1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 123
Текст из файла (страница 123)
1(г) = — Д(аг)е Йп 1гг2~г / для функции с финитным спектром сводится к интегралу лишь по про- межутку [ — а, а]: а 1(г) = — у(ш)е гйи. ~/2я,/ -а (41) На отрезке ( — а, а) функцию у(ог) разложим в ряд Фурье у(ог) = ~~ сь(1)е' л (42) 0В. А. Котельников (1908 — 2005) — советский ученый, известный специалист в теории радиосвязи. с1. Теорема КотельниковаЦ. Этот пример, основанный, как и предыдущий, на красивом комбинировании ряда и интеграла Фурье, имеет прямое отношение к теории передачи информации по каналу связи. Чтобы он не показался искусственным, напомним, что в силу ограниченных возможностей наших органов чувств мы способны воспринимать сигналы только в определенном диапазоне частот. Например, ухо «слышит» в диапазоне от 20 герц до 20 килогерц. Таким образом, какие бы ни были сигналы, мы, подобно фильтру (см.
п. 1), вырезаем только ограниченную часть их спектра и воспринимаем их как сигналы с финитным спектром. Будем поэтому сразу считать, что передаваемый или получаемый нами сигнал у(г) (гдето — время, — оо < 1 < оо) имеет финитный спектр, отличный от нуля лишь для частот ю, величина которых не превышает некоторого критического значения а > О. Итак, 1(ог) = 0 при Ц > а, поэтому представление 13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 691 г« /с по системе (е' « ";Й Е Ж~, ортогональной и полной на этом отрезке. Учитывая формулу (41), для коэффициентов сь( г') этого ряда получаем следующее простое выражение: а 1 Г-;«ь с/2~г г х сь((«):= — / Г" (го)е ' «г(аг = — (' ~ — — й~ .
2а „г' 2а ~ а )' -а (43) Подставляя ряд (42) в интеграл (41), с учетом соотношений (43) находим ге)= — ' ~ ~2' ~ г(-'«)""-'9 ) « ~/2я „г 2а а Оь а = — ' ~ г(-«)).-ь-:-е« . ь= — ьо Вычислив эти элементарные интегралы, приходим к формуле Ко- тельникова р ~ в1па (г — —,Й) а а (1 а/с) (44) Замечание 8. Сама по себе интерполяционная формула (44) была известна в математике еще до работы В. А.
Котельникова (1933 г.). По в этой работе впервые было указано фундаментальное значение разложения (44) для современной цифровой (кодово-импульсной) записи и передачи непрерывных сообщений по каналу связи. В общем виде этот вопрос был позднее исследован выдающимся американским инженером- математиком Клодом Шенноном, работа которого 1948 года легла в фундамент теории информации. Формула (44) показывает, что для восстановления сообщения, описываемого функцией Г"(г) с финитным спектром, сосредоточенным в полосе частот ~го~ < а, достаточно передать по каналу связи лишь значения ~(ЙА) (называемые отсчетными значениями) данной функции через равные промежутки времени га = х/а.
Это утверждение в совокупности с формулой (44) принадлежит В. А. Котельникову и называется теоремой Котельникова или теоремой огпсчетов. ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 692 Замечание 9. Реально время передачи и приема сообщения ограничено, поэтому вместо всего ряда (44) берут некоторую его частичную М сумму ,') . Специальные исследования посвящены оценке возникающих -Ж при этом погрешностей. Замечание 10. Если считать, что количество информации, передаваемой по каналу связи, пропорционально количеству отсчетных значений,то в соответствии с формулой (44) пропускная способность канала связи пропорциональна ширине а полосы пропускаемых им частот.
Задачи и упражнения 1. а) Запишите подробно доказательства соотношений (16) — (19). Ь) Рассматривая преобразование Фурье как отображение 1' «+ У, покажите, что оно обладает следующими часто используемыми свойствами: (правило изменения масштаба); ,((1 — йо) ~-+ ~(м)е ' " (сдвиг входного сигнала — фурье-прообраза — по времени, или таеорема о пе- реносе), ( 1'(м) 2соом1о [У(1+ 1о) ~ 1(« — ~о)] + ~(ю) 2я1пюйо; 1(1)еь' о' «+ 1(м ~ юо) (сдвиг преобразования Фурье по частоте); 1 1(1) сооыо1 «+ -[((о~ — ыо) + о~+ мо)], 2 1 1Ясйп~о1 «+ -[У(~ — оо) -~+оо)] 2 (амплитудная модуляция гармонического сигнала); ((1) ьйп — + — [2 ((ю) — Дм — юо) — ((м + юо)]. .
