1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Периодическая функция, таким образом, имеет дискретный спектр. Прикинем (на эвристическом уровне), что произойдет с разложением (1) при неограниченном увеличении периода Т сигнала Г. Полагая для упрощения записи 1 = — и ае = йу, перепишем разло- Т к жение ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 662 и, значит, сь — = — 1,1(1)е " ггг. — га Г гг 2я .г' Считая, что при 1 — > +ос мы приходим в пределе к рассмотрению произвольной абсолютно интегрируемой на К функции у, введем вспомогательную функцию (3) у(1) = ~~> с(аь)е'~' —, (4) где оь = Й~~ и сгь+1 — сгь = ~~. Последняя сумма напоминает интеграль- ную сумму и при измельчении разбиения, происходящего при 1 -1 со, получаем у(1) = с(а)е' г1сг.
(5) Таким образом, вслед за Фурье мы пришли к разложению функции у в континуальную линейную комбинацию гармоник переменной частоты и фазы. Интеграл (5) ниже будет назван интегралом Фурье. Это континузльный эквивалент ряда Фурье. Функция с(сг) в нем — аналог коэффициента Фурье.
Она будет названа преобразованием Фурье функции у (заданной на всей прямой К). Формула (3) преобразования Фурье вполне эквивалентна формуле коэффициентов Фурье. Функцию с(сг) естественно считать спектром функцип (сигнала) У. В отличие от рассматриваемого ранее случая периодического сигнала у и соответствующего ему дискретного спектра (в виде коэффициентов Фурье), спектр с(сг) произвольного сигнала может не обращаться в нуль на целых промежутках и даже на всей прямой (непрерывный спекгпр). значения которой в точках а =- оь мало отличаются от величин с冄 в формуле (2).
В таком случае ~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ббз ( Ь, если ~а( ( а, с(а) = ~ ( О, если )а) > а. (6) ~ По формуле (5) при 1 ~ 0 находим (7) а когда ~ = О, получаем ((0) = 25а, что совпадает с пределом 2й'-то~ при~-+О. > Представление функции в виде (5) называют представлением функиии в виде интегр ла Фурье. Ниже мы обсудим условия, при которых такое представление возможно, а сейчас рассмотрим еще один Пример 2. Пусть Р— прибор, обладающий следующими свойствами: это линейный преобразователь сигналов (т.е.
Р 2 аЯ а Р(( )), сохраняющий периодичность сигнала (т.е. Р(е' ') = р(ы)е* ', где коэффициент р(м) зависит от частоты ы периодического сигнала е' '). Мы употребляем компактную комплексную форму записи, хотя, конечно, все можно переписать и через функции сов и~Ф и япюФ. Функция р(ы) =: й(ю)е'"~ ~ называется спектральной характеристикой прибора Р, ее модуль В(ы) принято называть частотной характеристикой, а аргумент у(м) — фазоеой характеристикой прибора Р.
Сигнал е' ', пройдя через прибор, преобразуется на выходе в сигнал В(ю)еч ~+"~ О, измененный по амплитуде благодаря множителю В(ю) и сдвинутый по фазе ввиду наличия слагаемого у(ы). Предположим, что нам известны спектральная характеристика р(ы) прибора Р и сигнал ((1), поступивший на вход прибора, а требуется узнать сигнал х(Ф) = Р(()($) на выходе прибора. Представив сигнал ((1) в виде интеграла Фурье (5) и пользуясь ли- Пример 1. Найдем функцию, имеющую следующий финитный спектр: ГЛ.
ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И НРЕОВРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ нейностью прибора Р и интеграла, находим хЯ = Р(1)(с) = с(ы)р(ы)е™ ды. В частности, если /1 при Ц<й, [ 0 при [ы[>й, (8) то х(1) = с(м)еим ды и, как видно из определения спектральной характеристики прибора, ( еил при [„[ < й, [ О при [ш[ > й. Ь. Определение преобразования Фурье и интеграла Фурье. В соответствии с формулами (3) и (5) введем Определение 1. Функция У[Щ):= — / 1(х)е '~*ах 1 2к ./ (9) называется преобразованием Фурье функции 1: К вЂ” 1 С.
