704 Используя введенные обозначения, можно, в частности, написать, что соя х = 0(1), х е К, соя з ~ 0(1), я Е С, 1пе' = 1+ х+ о(я) при я — + О, з е С, (1+х) = 1+ах+о(х) при х — ~ О, х Е К, Х 7ХХ л.(х) = +о~ — ) при х-++со, х62. 1пх 1пх Замечание 1. По поводу асимптотических равенств полезно заметить, что они являются всего лишь предельными соотношениями, использование которых в вычислительных целях возможно, но после дополнительной работы, связанной с оценкой остатка.
Об этом мы уже говорили, обсуждая формулу Тейлора. Кроме того, надо иметь в виду, что асимптотическая эквивалентность, вообще говоря, позволяет проводить вычисления с малой относительной, но не малой абсолютной погрешностью. Так, например, при х — > +со разность я(х) — 1~в не стремится к нулю, поскольку при каждом значении х, являющемся простым числом, функция я(х) имеет единичный скачок. Вместе с тем, относительная погрешность от замены я(х) на Г~ — стремится к нулю: пх '~"*' — + О при х -+ +оо.
(1.*.) Это обстоятельство, как мы увидим ниже, приводит к важным в вычислительном отношении асимптотическим рядам, следящим за относительной, а не за абсолютной погрешностью приближения и потому часто расходящимся, в отличие от классических рядов, для которых абсолютная величина разности между приближаемой функцией и п-й частичной суммой ряда стремится к нулю при п -+ +ос.
Рассмотрим некоторые примеры получения асимптотических формул. Пример 6. Трудоемкость вычисления значений п! или 1пп! возрастает при увеличении и б 1Ч. Воспользуемся, однако, тем, что п велико и получим при этом условии удобную асимптотическую формулу для приближенного вычисления 1пп! 11.
. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИИ РЯД 705 Из очевидных соотношений и 1 и 1 *и =г'| х*~*~~~ ж 1 х=г и — 1 1=1 следует, что + 1пхдх < 1п2(п+1). О < 1пи! — 1пхйх < 1пхс(х 1 1 Но | 1п х Йх = и(1п п — 1) + 1 = п 1п п — (п — 1), 1 поэтому при и — 1 оо 1пи! = 1пх11х+ 0(1п2(п+ 1)) = 1 = п1пп — (и — 1)+ 0(1пп) = п1пп+ 0(п).
Поскольку 0(п) = о(п1пп),когда п -> +ос, относительная погрешность формулы 1пп! = и 1пп стремится к нулю при п -+ +со. Пример Ч. Покажем, что при х -+ +ос функция х Г е' Ги(х) = / — П1 (и Е М) 1 (х) = х ие*. Поскольку асимптотически эквивалентна функции ди( ) д„(х) -+ +ос при х — 1 +ос то применяя правило Лопиталя, находим, что Ди(х) , Г'„'(х) . х иех l — и х — и — 1сх — ~.1- ди(х) х-и-оо д„'(х) х-++ох х е — пх П 8. Найдем поточнее асимптотическое поведение функ- Пример ции Г е' Г"(х) = / — 1Ы, 1 ГЛ.
Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 706 которая лишь постоянным слагаемым отличается от интегральной экс- поненты г Е1(х) = / — п1. Интегрируя по частям, получаем х ,1* Ге1 /ей У(х)=- +)'-й= ~- / р2 1 1 1 х 1 1 р' О! 1! 2! (и — 1)!'1 * рР' п(е1 =е' ~ — '+ — '+ — '+...+ ') +) — 'е!Е р2 рз ''' рп ) / ~п~-1 1 1 Последний интеграл, как показано в примере 7, есть 0(х (п11)ех) Прн Х вЂ” 1 +Ос.
ВКЛЮЧая В 0(Х (и+ПЕх) ЕщЕ И ПОЛуЧаЕМуЮ Прн ПОдетановке 8 = 1 постоянную — е 2; (Й вЂ” 1)(, находим, что й=1 (й — 1)! / ех и,)="у', 'ро( „) р х" 1,п.~.1 й=1 Ех ПогРешность 0 ( -й+77! пРиближенного Равенства хп+ асимптотически бесконечно мала по сравнению с каждым, в том числе и последним, членом написанной суммы. Вместе с тем, при х -+ +ос каждый следующий член суммы есть бесконечно малая в сравнении с предшествующим членом, поэтому естественно написать неограниченную уточняющуюся последовательность подобных формул в виде ряда, порожденного функцией ): ~(*)= *~ (" „"' й=1 о 1.
