1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 137
Текст из файла (страница 137)
Исчерпанием множества Е С К будем называть такую последовательность измеримых множеств (Е„), что Е„С Е„+~ С Е при любом пЕР1и Ц Е„=Е. в=1 Лемма, Если (Е„) — исчерпание измеримоео множестпва Е, то а) 1пп д(Е„) = д(Е); Ь) д я любой 4ункиии ~ Е Я(Е) также Де„б Я(Е„) и 1пп 1(х) дх = 1'(х) е(х. Е„ ДОПОЛНЕНИЕ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 781 < (а) Поскольку Е„с Е„~, с Е, то р(Е„) < п(Е„~,) < р(Е) и 1пп р(Е„) <,и(.Е). Для доказательства равенства а) покажем, что выполняется также неравенство 1пп р(Е„) > р(Е). о — ~со Граница дЕ множества Š— компакт меры нуль, поэтому ее можно покрыть конечным числом открытых промежутков, сумма объемов которых меньше наперед заданной величины е > О. Пусть Ь вЂ” объединение всех этих открытых промежутков.
Тогда множество О = Е 0 Ь открыто в И™, причем по построению О содержит замыкание Е множества Е и р(О) < р(Е) + р(Ь) < р(Е) + е. Для каждого множества Е„исчерпания (Е„) повторим описанное построение со значением е„= с/2". Получим последовательность открытых множеств О„= Е„0 Ь„таких, что Е„С О„, р(О„) < р(Е„) + + р(Ь„) < р(Е„)+е„и Ц О„Э 0 Е„Э Е.
о=1 о=1 Система открытых множеств Ь, ОО Оо,... образует открытое покрытие компакта Е. Пусть А,ОПОо,...,Оь — извлеченное из него конечное покрытие компакта Е. Поскольку Е1 С Ео С ... С Ею то множества Ь, Ьм... ..., Ьы Еь тоже образуют покрытие Е и, значит, п(Е) < п(Е) < р(Еь) + р(Ь) +,и(Ь1) +... +,и(Ь~) < п(Еь) + 2е. Отсюда следует, что р(Е) < 1пп р(Е„). (Ь) То, что Де„б Я(Е„), нам хорошо известно и следует из критерия Лебега существования интеграла по измеримому множеству. По условию 1 Е Я.(Е), значит, существует постоянная М такая, что ~ ('(х) ~ < < М на Е. Из аддитивности интеграла и общей оценки интеграла получаем | 1(х) Нх — 1 (х) дх = 1 (х) дх < Мр(Е 1 Е„). Е Е„ Е'~Е„ Отсюда с учетом доказанного в а) заключаем, что утверждение Ь) дей- ствительно справедливо.
ь Аддитивность интеграла и возможность исчерпания области интегрирования такими областями, где формула замены переменных заведомо действует, позволяет применять ее и к исходным областям. Вообще, идея исчерпания лежит в основе многих конструкций анализа, в частности в основе определения несобственного интеграла. ДОПОЛНЕНИЕ 3 МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И сЬЪ'НКЦИИ О'4ЕНЬ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (концентрация мер и законы больших чисел) О. Наблюдение Почти весь объем многомерного тела находится в малой окрестности границы тела.
а) Проверьте это на примерах куба и шара. Покажите, что если с тысячемерного арбуза радиуса 1 метр снять корку толщины 1 см, то останется меньше тысячной доли исходного арбуза. Ь) Если сферу о" '(г) С К" ортогонально спроектировать на гиперплоскость, проходящую через центр сферы, то получится шар (дважды покрытый) той же размерности и — 1 и того же радиуса г.
Учитывая полученное выше, заметьте (пока на качественном уровне), что почти вся площадь сферы Б" '(г) при и» 1 сосредоточена в малой окрестности экватора — пересечения сферы и указанной гиперплоскости. 1. Сфера и случайные векторы а) Сфера Б ' (г) радиуса г с центром в начале координат п-мерного евклидова пространства И" проектируется ортогонально на координатную ось. Получается отрезок [-г,т]. Фиксируем отрезок [а,Ь] С С [ — г,г]. Пусть о'[а, Ь] — площадь той части Я",,, (г) сферы о'" 1(г), которая проектируется в отрезок [а, Ь]. Найдите отношение з(а, 6] ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ 783 т. е.