Интеграл здесь понимается в смысле главного значения Прибор Р со спектральной характеристикой (8) пропускает (фильтрует) без искажения частоты, не превосходящие й, и срезает всю ту часть сигнала, которая относится к высоким частотам (превышающим Й). По этой причине такой прибор в радиотехнике называют идеальным 4ильтром низкой частоты (с верхней ераничной частотой Й). Перейдем теперь к математической стороне дела и к более тщательному рассмотрению возникших здесь понятий. 13. ПРЕОВРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 665 Определение 2.
Если с(0 = У'[Г](() — преобразование Фурье функции Г: К -+ С, то сопоставляемый Г интеграл Дх) с(С)е' ~ д(, (10) понимаемый в смысле главного значения, называется интегралом Фу- рье функции Г. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье периодической функции являются, таким образом, дискретными аналогами преобразования Фурье и интеграла Фурье соответственно. Определение 3. Понимаемые в смысле главного значения инте- гралы 1 Г У,[Д(():= — / Г(х) сов бхдх, 1 У,[Щ):= — / Г(х) 61п(хдх (12) называются соответственно косинус- и синус-преобразованиями Фурье функции Г. Полагая с(() = У[Г]((), аЯ = У,[Г])((), Ь(() = У,[Д(~), получаем отчасти уже знакомое нам по рядам Фурье соотношение с(0 = -(а(~) — 1Ь(~)).
1 2 (13) Как видно из соотношений (11), (12), (14) и считается, что он существует. Если Г: К -+ С вЂ” абсолютно интегрируемая на К функция, то, поскольку ],Г(х)е '*6] = ]Дх)] при х,~ Е К, для любой такой функции имеет смысл преобразование Фурье (9), причем интеграл (9) сходится абсолютно и равномерно по ( на всей прямой К. ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 666 Формулы (13), (14) показывают, что преобразования Фурье вполне определяются на всей прямой В„если они известны лишь для неотрицательных значений аргумента. С физической точки зрения это вполне естественный факт — спектр сигнала надо знать для частот ю ) 0; отрицательные частоты о в (3) и (5) — плод формы записи.
Действительно, А О А А с(~)е'*~ е1С = + с(С)е ~ Щ = (с(()е + с( — С)е ) д( = — А — А О о (а(() соо хС + Ь(() ош х() ИС, о и, значит, интеграл Фурье (10) можно представить в виде (а(С) соз х~ + Ь(С) айп х() Щ, о (10') вполне соответствующем классической форме записи ряда Фурье. Если функция 1 вещественнозначна, то из формул (13), (14) в этом случае следует (15) с(-4) = с(с), (16) Полезно также заметить, что если 1 — вещественная и четная функция, т.е. у(х) = у(х) = у( — х), то поскольку в этом случае а(() и Ь(С) — вещественные функции на Я„что видно из их определений (11), (12). Впрочем, равенство (15) при условии у(х) = у(х) получается и непосредственно из определения (9) преобразования Фурье, если учесть, что знак сопряжения можно вносить под знак интеграла.
Последнее наблюдение позволяет заключить, что для любой функции у: К -+ С справедливо равенство 667 13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ а если à — чисто мнимая функция, т. е. Г(х) = — Г(х), то (19) ~'[У](-() = -~[А(0 Заметим, что если à — вещественнозначная функция, то ее интеграл Фурье (10') можно записать также в виде Г ,/РЙ7гРф ~*г ~ оотг = 2 ~ щ~ (*г ~ донг, о о где гд(() = — агс1я -"'[ь)- = ага с(~). вш аг Пример 3. Найдем преобразование Фурье функции Г(1) = — ~— (считоя Г(0) = а е К).
