1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 91
Текст из файла (страница 91)
ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 482 3. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра Утверждение 2. Если на прямоузольнике Р = ((х,у) Е К~ ~ а < < х < Ь А с < у < а) 4ункцил Г: Р ь К непрерывна и имеегп непрерывную частную производную по у, то интеерал (2) принадлежит классу СО)([с,а),К), причем Р'(у) = / — (х,у) ах.
г д,Г / ау 0 (5) Формулу (5) дифференцирования собственного интеграла (2) по параметру часто называют формулой или правилом Лейбница. < Проверим непосредственно, что если уо Е [с,с([, то Р'(уо) можно вычислить по формуле (5): ь Р(уо + Ь) — Р(уо) — / — (х, уо) йх 6 г аг ду а Г(х, уо+ Ь) — Г(х, уо) — — (х,у,)Ь Ь | д,Г а дГ г(х,уо+ и) — г(х,уо) — — (х,уо)Ь ах ( у а ь < вир — (х,ус+ ОЬ) — — (х,уо) ах[5[ = ср(уо, Ь) [Ь[.
дГ дГ о<в<1 ду ду а По условию луг е С(Р,К), поэтому /(х,у) ~ лдг(х,уо) на отрезке а < х < Ь при у — > уо, откуда следует, что у(уо, Ь) — > О при Ь -+ О. в Замечание 3. Проведенное доказательство и использованная в нем форма теоремы о конечном приращении показывают, что утверждение 2 остается в силе, если вместо отрезка [с, а[ взять выпуклый Замечание 2. Непрерывность исходной функции Г использована в доказательстве лишь как достаточное условие существования всех участвующих в нем интегралов. 21, СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 483 компакт в любом векторном нормированном пространстве.
При этом, очевидно, можно еще считать, что 1 принимает значения в некотором полном векторном нормированном пространстве. В частности, и это порой бывает весьма полезно, формула (5) применима и к комплекснозначным функциям Г комплексного переменного у Н С и к функциям г'(у) = г'(у',..., у") от векторного параметра у = (у,..., у") Н С". В последнем случае ~, конечно, можно расписать покоординатно в д~ виде — г-,..., — ~- и получить из (5) соответствующие частные про- ~, ду' ду" / Ь изводные —,(у) = 1 -~-(х,у1,...,у") дх функции г'. ду*' . ду* Пример 2. Проверим, что функция и(х) = 1'соя(п~р — х вша) с6р о удовлетворяет уравнению Бесселя х и + хи + (х — и )и = О.
2 а г 2 2 Действительно, выполнив дифференцирования в соответствии с формулой (5), после простых преобразований находим — хг 81п ~р соя(п~р — х я1п ~р) с6р + х 81п уг 81п(пу — х я1п 1у) Йр + о о + (х — пг) соя(а1о — х яшар) Йр = о — ((х' 81п' р+ пг — х') соя(п,р — х 81п р) 0 — хяшуя1п(п~р — хя1п~р)) с6р = = — (п+ хсоя 12) яш(п~р — хя1п~р)$ = О. Пример 3.
Полные эллиптические интегралы к/2 т/2 Г Ф Е(й) = 1 — йгя1 где, К® = (б) ! — Й ~ р 0 как функции параметра й, О < й ( 1, называемого модулем соответ- ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ствующего эллиптического интеерала, связаны соотношениями 6ŠŠ— К дК Е К ~й /г(1 — /гг) /г Проверим, например, первое из них. По формуле (5) гг/2 — — /гяп гр (1 — /г яп г1) / дгр = гй о гг/2 гг/2 / 2 г -1/г к,/ — (1 — /гнпп~ гр)"/~дгр — — (1 — /г яп гр) / дгр = о о Пример 4.
Иногда применение формулы (5) позволяет даже вычислить интеграл. Пусть /г Р(ег) = 1п(гг — яп гр) дгр (ег > 1). о Согласно формуле (5) г г/2 2гг дгр гг Р'(гг) = ггг — 81п гр 1/а2 — 1 о откуда Р(гг) = к 1п(гг + ~/сгг — 1) + с. Величину с тоже легко найти, если заметить, что при гг -+ +ос, с одной стороны, Р(о) = к 1по+ к 1п2+ с+ о(1), а, с другой стороны, из определения Р(гг) с учетом равенства 1п(гг — вш гр) = 21псг+ о(1) при 2 2 ег — 1 +со получается, что Р(гг) = к1па+ о(1).
Значит, к1п2+ с = О и Р(гг) = к 1п ~2(о + ~/ог — 1). Утверждение 2 можно несколько усилить. Утверждение 2'. Пусть на прямоуеольнике Р = 1(х,у) е Кг ~ а < х < Ь А с < у < д1 грункцил /: Р + 1С непрерывна и имеегп непрерывную частную производную д, пусть далее сг(у) и /3(у) такие недг, у прерывно диугугеренцируемые на [с,д) угункции, что при любом у Е [с,д) 11. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 488 их значения лежат на отрезке [а,6[. Тогда интеграл г"(у) = у(х,у) дх определен при любом у Н [с,д], принадлежит классу СО)([с,д[,й) и справедлива формула д(у) Р'(у) = 1()З(у), у) )3'(у) — У(а(у), у) а'(у) + / — (х, у) дх.
(8) ду а(у) ~ В соответствии с правилом дифференцирования интеграла по пределам интегрирования и с учетом формулы (5) можно сказать, что функция з Ф(а„З, у) = ~(х, у) дх а з дФ дФ Т д~ — = — Да,у), — = ~ — (х,у)дх. да ' ' ду,/ ду а дФ дЗ =УМ У) С учетом утверждения 1 заключаем, что все частные производные функции Ф непрерывны в ее области определения.
