1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 133
Текст из файла (страница 133)
с) Найдите степенные разложения функции,7о(х). 8. Проверьте справедливость асимптотических разложений -~-00 СЮ а) Г(а,х):= ) 1 'е 'й е *~ „х Ф2 1 хэ ц е я*):= 7 ' л— „ , Г(З7Э вЂ” Ь)х при х -+ +ос. 9. а) Вслед за Эйлером найдите, что ряд 1 — 1!х + 2!хз — 3!хз +... связан с функцией г е с Я(х);= ~ ой 1+ х1 о Ь) Сходится ли этот ряд? с) Дает ли он асимптотическое разложение Я(х) при х — > О? 10.
а) Линейный прибор А, характеристики которого постоянны во времени, в ответ на входной сигнал О(1) в виде О-функции выдал сигнал (функцию) ЕЯ. Каков будет ответ прибора на входной сигнал 7'(1), — со < 1 < +оо? Ь) Всегда ли по преобразованному сигналу 7':= Ау' однозначно восстанавливается исходный сигнал 7? 758 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 1'Ч семестр Интегральное исчисление (многие переменные) 1.
Интеграл Римана на и-мерном промежутке. Критерий Лебега существования интеграла. 2. Критерий Дарбу существования интеграла от вещественнозначной функции на и-мерном промежутке. 3. Интеграл по множеству. Мера Жордана множества и ее геометрический смысл. Критерий Лебега существования интеграла по измеримому множеству. Линейность и аддитивность интеграла. 4.
Оценки интеграла. 5. Сведение кратного интеграла к повторному: теорема Фубини и ее важнейшие следствия. 6. Формула замены переменных в кратном интеграле. Инвариантность меры и интеграла. Т. Несобственные кратные интегралы: основные определения, мажорантный признак сходимости, канонические интегралы.
Вычисление интеграла Эйлера — Пуассона. 8. Поверхность размерности я в И" и основные способы ее задания. Абстрактное к-мерное многообразие. Край й-мерного многообразия как (й — 1)-мерное многообразие без края. 9. Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Способы задания ориентации абстрактного многообразия и (гипер)поверхности в И". Ориентируемость края ориентируемого многообразия. Согласованная ориентация многообразия и края.
10. Касательный вектор и касательное пространство к многообразию в точке. Интерпретация касательного вектора как дифференциального оператора. 11. Дифференциальная форма в области Р С И". Примеры: дифференциал функции, форма работы, форма потока. Координатная запись дифференциальной формы. Операция внешнего дифференцирования. 12. Отображение объектов и сопряженное отображение функций на этих объектах.
Преобразование точек и векторов касательных пространств в этих точках при гладком отображении. Перенос функций и дифференциальных форм при гладком отображении. Рецепт выполнения переноса форм в координатном виде. 13. Коммутирование переноса дифференциальных форм с операциями их внешнего умножения и дифференцирования. Дифференциальная форма на многообразии. Инвариантность (корректность) операций над дифференциальными формами.
14. Схема подсчета работы и потока. Интеграл от й-формы по я-мерной гладкой ориентированной поверхности. Учет ориентации. Независимость ин- НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 759 теграла от выбора параметризации. Общее определение интеграла от дифференциальной Й-формы по Й-мерному компактному ориентированному многообразию. 15. Формула Грина на квадрате, ее вывод, интерпретация и запись на языке интегралов от соответствующих дифференциальных форм.
Общая формула Стокса. Редукция к й-мерному промежутку и доказательство для й-мерного промежутка. Классические интегральные формулы анализа как конкретные варианты общей формулы Стокса. 16. Форма объема в Р." и на поверхности. Зависимость формы объема от ориентации. Интеграл первого рода и его независимость от ориентации. Площадь и масса материальной поверхности как интегралы первого рода. Запись формы объема й-мерной поверхности Я" С И" в локальных параметрах и запись формы объема гиперповерхности Я" ' С К" в декартовых координатах объемлющего пространства. 17. Основные дифференциальные операторы теории поля (8тас1, гос, сыч) и их связь с оператором и' внешнего дифференцирования в евклидовом ориентированном пространстве Кэ. 18.
Запись работы и потока поля в виде интегралов первого рода. Основные интегральные формулы теории поля в Кэ как векторная запись классических интегральных формул анализа. 19. Потенциальное поле и его потенциал. Точные и замкнутые формы. Дифференциальный необходимый признак точности формы и потенциальности векторного поля, его достаточность в односвязной области. Интегральный критерий точности 1-форм и векторных полей.