вероятность Рг„[а, Ь] того, что случайно выбранная точка сферы окажется в слое о'", (т) над отрезком [а, Ь], считая, что точки распределены по сфере равномерно. Ответ: ь ь-З ] (1 — (х/т)~) 7 г~х Рг„[а, Ь! = ] (1 — (х/т)") 7 сКх -т Ь) Пусть б б (О, 1) и [а, Ь] = [бт, т]. Покажите, что при и -+ оо Рг„[бт, т] е — ~гни б~/2~го Указание: можно воспользоваться методом Лапласа получения асимптотики интеграла по большому параметру. с) Из полученного в пункте о) результата следует, что подавляющая часть площади многомерной сферы сосредоточена в малой окрестности экваториальной плоскости — в слое о(" ~ ь, (т) над отрезком [-бт, бт]. Выведите отсюда, что если в И" взять случайно и независимо пару единичных векторов, то при и » 1 с большой вероятностью они окажутся почти ортогонзльными, т.е.
их скалярное произведение будет близко к нулю. Оцените вероятность того, что это скалярное произведение окажется больше е > 0 и подсчитайте его дисперсию при и » 1. г1) Развивая результат, полученный в пункте а), покажите, что когда т = а~/и, то при п — ~ оо Ь 2 Рг„[а,Ь] — + — ! е 2 дх. ~/2яа е) Учитывая полученный в пункте г1) результат, получите теперь закон Гаусса распределения ошибок измерений и законы Максвелла распределения молекул газа по скоростям и энергиям (считая в первом случае, что измерения независимы и их среднее квадратичное стабилизируется с ростом количества наблюдений, а во втором случае — что гзз однороден и совокупнзл энергия молекул в порции газа пропорциональна количеству молекул в этой порции). 784 ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ 2.
Многомерная сфера, закон больших чисел и центральная предельная теорема Решая зту задачу, «откройте» следующий важный во многих отношениях (например, для статистической физики) факт. Пусть В ' †единичн сфера в евклидовом пространстве 2 +" очень большой размерности т + 1. Пусть на сфере задана достаточно регулярная (например,из некоторого фиксированного класса Липшица) вещественнозначная функция. Берем случайно и независимо друг от друга пару точек на сфере и вычисляем в них значения нашей функции. С большой вероятностью зти значения будут почти одинаковы и близки к некоторому числу Му. (Это, пока еще гипотетическое, число М«называют медианным значением функции или медианой функции. Его также называют средним значением функции в смысле Леви. Мотивировка терминов вскоре прояснится вместе с точным определением М«.) Введем некоторые обозначения и соглашения.
Договоримся расстояние между точками сферы В С К"»+' понимать в смысле ее геодезической метрики р. Через Ав обозначим 6-окрестность в В множества А С В . Поднормируем стандартную меру сферы, заменив ее равномерно распределенной вероятностной мерой 1», т. е. 1»(В™) = 1.
Справедливо следующее утверждение, доказанное Полем Леви и именуемое обычно изопериметрическим неравенством Леви. Длл любых О < а < 1 и д > О существует ш1п(д(А4) ~ А С В~, «»А = = а) и он достиеаетсл на сферической шапочке Ав меры а. Здесь А = В(г), где В(г) = В(хв,г) = (х Е В ~ у(хо,х) < г) и 1»(В(г)) = а. а) При а = 1/2, т. е. когда Ав — полусфера, получите следствие: если подмножество А С о"+~ такое, что р(А) > 1/2, то р(А4) > > 1 — ~/я/8е ~ "~з.
(При и — «оо здесь»/я/8 можно заменить на 1/2.) Ь) Обозначим через Му такое число, для которого 1»(х Е В ~ /(х) < Му) > 1/2 и 1»(х б В ( /(х) > Му) > 1/2. Его-то и называют медианой или средним в смысле Леви значением функции /: о' -+ Я. (Если М«-уровень функции / на сфере имеет ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ 785 нулевую меру, то мера каждого из указанных двух множеств будет в точности равна половине д-площади сферы о™.) Получите следующую лемму Леви: если 1' Е С(Я"'1л) и А = (х Е о" 1~ ~ 11х) = Му), то р(Ая) > Я~~-0 п(2 с) Пусть теперь юу(б) = япр1'11(х) — ~(у)) ( р(х,у) < о)--модуль неирерыености функции 7.
Значения функции 1 на множестве Ая близки к М1. Точнее, если шу(о) < е, то ~Дх) — Му~ < е на Ал. Таким образом, лемма Леви показывает, что «хорошие» функции на самом-то деле почти постоянны на почти всей области определения о, когда ее размерность т очень велика. Считая, что Г" Е Ыр1о'" ", И) и Ь вЂ” константа Липшица для функции г", оцените Рг111" 1х) — Му~ > е) и дисперсию величины ~Дх) — Му( при и» 1. г1) Выполните предыдущие оценки в случае, когда функция г" определена не на единичной сфере, а на сфере о" 1(г) радиуса г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