АсимптОтическАя ФОРмулА и АсимптОтический Ряд 707 Отметим, что этот ряд, очевидно, расходится при любом значении х б !к, поэтому нельзя писать у(х) = е*~~ (й — 1)! Ь=1 Таким образом, мы имеем здесь дело с некоторым новым и явно полезным асимптотическим пониманием ряда, связанным, в отличие от классического случая, с относительным, а не абсолютным приближением рассматриваемой функции. Частичные суммы такого ряда, в отличие от классического случая, используются не столько для приближения значения функции в конкретных точках, сколько для описания коллективного поведения значений функции при рассматриваемом предельном переходе (который в нашем примере состоял в стремлении х к +со).
Ь. Асимптотическая последовательность и асимптотический ряд Определение 2. Последовательность асимптотических формул ,7(х) = Ро(х) + о(Ро(х)), Дх) = 4~о(х) + 41(х) + о(41(х)), Дх) = фо(х) + ф1(х) +... + ф„(х) + о(ф„(х)), справедливых при некоторой базе В в множестве Х, где определены рассматриваемые функции, записывают в виде соотношения У(х) = Фо(х) + 41 (х) + " + Ф (х) + " или, короче, в виде ((х) ~, фь(х) и называют асимптпотическим ь=о разложением функции 7" при данной базе В. Из этого определения видно, что в асимптотическом разложении всегда о(ф„,(х)) = ф„.1 1(х) + о(1У„11(х)) при базе В и, значит, при любом значении п = О, 1, ф„.1.1(х) = о(ф„(х)) при базе В, ГЛ.
Х1Х. АСИМНТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 708 т. е. каждый следующий член разложения доставляет поправку, асимптотически более тонкую по сравнению с предшествующим членом. Асимптотические разложения обычно появляются в виде линейной комбинации со~ро(х) + с1 ~р1(х) +... + с„~р„(х) + .. функций той или иной удобной для конкретной задачи последовательности ('ра(х))' Определение 3. Пусть Х вЂ” множество с заданной в нем базой В. Последовательность (1о„(х)) определенных на Х функций называется асимптотической последовательностью при базе В, если р„.ь1(х) = = о(у„(х)) при базе В (каковы бы ни были два соседние члена р„, 1о„ь1 этой последовательности) и если на любом элементе базы В ни одна из функций ~р„Е ( р„(х)) не равна нулю тождественно.
Замечание 2. Условие, что (~р„~з)(х) 1ь 0 на элементах В базы В естественно, поскольку в противном случае все функции 1о„ь1, 1о„.ьз,... были бы равны нулю тождественно на В и система (1о„) оказалась бы в асимптотическом отношении тривиальной. Пример 9. Следующие последовательности, очевидно, являются асимптотическими: а) 1,х,х~,...,х";... при х — ь 0; 1 1 1 с) х"',х"',...,хя",... прибазех — ьО, есяир1 <рг «...
р„< ..., при базе х — 1 оо, если р1 >рз »... р„>...; с1) последовательность (д(х) у„(х) ), полученная из асимптотической умножением всех ее членов на одну и ту же функцию. Определение 4. Если (у„) — асимптотическая последовательность при базе В,то асимптотическое разложение вида у(х) = сора(х) + с11о1(х) + ... + с„~р„(х) + .. называется асимптотическим разложением или асимптотическим рядом функции у" по асимптотической последоаатпельности (1о„) при базе В. Замечание 3. Понятие асимптотического ряда (применительно к степенным рядам) было сформулировано Пуанкаре (1886), активно ис- 11. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 709 пользовавшего асимптотические разложения в своих исследованиях по небесной механике, но сами асимптотические ряды, как и некоторые методы их получения, встречались в математике еще раньше.
По поводу возможного обобщения понятия асимптотического разложения в смысле Пуанкаре (которое мы изложили в определениях 2 — 4) см. задачу 5 в конце параграфа. 2. Общие сведения об асимптотических рядах а. Единственность асимптотического разложения. Говоря об асимптотическом поведении функции при некоторой базе В, мы интересуемся лишь характером предельного поведения функции, поэтому если какие-то две, вообще говоря, различные, функции )' и д совпадают на некотором элементе базы В, то они имеют одинаковое асимптотическое поведение при базе В и в асимптотическом смысле должны считаться совпадающими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