20. Локальная точность замкнутой формы (лемма Пуанкаре). Глобальный анализ. Гомологии и когомологии. Теорема де Рама (формулировка). 21. Примеры приложений формулы Стокса (Гаусса-Остроградского): вывод основных уравнений механики сплошной среды. Физический смысл градиента, ротора и дивергенции. 22. Оператор набла Гамильтона и работа с ним. Градиент, ротор и дивергенция в триортогонэльных криволинейных координатах.
Задачи, рекомендуемые к вопросам коллоквиума Ниже за отделенным скобкой номером вопроса через тире идут номера страниц и рекомендуемых задач, находящихся на этих страницах. 1) 140 — 2, 3. 2) 141 — 4. 3) 145 — 1; 146 — 3, 4. 4) 151 — 1, 2, 152 — 3, 4. 5) 162 — 6,7;280 — 6. 6) 180 — 9; 250 — 5,6. 7) 191 — 1,5;192 — 7. 8) 204 — 2,3; 229 в 1; 230 †. 9) 212 в 1; 213 †, 3, 4; 251 — 11.
10) 409 в 1; 410 †. 11) 251 — 9; 411 †. 12) 412 †. 13) 251 †, 10. 14) 264 †, 4. 265 †; 269 †. 15) 297-- 1; 301 — 10, 13, 14. 16) 232 в 10; 280 †. 17) 323 в 1; 324 †. 18) 336 в 1, 2, 3; 337 †; 338 †. 19) 353 в 7; 355 в 13, 14. 20) 354 в 11, 12. 21) 301 — 11; 324 — 8. 22) 324 в 4, 5, 6. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНЪ' 111 семестр Ряды и интегралы, зависящие от параметра 1. Критерий Коши сходимости ряда.
Теорема сравнения и основные достаточные признаки сходимости (мажорантный, интегральный, Абеля — Дирихле). Ряд ~(я) = ~ и '. а=1 2. Равномерная сходимость семейств и рядов функций. Критерий Коши и основные достаточные признаки равномерной сходимости ряда функций (мажорантный, Абеля — Дирихле) . 3. Достаточные условия коммутирования двух предельных переходов. Непрерывность, интегрирование, дифференцирование и предельный переход.
4. Область сходимости и характер сходимости степенного ряда. Формула Коши — Адамара. Теорема Абеля (вторая). Тейлоровские разложения основных элементарных функций. Формула Эйлера. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. 5. Несобственный интеграл.
Критерий Коши и основные достаточные признаки сходимости (мажорантный, Абеля — Дирихле). 6. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Критерий Коши и основные достаточные признаки равномерной сходимости (мажорантный, Абеля — Дирихле). 7. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование собственного интеграла, зависящего от параметра. 8. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование несобственного интеграла, зависящего от параметра. Интеграл Дирихле. 9. Эйлеровы интегралы.
Области определения, дифференциальные свойства, формулы понижения, различные представления, взаимосвязь. Интеграл Пуассона. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 761 10. Дельтаобразные семейства функций. Теорема о сходимости свертки. Классическая теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции алгебраическим многочленом. 11. Векторное пространство со скалярным произведением. Непрерывность скалярного произведения и связанные с этим его алгебраические свойства. Ортогональные и ортонормированные системы векторов.
Теорема Пифагора. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье. Примеры скалярных произведений н ортогонзльных систем в пространствах функций. 12. Лемма о перпендикуляре. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и сходимость ряда Фурье. Условия полноты ортонормированной системы. 13. Классический (тригонометрический) ряд Фурье в вещественной и комплексной форме. Лемма Римана.
Принцип локализации и сходимость ряда Фурье в точке. Пример: разложение соя(ах) в ряд Фурье и разложение е1п(лх)/лх в бесконечное произведение. 14. Гладкость функции, скорость убывания ее коэффициентов Фурье и скорость сходимости ее ряда Фурье. 15. Полнота тригонометрической системы и сходимость в среднем тригонометрического ряда Фурье. 16. Преобразование Фурье и интеграл Фурье (формула обращения).
Пример: вычисление 7 для 7(х):= ехр( — азяэ). 17. Преобразование Фурье и оператор дифференцирования. Гладкость функции и скорость убывания ее преобразования Фурье. Равенство Парсеваля. Преобразование Фурье как изометрия пространства быстро убывающих функций. 18. Преобразование Фурье и свертка. Решение одномерного уравнения теплопроводности. 19. Восстановление переданного сигнала по спектральной функции прибора и принятому сигналу. Теорема отсчетов (формула Котельникова — Шеннона). 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
