1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Учитывая последнее соотношение, на основании теоремы 2 из 23 и критерия Коши равномерной сходимости можно заключить, что метрическое пространство С(К, У) с метрикой равномерной сходимости является полным. Напомним, что компактным подмножеством метрического пространства называется такое подмножество, из любой последовательности точек которого можно извлечь последовательность Коши (или, что то же самое, фундаментальную последовательность). Если исходное метрическое пространство полное, то такая последовательность будет даже сходящейся.
Теорема Арцела-Асколи дает описание компактных подмножеств метрического пространства С(К, У). Следующая важная теорема, которую мы собираемся доказать, даст описание достаточно разнообразных всюду плотных подмножеств пространства С(К, У). Естественный интерес, который представляют такие подмножества, связан с тем, что функциями, составляющими их, можно равномерно, т.
е. со сколь угодно малой абсолютной погрешностью на всем К, аппроксимировать любую функцию 1: К -+ У, непрерывную на К. Пример 4. Классический результат Вейерштрасса, к которому мы будем еще не раз возвращаться и который обобщает приведенная ниже теорема Стоуна, состоит в следующем. Теорема 2 (Вейерштрасс). Если 1" Е С([а,б],С), то существует такая последовательность ~Р„; и е 1Ч) мноеочленов Р„: [а,б] -+ С, что Р„=2 1 на [а,б]. При этом, если 1 Е С([а,б], К), то и мноеочлены Рк кожно выбрать иэ С([а,б],К). На геометрическом языке это означает, например, что многочлены с вещественными коэффициентами образуют всюду плотное подмножество в пространстве С([а, б], Н).
Пример 5. Если теорема 2 требует все-таки нетривиального до- 14. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 473 казательства (оно дано ниже), то на основании равномерной непрерывности любой функции 1 Е С([а, Ь], К) легко заключить, что множество кусочно линейных непрерывных вещественнозначных на отрезке [а, Ь] функций является всюду плотным подмножеством в С([а,6], К). Замечание 1. Отметим, что если Е1 всюду плотно в Е2, а Е2 всюду плотно в Ез, то в смысле той же метрики Ем очевидно, будет всюду плотным в Ез.
Это означает, например, что для доказательства теоремы 2 достаточно показать, что кусочно линейную функцию можно сколь угодно хорошо приблизить многочленом на соответствующем отрезке. 3. Теорема Стоуна. Прежде чем переходить к общей теореме Стоуна, приведем следующее, полезное для восприятия дальнейшего, доказательство теоремы 2 (Вейерштрасса) в случае вещественнозначных функций. ~ Заметим сначала, что если 1,д Е С([а, 6],К), о Е К и функции 1, д допускают равномерную (сколь угодно точную) аппроксимацию многочленами, то ее допускают и непрерывные на [а, 6] функции 1 + д, 1дМ. На отрезке [ — 1, 1], как было показано в примере 2, ~ 3, функция ]х[ допускает равномерное приближение полиномами Р„(х) = 2 аьх". ь=1 Значит, соответствующая последовательность полиномов М Р„(х(М) дает равномерную аппроксимацию функции ]х] уже на отрезке ]х] < М.
Если 1 б С([а,Ь],К) и М = шах]1(х)[, то из ]у] — 2 сьу" < е при /с=1 ]у] < М следует [7(х)[ — ,'[ сьев~(х) < е при а < х < Ь. Значит, если 1 ь=1 допускает равномерную аппроксимацию многочленами на отрезке [а, 6], то 2 сь~ и [1] тоже допускают такую аппроксимацию. ь=1 Наконец, если у и д допускают равномерную аппроксимацию много- членами на отрезке [а, Ь], то в силу сказанного ее допускают и функции тахЦ,д) = 2((~+ д) + ]7" — д]), т1п(у,д) = 2((~ +д) — [1 — д]). Пусть а ( С1 ( ~з ( Ь, У(х) = О, д~,4,(х) = ~ — ф-, 6(х) = 1, Ф~,4, = тах(1,д4,4,), Г4,~, = т1п(Ь,Ф~,4,).
Линейные комбинации функций вида Р4,4„очевидно, порождают все множество непрерывных ку- ГЛ. ХН1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 474 сочно линейных функций на отрезке [а, 61 откуда, в силу примера 5, и следует теорема Вейерштрасса. ~ Прежде чем формулировать теорему Стоуна, определим несколько новых понятий.
Определение 3. Совокупность А вещественно [комплексно)- значных функций на множестве Х называется вещесшвенмой (комплексной) алгеброй функций на Х, если из 7", д Е А и а б К[С) следует, что [~ + д) Е А; (~ д) Е А; [о~) Е А. Пример 6. Пусть Х С С. Многочлены Р(л) = се+ с1г+ сзг~+ +... + с„г", и Е М, очевидно, образуют комплексную алгебру функций на Х. Если взять Х = [а, 6[ С К и многочлены брать только с действительными коэффициентами, то получим вещественную алгебру функций на отрезке [а, 6[. Пример 7.
Линейные комбинации с коэффициентами иэ К или С функций е"*, и = О, 1, 2,..., очевидно, тоже образуют алгебру (соответственно вещественную или комплексную) на любом отрезке [а, Ь| с К. То же можно, сказать и о линейных комбинациях функций (е'"*; и Е .'Е). Определение 4.
Будем говорить, что некоторая совокупность о функций, определенных на множестве Х, разделяет щечки множества Х, если для любой пары точек хм хз Е Х найдется функция ~ Е о такая, что ~(х1) 74 7'[хз). Пример 8. Совокупность функций (е"*; п б 1Ч) и даже каждая из них разделяет точки К.