Значит, Ф— непрерывно дифференцируемая функция. Теперь формула (8) получается дифференцированием сложной функции г'(у) = Ф(а(у)„З(у), у). )~ Пример 5. Пусть х Г„(х) =, (х — ~)"-'У(1) ~Ц, 1 0 где и б И, а у — непрерывная на промежутке интегрирования функция. Проверим, что г'„'~~(х) = Дх). при условиях, что а,)З Н [а,6[ и у Н [с,а[, имеет следующие частные производные: ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 486 х При и = 1 Р1(х) = ) 1'(1) с11 и Р,'(х) = 1(х).
О По формуле (8) при и > 1 находим х 1 и — 1 ~п(~) ( 1)1( х) 1 (*) + ( ~)~ (х 1) а (1) с(с — Р— (х). О По принципу индукции заключаем, что, деиствительно, Ри (х) = (и) = 1(х) при любом и Е 1ч. 4. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра Утверждение 3. Если функция 1: Р— ь К непрерывна в прямоугольнике Р = ((х, у) С Кх ~ а ( х ( Ь Л с ( у ( 11), то интеграл (2) интегрируем на отрезке (с,с1) и имеет место равенство ь ь л Х(х у) с1х 4у = Х(х, у) е(у с а а с (9) ~ С точки зрения кратных интегралов равенство (9) есть простейший вариант теоремы Фубини.
Приведем, однако, доказательство соотношения (9), позволяющее обосновать его независимо от теоремы Фубини. Рассмотрим функции и Ь Ь и У(и) = 1(х, У) дх ЙУ, 1)1(и) = 1(х, У) дУ дх. с а а с Ввиду того, что 1 Е С(Р, К) на основании утверждения 1 и непрерывной зависимости интеграла от верхнего предела интегрирования, заключаем, что 1р,1Ь Е С((с,д),К). Далее, ввиду непрерывности функь ции (2), находим, что ~р'(и) = /,1(х, и) дх, а по формуле (5) получаем, а ь что уЬ'(и) = / 1(х, и) дх при и Е '1с, д). Таким образом, 1о'(и) = уЬ'(и) и, а значит, у1(и) = ф(и) + с на отрезке [с, с1).
По поскольку 1о(0) = 1р(0) = О, то на отрезке (с, с() имеет место равенство 1р(и) = 1р(и), из которого при и = а получается соотношение (9). ~ 11. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 487 Задачи и упражнения 1. а) Объясните, почему функция Р(у) из соотношения (2) имеет предел ь ] у(х) пх, если зависящее от параметра у Б У семейство функций уя(х) = а = у(х, у), интегрируемых на отрезке а < х < б, равномерно сходится на нем к функции у(х) при некоторой базе В в У (например, при базе у -1 до).
Ь) Докажите, что если Š— измеримое множество в И™, а функция у: Е х х 1" -+ И, определенная на прямом произведении Е х 1" = ((х,4) Б И ь" [ х Б Е Л 1 Е 1") множества Е и и-мерного промежутка 1", непрерывна, то определенная равенством (1) при Е~ — — Е функция Р непрерывна на 1". с) Пусть Р = ((х, у) Е йз [ а < х < Ь А с < д < И), и пусть у Е С(Р, И), а, 11 е С([с, 4], [а, 0]). Докажите, что тогда функция (7) непрерывна на отрезке [с, 4].
2. а) Покажите, что если у Е С(В„Й), то функция Р(х) = ~- [ у'(х -~- 4) сМ вЂ” а не только непрерывна, но и дифференцнруема на Н. Ь) Найдите производную указанной функции Р(х) и убедитесь, что Р Б Б СО1(И, И). 3. Используя дифференцирование по параметру, покажите, что при [г[ < 1 л Р(г) = 1п(1 — 2гсоях+гз) йх = О. о 4. Проверьте, что следующие функции удовлетворяют уравнению Бесселя, указанному в примере 2. а) и = х" [ соя(хсояу)сбп "мойр. о -~-1 Ь) У„(х) = (з— — * — 1 я, [' (1 — 1з)" 1 соз х1 й1. — 1 с) Покажите, что отвечающие различным значениям и е Н функции 1„ связаны соотношением Х„.ь~ =,7„~ — 2.7„'.
5. Развивая пример 3 и полагая й:= ~/à — йз, Е(й):= Е(й), К(я):= К(Я), покажите, вслед за Лежандром, что а) ~~д(ЕК+ ЕК вЂ” КК) = О. Ь) ЕК+ ЕК вЂ” КК = я/2. 6, Вместо интеграла (2) рассмотрим интеграл ~(д) — ~ Нх, д)д(х) 4х, а где д — интегрируемая на отрезке [а, б] функция (д е Я.[а, 6]). ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 488 Повторив приведенные выше доказательства утверждений 1-3, последовательно проверьте, что а) Если функция 1 удовлетворяет условиям утверждения 1, то функция У непрерывна на отрезке [с, д) (У' Е С[с, д]).
Ь) Если функция 1 удовлетворяет условиям утверждения 2, то функция У непрерывно дифференцируема на [с, д[ (У е СОО [с, а[), причем У'(у) = / — (х,у)д(х)дх. ~ ду' ,/ ду а с) Если функция 1 удовлетворяет условиям утверждения 3, то У интегрируема на [с, д) (У е Я[с, д)), причем Т. Формула Теблора и лемма Адамара. а) Покажите, что если у — гладкая функция и 1(0) = О, то 1(х) = ху(х), где 00 — непрерывная функция и р(0) = 1'(0). Ь) Покажите, что если 1 Е СОО и ~~ь1 = 0 при й = 0,1,...,п — 1, то 1(х) = х"Ьо(х), где ьо — непрерывная функция и ~р(0) = -„~~УОО(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
