1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В силу (2.16) отсюда следует, что /!!Я!ь, — !!Дь,! — О при и — со. 3) Пусть дано число а ~ О. При каждом и имеем откуда, очевидно, следует, что !!а~„— аДь, — О при и — со, т. е. функции а~„сходятся к 1 в смысле Ьм 4) При каждом х Е М, для которого ~(х) конечно, для любого и Е 1з выполняется неравенство 1/~„(х)! — /дх)!! < /Ях) — дх)! для всех х Е М. Это неравенство верно также и в случае 11х) = хоо, так как тогда правая часть неравенства равна оо. Следствие 2 леммы 2.5 позволяет заключить, что и, значит, 11!1„! — !Я!1 — О при и — оо, т. е. функции !Я сходятся в смысле Хд к функции !Я. Лемма доказана. ° ° Лемма 2.8.
Пусть ( 1'„)„ен и (д„)„ен — последовательности функций, каждая из которых определена и всюду конечна на множестве М. Предположим, что данные последовательности сходятся и смысле Ь1 к функциям 1: М вЂ” Й и д: М вЂ” Й соответственно. Тогда если сумма 11х) + д(х) определена для всех х Е М, то функции ~„+ д„ь1-сходятся к функции Т + д при и — оо. 4б Гп. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство.
Пусть х есть произвольная точка множества М. Тогда если Х[х) и д(х) конечны, то [Ях) + д„(х) — [Х[х) + д(х)][ < [Ях) — Х[х)[+ [д„(х) — д(х)[. Это неравенство остается верным также и в случае, когда хотя бы одна из величин Х[х) и д(х) равна ~со, ибо тогда правая часть его будет равна оо. На основании следствия 2 леммы 2.5 отсюда получаем, что [[У.
+ д. — У + д) Ь, < [[У. — Я ., + Ь. — д[Ь' Правая часть этого неравенства в силу условия леммы стремится к нулю при и — оо. Отсюда следует, что [[Х, +д — (Х+д)[[ь, — О при и — оо. Лемма доказана. ° ° Теорема 2.1. Если функция 1: М вЂ” Й интегрируема, то для любого числа а также и функция а1 интегрируема, причем 1(аХ) = = аХЦ). Если 1: М вЂ” К и д: М вЂ” К вЂ” интегрируемые функции такие, что сумма Х[х) + д(х) определена для всех х б М, то функция 1+ д является интегрируемой. При этом 1(1+ д) = ХЦ) + 1(д). Доказательство. Пусть 1 есть интегрируемая функция, а ф О— вещественное число, (р„),ен — последовательность функций класса Я, сходящаяся к 1 в смысле Хч. В силу леммы 2.7 функции ау„сходятся в смысле Х,| к функции а1, откуда следует интегрируемость а1.
При и — оо имеем 1(а~р„) — 1(аУ). Получаем 1(ам„) = 1(ю„) ХУ) при и -+ со, откуда следует, что 1(аЯ = а1(У). Пусть 1 и д — интегрируемые функции такие, что сумма Х[х) + +д(х) определена для всех х б М. Пусть у„и ф„— последовательности простых функций, сходящиеся в смысле Х | к функциям 1 и д. Функции у„+ ф„принадлежат классу Я для всех и и согласно лемме 2.8 при и — оо сходятся в смысле Хз к 1+ д.
Отсюда следует интегрируемость 1 + д. При каждом и Е И имеем 1(Ю, + ф,) = 1(Ю,) + 1(ф ) ХУ) + ХЫ. С другой стороны, 1(р„+ ф„) — 1(У + д) при и — оо. Отсюда получаем 1(У + д) = ХУ) + ХЬ). Теорема доказана. ° з 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 47 ° Теорема 2.2. Если функция 1 иптегрируема, то иптегрируема также и функция Щ, причем ЦЯ) = ()ДЬ,. Доказательство. Пусть 1 Е Х|(Е) и (у„)„ен есть последовательность функций класса Я, Х~-сходящаяся к функции 1 при и — оо. Тогда на основании утверждений 4 и 5 леммы 2.7 при и — оо функции )у,~ сходятся в смысле Х~ к функции (Я.
Так как ~~р„~ Е Я при каждом н б М, отсюда следует, что функция Щ интегрируема. При и — оо имеем 1((~р„~) — ХЩ). Но ХЦ~р„!) = = фр„()ь, при каждом и б М. Согласно лемме 2.7 ~)уДь, — ~)Дь„т. е. (Ль, = 1пп )(р,(~ь, = 1пп 10у„0, и, значит, ~Я ь, = 10Щ), что и требовалось доказать. ° Следствие 1. Пусть 1: М вЂ” Й есть интегрируемая функция. Тогда если функция 1 неотрицательпа, то Щ) > О. Действительно, если функция 1 неотрицательна, то 1 = Щ и, значит, ХЯ = ЦД) = ~)Дь,.
Так как Х,|-норма функции всегда неотрицательна, отсюда следует, что ХЦ) > О. Следствие 1 доказано. Т Следствие 2. 11усть 1: М вЂ” Й и д: М вЂ” К вЂ” произвольные интегрируемые функции. Тогда если 1 > д, то 1(1) > 1(д). Доказательство следствия 2 очевидно. В заключение аз ела и иве ем некото ые коммента ии к оп е- лениям этого па аг а а. Понятия интеграла и интегрируемой функции были введены здесь посредством понятия Х мнормы функции. Сама эта норма определена способом, который может показаться несколько вычурным: Х,пнорма есть точная нижняя граница множества чисел, каждое их которых, в свою очередь, есть предел некоторой числовой последовательности.