омо1 1 2 4 2 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 693 1 П„(1) = 2я 0 (пряиодеолькый аипдльс) ПА(2) сов1в02 (гармонический сигнал, промодулированный прямоугольным импульсом); Пл(2+ 2А) + Пл(2 — 2А) (два прямоугольных импульса одинаковой полярности); Пя(1 — А) — Пл(1+ А) (два прямоугольных импульса разной полярности); А„() л( л) п1'и ( о при ф(А, )1! > А (треугольный импульс); сова8~ и япа2~ (а > 0); ~2~ — 2 и ~2~ — 2е-аЯ (и > 0) 11) Найдите фурье-прообразы следующих функций: 1вА яп2 о1А, 2 ыА япс —, 21 2 япс к' ыА к гдЕ япс х;= в'"х — фдккаил отсчетов.
е) Используя предыдущие результаты, найдите значения уже встречавшихся нам интегралов: СО ОО вО ОО В1П Х 81П Х 2 2 — 12Х, / 1(х, / совх 12х, / япх дх. / г Г) Проверьте, что интеграл Фурье функции Д2) можно записать в любом из следующих видов; 2(2) 2~ 1(21)е' Йв= — / Йв / Дх)е ' 1* Ойх = 1 2к ! 1 1 = — / 1к 1 Дх) сов 2ы(х — 2) дх. о — со с) Найдите преобразования Фурье (или, как говорят, фурье-образы) следующих функций: при ф(А, при ф>А ГЛ. ХНП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ дг с 2. Пусть 1 = 1(х,у) — решение двумерного уравнения Лапласа — + дг + Ц = 0 в полуплоскости у > О, удовлетворяющее условиям 1(х, 0) = д(х) и ду у (х, у) -+ 0 при у -+ +ос для любого х б К. а) Проверьте, что преобразование Фурье 1(С, у) функции 1 по переменной х имеет вид д(С)е "®. Ь) Найдите фурье-прообраз функции е "~Е~ по переменной С.
с) Получите теперь уже встречавшееся нам (гл. ХНП, ~ 4, пример 5) представление функции 1 в виде интеграла Пуассона г'( у) = —,,д(0 К. 3. Напомним, что и-м момеятом функции 1: К -+ С называется величина М„(1) = ) х"1(х) Их. В частности, если 1 — плотность распределения вероятностей, т.е. 1(х) > 0 и ) 1(х)йх = 1, то хе = М~(~) есть математическое ожидание случайной величины х с распределением 1, а дисперсия нг:= ( (х — хе)гу(х)Нх этой случайной величины представляется в виде ' = Мг(() — М,гУ).
Рассмотрим следующее преобразование Фурье 1(с) = 1(х)е ц*дх функции 1. Раскладывая е Ц* в ряд, покажите, что: ) ле = Й ~=сулле ° е=е Ь) М„(() = (;)" Х"~(0), п = 0,1,... с) Пусть теперь 1 вешественнозначна, тогда 1(С) = А(С)ет®, где А(С)— модуль, а ~р(~) — аргумент 1((), причем А(С) = А( — С) и гг( — С) = — Щ). Положим для нормировки, что ) 1(х) дх = 1. Проверьте, что тогда У(л) 1 +,д (0)л + ( ) М ( )) Яг + о(лг) (~ -+ О) 2 хе:= М1 Я = — у'(0), а нг = М~(~) — МгЦ) = — А" (0).