Вместе с тем, совокупность 2я-периодических функций (е'"*; и Е Е У,) разделяет точки отрезка, если его длина меньше 2я и, очевидно, не разделяет точки отрезка длины, большей или равной 2я. Пример 9. Вещественные многочлены в совокупности образуют множество функций, разделяющее точки любого отрезка [а, Ь|, так как это делает уже один многочлен Р[х) = х. Сказанное можно повторить относительно множества Х С С и совокупности комплексных полиномов на Х. В качестве одной разделяющей функции теперь можно взять Р(г) = ю 14. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 475 Определение 5.
Будем говорить, что семейство г' функций у: Х вЂ” ф С не исчезает на множестве Х, если для любой точки хв е Х найдется функция Д б У' такая, что )0(хо) ф О. Пример 10. Семейство г' = (1,х,хг,... ) на отрезке [0,1] неисчезает, а вот все функции семейства го = (х, хг,... ) обращаются в нуль при х = О. Лемма 2. Если алгебра А вещественных (или комплексных) на множестве Х функций разделяет точки Х и не исчезает на Х, то для любых различных точек х1,хг Е Х и любых вещественных (или, соответственно, комплексных) чисел сы сз в А найдется такая 4ункция 1, что 1(х1) = с1, 1(хз) = с2.
~ Очевидно, лемму достаточно доказать, лишь когда с1 = О, сз = 1 икогдас1 =1,с2=0. Ввиду равноправности точек х1, х2, рассмотрим лишь случай с1 = 1, сз = О. Заметим сначала, что в А существует такая специальная разделяющая точки х1, хг функция 8, которая, наряду с условием 8(х1) уе 8(х2), удовлетворяет требованию 8(х1) ф О. Пусть д,6 Е А, д(х1) ф д(хз), д(х1) = О, Ь(х1) ~ О.
Очевидно, найдется такое число Л Е лс'1 О, что Л(п(х1) — Ь(хз)) ~ д(хз). Тогда функция в = д + Л)ф и будет искомой. 2 т„,р,, д,) = '2~.='2Й.'еь, д фу ~ у 8 (Х1) — 8(Х2)8(Х2) нашей алгебры А, удовлетворяющую поставленным условиям: Дх1) = 1 иДхз) =О. ь Теорема 3 (Стоун1)). Пусть А — алгебра определенных на компакте К непрерывных вещественнозначных 92ункций. Если А разделяет точки компакта К и не исчезает на К, то А является всюду плотным подмножеством пространства С(К, К).
~ Пусть А — замыкание в С(К, К) множества А с С(К, Н), т.е. А состоит из тех непрерывных функций у С С(К,К), которые можно сколь угодно точно равномерно приближать функциями из А. Теорема утверждает, что А = С(К, К). ПМ. Х. Стоун (1903-1989) — американский математик; основные труды относятся к топологии и функциональному анализу. ГЛ. ХУ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 47б Повторяя проведенные при доказательстве теоремы Вейерштрасса рассуждения, замечаем, что если У", д б А и а Е В„то функции )+д, У д, а)', ф, щах(у,д), пйп()',д) тоже принадлежат А. По индукции можно пРовеРить, что вообще, если )ы Уг,..., )'„Е А, то щах(уы 7г,..., У'„) и пцп(71,)г ..
)п) тоже лежат в А. Теперь покажем, что для любой функции )' Е С(К, )Й), любой точки х Е К и любого числа е > О найдется такая функция д Е А, что д (х) = )(х) и д (Ф) > У(4) — е при любом 1 Е К. Чтобы в этом убедиться, для каждой точки у Е К возьмем в соответствии с леммой 2 функцию Ьр е А такую, что Ьр(х) = у(х) и Ь„(У) = У"(У). В силУ непРеРывности на К фУнкций У" и Ьр найдется такая открытая окрестность с7я точки у, что Ьр(1) > )(Ф) — е при любом ~ Е (У„. Из покрытия компакта К открытыми множествами с7р извлекаем конечное покрытие ((Уш, (7„„..., с7„„).
Тогда функция д = щах(Ьш, Ьо„..., Ьн ) б А будет искомой. Взяв теперь для каждой точки х Е К такую функцию д, заметим, что ввиду непрерывности функций да и ) найдется такая открытая окрестность 1 точки х б К, что д (4) < У'(~) + е при любом $ ~ И. Поскольку К вЂ” компакт, найдется его конечное покрытие ($' „1~ „..., И ) такими окрестностями. Функция д = ппц(даы да„...,д ) принадлежит алгебре А и по построению в любой точке удовлетворяет двойному неравенству уИ) — е < д(г) < уИ)+ Но число е > О было выбрано произвольно, поэтому доказано, что любую функцию У" Е С(К,К) можно сколь угодно точно равномерно приблизить на К функциями из алгебры А.
~ Задачи и упражнения 1. Семейство У' функций 7': Х вЂ” ~ У, определенных иа метрическом пространстве Х и принимающих значения в метрическом пространстве У, называется раоностепенно непрерывным е паечке хо е Х, если для любого е > О найдется б > О такое, что для любой функции 7" Е У' соотношение дх(х, хо) < б влечет Ну()'(х), 7'(хо)) < е. а) Покажите, что если семейство У функций 7: Х вЂ” > У равиостепенио непрерывно в точке хо Е Х, то любая функция 7 Е У непрерывна в точке хо, ио утверждение, обратное к этому, неверно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