1 Г япа1 У[Г](гг) = 1пц — / е ' гй = А — ~+гю 2я,/ -А А +00 1 Г япа~соогг1 2 Г япа8соогг$ 1пп Ж= — /' г1г = А-~+оо 2л 2л „г -А о +оо + гй= 1 Г Гяп(а+ гг)1 яп(а — сг)г '1 2гг,г' о 1 Г япи -ояпа, если ]гг] < ]а], = — (окп(а+гг)+окп(а — гг)) / — ди = о поскольку нам известно значение интеграла Дирихле о (20) если à — вещественная и нечетная функция, т.е, Г(х) = Г(х) = — Г( — х), то т,[Г]® =-0, Г,[Г]® = Г[Г]®, ~[У]Ы) = — ~[ЛЫ) = ~[В(-()' ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 668 Значит, если считать а > О и взять функцию Г(1) = 26~'РГ" — '- из равенства (7), то мы, как и следовало ожидать, получаем в качестве ее преобразования Фурье указанный соотношениями (6) спектр этой функции.
Рассмотренная в примере 3 функция Г не является абсолютно интегрируемой на К и ее преобразование Фурье имеет разрывы. 0 том, что преобразование Фурье абсолютно интегрируемых функций не имеет разрывов, говорит следующая < япр ]е ™ — 1] [Г"(х)[дх )з!<А — А Г(х)(е 1х(6ьь) с — 1з1) дх — А устанавливает непрерывность по ( интеграла 1 à — / Г(х)е 1*6 дх, — л равномерная сходимость которого при А — + +оо позволяет заключить, что 7'[Г] Н С(К,С). > 12 г Пример 4. Найдем преобразование Фурье функции Г(1) = е ' 7г: Лемма 1. Если функция 7': К вЂ” + С локально интеерируема и абсолютно интезрируема на К, то а) ее преобразоеание Фурье с[7](С) определено при любом значении ~еК; Ь) Г[Г] ~ С(К,С); с) впр]Т[Г](()] < ~- ] ]7(х)]дх; СЮ с1) У'[Щ) -+ О при с -+ оо.
~ Мы уже отмечали, что [)'(х)е 1*1[ < [Г(х)], откуда следует абсолютная и равномерная по ( Е К сходимость интеграла (9). Этим одновременно доказаны пп. а) и с) леммы. Пункт с1) следует из леммы Римана (см. 6 2). Для фиксированного конечного А > О оценка з 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 669 Дифференцируя последний интеграл по параметру о и интегрируя затем по частям, находим, что 4.~Ш (а) + оУ'Щ(о) = О, или с1 — 1пУ[~](а) = — а. до Значит, У'[7"](а) = се /2, где с — постоянная, которую, пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона (см.
гл. ХЪ'П, 2 2, пример 17), находим из соотношения с = У'[/](О) = е ~ '2 М = ~/2я. Итак, мы нашли, что У'[7](о) = ~/2~ге '* /2, и одновременно показали, что У;[у](о) = ~/2хе /2, а У;[7](а) = О. с. Нормировка преобразования 4>урье. Преобразование Фурье (3) и интеграл Фурье (5) мы получили как естественные континуальные аналоги коэффициентов Фурье сь = ~- [ 7(х)е '"*с1х и ряда Фурье 2; сье'"* периодической функции 7' в тригонометрической системе (ем*;Й е У). Эта система не является ортонормированной, и лишь простота записи в ней тригонометрического ряда Фурье заставляет по традиции рассматривать ее вместо значительно более естественной ортонормированной системы е™м; Й Е Ж).
В этой норми- С ~/2л рованной системе ряд Фурье имеет вид ~„сь 1 е'"*, а коэффициенты ~/2т Фурье определяются формулами сь = "- [ 7'(х)е и*ах. ~/2я Аналогом таких естественных коэффициентов Фурье и такого ряда Фурье в континуальном случае были бы преобразование Фурье ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б70 и интеграл Фурье 1(х) = — 1«(С)е'*~ д(, ~/2л. / (22) АУ)(р) = К(х, рИ(х) с1х, х где К(х, у) — заданная функция, называемая ядром ин«пегральпоео оператора, а Х С К" — множество, по которому происходит интегрирование и на котором считаются определенными подынтегральные функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