э 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 695 4. а) Проверьте, что функция е '~*~ (а > О), как и все ее производные, определенные при х ф О, убывает на бесконечности быстрее любой отрицательной степени переменной ~х~ и тем не менее эта функция не принадлежит классу Я. Ь) Убедитесь в том, что преобразование Фурье этой функции бесконечно дифференцируемо на Е, но не принадлежит классу Я (и все потому, что е '~*~ не дифференцируема при х = О). 5. а) Покажите, что функции класса Я плотны в пространстве Я.з(Н", С) абсолютно интегрируемых с квадратом функций у: Рп -+ С, наделенном скалярным произведением (у,д) = ) (у .
д)(х) дх и порожденными им нормой яв хьг 11)'8 = ( Щ~(х) дх) и метрикой й(),д) = бу — 98. Ь) Рассмотрим теперь Я как метрическое пространство (Б, д) с указанной метрикой д (сходимости в смысле среднего квадратичного уклонения на й"). Пусть Ьз(й", С) или, короче, Ьз †пополнен метрического пространства (Я,д) (см. гл.1Х, 8 5). Каждый элемент у Е ьз определяется последовательностью (уе) функций уь Е Я, которая является последовательностью Коши в смысле метрики д. Покажите, что тогда и последовательность (1оь) фурье-образов функций хь является последовательностью Коши в Я и, следовательно, задает определенный элемент ~ Е ьз, который естественно назвать преобразованием ФуРье элемента У е ьз. с) Покажите, что в 5з естественным образом вводится линейная структура и скалярное произведение, относительно которых преобразование Фурье Ьз -'е ьз оказывается линейным изометрическим отображением ьз на себя.
Й) На примере функции 1(х) = можно видеть, что если 1 Е 2 Е '1сз(м', С), то не обязательно 1 Е 1С(К, С). Тем не менее, если у Е 1сз(м', С), то, поскольку у — локально интегрируема, можно рассмотреть функцию 1л(с) = — / у(х)е ц*дх. 1 ~/2~г ./ — А Проверьте, что (л Е С(К, С) и 1л Е Кг(Е, С). е) Докажите, что /л сходится в Ьз к некоторому элементу 1 Е Ьз и 81л'8 — > -+ 1Л = '8Я при А — > +со (это — теорема ПланшереляО), 6.
Принцип неопределенности. Пустыр(х) и д1(р) — функции класса Я (или элементы пространства Ьз из задачи 5), причем 4' = у и ) бо( (х) дх = 0 М. Планшерель (1885 — 1967) — швейцарский математик. ГЛ. ХУ111. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 696 ) )трГ(р) «тр = 1. В таком случае функции 1»р(г и 1»р(г можно рассматривать как некоторые плотности распределения вероятностей случайных величин х и р соответственно. а) Покажите, что сдвигом по аргументу (специальным выбором начала отсчета аргумента) функции р,не меняя величины 0Д),можно получить новую функцию от такую, что Мт()фг) = ( х)гт(г(х) «1х = О, а затем, не меняя Мт (~9»~г) = О, можно аналогичным сдвигом по аргументу функции тр добиться того, что Мт((т)т~г) = / р(тд~г(р) «(р = О.
Ь) Рассмотрите при вещественном параметре «т величину ~с«хр(х) + ят'(х) (г «(х > О и, опираясь на равенство Парсеваля и формулу у'(р) = «рр(р), покажите, что пгМг()1а~~) — с«+ Мг()тр~~) > О. (Определения Мт и Мг см. в задаче 3.) с) Получите отсюда соотношение Мг(~4 ) ' Мг®~ ) 3 1/4 Это соотношение показывает, что чем более «сосредоточена» сама функция 9», тем «размытее» ее преобразование Фурье и обратно (см.
в атой связи примеры 1, 7 и задачу 7Ъ). В квантовой механике зто соотношение, называемое принципом неопределенностпи, приобретает конкретный физический смысл. Например, нельзя одновременно измерить точно и координату квантовой частицы, и ее импульс. Этот фундаментальный факт (называемый принципом неопределенностпи ГебзенбергаО), в математическом отношении совпадает с найденным выше соотношением между Мг()фг) и Мг(~»Р)г). Следуюптие три задачи дают начальное представление о преобразовании Фурье обобщенных функций. 7. а) Используя пример 1, найдите спектр сигнала, выражаемого функцией (т) г„при )1)»«о, О при )1) > о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