Возникает, естественно, вопрос, нужна ли такая сложность, нельзя ли построить теорию интеграла, используя интегральную норму, определенную каким-либо другим, более простым способом. Один из возможных способов действия мог бы быть, например, таким. Предположим, что дана некоторая система с интегрированием (М, Я, 1). Будем говорить, что функция <р б Я мажорирует функцию 1: М -+ К, если для всех х б М выполняется неравенство Щх)~ < < у(х). Пусть ЙХин есть точная нижняя граница интегралов 1(у) по множеству всех основных функций, мажорирующих 1. Величина 515 в, определенная таким образом, называется римановой интегральной нормой фуннции 1.
Функция 1: М вЂ” К называется интпегрируемой е смысле Римана д7уннцией в системе с интегрированием (М, Я, 1), если найдется последовательность основных функций (р„)„ен такая, что 48 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных () Г" — уДн — О. Для всякой такой последовательности существует предел Бш Г(у„).
Этот предел называется интегралом Римана функции ~ а оо в данной системе с интегрированием. Возникает вопрос, почему вместо такого просто и, казалось бы, естественно определяемого понятия интегральной нормы мы вводим другое, которое определяется посредством достаточно сложных построений. Легко проверяется, что утверждения лемм 2.3 и 2.4 остаются верными, если в их формулировках заменить Ьмнорму римановой интегральной нормой. Нетрудно показать также, что для любых двух функций г" и д имеет место неравенство ()~+дЙн < (~Дн+ Йд(~н. Отсюда, по индукции, получаем, что риманова норма суммы любого конечного числа функций не превосходит суммы их норм.
Однако попытка доказать то же самое для бесконечной последовательности функций к успеху не приводит. В частности, аналог леммы 2.5 в теории интегрирования, опирающейся на понятие римановой интегральной нормы, не имеет места. Лемма 2.5 играет существенную роль в дальнейших построениях. В частности, с ее помощью доказываются основные теоремы о предельном переходе в теории интеграла. Предоставляем читателю разобраться самостоятельно в том, что мешает доказать лемму 2.5 для римановой интегральной нормы.
2.5. СВОЙСТВА ВЫПОЛНЯЮ НЕСЯ ПОЧТИ ВСЮ У 2.5.1. Свойство функции одной переменной быть интегрируемой, так же как и значение интеграла от этой функции, не меняется, если произвольным образом изменить значения функции на некотором не более чем счетном множестве. Оказывается, что и в общей теории интеграла, которая излагается здесь, может быть определен класс множеств такой, что свойство функции быть интегрируемой не нарушается и значение ее интеграла не изменится, если значения функции произвольным образом изменить в точках множества, принадлежащего этому классу.
Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (Ы,.д',1). Функция ~: М вЂ” Й называется пренебрежимой в системе с ингпегрированием Е, если ее Й1-норма равна нулю. Множество Е С М называется пренебрежимым или, иначе, множеспзвом меры нуль, если его индикатор 1е является пренебрежимой функцией. Пустое множество ю является множеством меры нуль. Действительно, индикатор пустого множества есть функция, тождественно равная нулю, и, значит, Ь|-норма индикатора множества в данном случае равна нулю. З 2. Определение н простейшие свойства интеграла Лебега 49 В евклидовой системе с интегрированием (К", 5'(К"), ) ) всякое Ж" одноточечное множество является пренебрежимым. В самом деле, пусть Е = 1р), где р — произвольная точка К".
Для каждого т > О найдем двоичный куб ранга т, содержащий точку р. Пусть есть индикатор этого куба. Пля всех х Е К" имеем Хе(х) < Х„(х) и, значит, 1 !!Хе!!ь1 ~ !!Хг!!ь1 Хг(х) йх = В силу произвольности т > О отсюда следует, что !!ХЕ!!Ь, = О. Отметим, что для системы с интегрированием, не являющейся евклидовой, последнее утверждение может оказаться неверным, т.
е. множество, состоящее из единственной точки, может не быть множеством меры нуль. Зададим произвольно систему с интегрированием (М,Я,Х). Все дальнейшие рассуждения в этом параграфе относятся к этой системе с интегрированием. Будем говорить, что некоторое условие Р(х) выполняется почти всюду на множестве А, если множество Е, состоящее из всех тех точек х Е А, которые не удовлетворяют условию Р(х), пренебрежимо (или, что то же самое, Е является множеством меры нуль).
В этом случае мы будем также говорить, что условие Р(х) истинно для почти всех х Е А. В частности, множество Е может быть п у с т ы м, так что условие, которое выполняется на А всюду, выполняется на А также и почта всюду. Мы будем рассматривать также функции, определенные на подмножествах множества М. алее обно п е живаться сл ю ей те минологии. Будем говорить, что функция г" определена на множестве А С М почти всюду или, иначе, для почта всех х б А, если область определения А' функции г" есть подмножество М такое, что множество А 1 А' есть множество меры нуль. Иначе говоря, функция У определена почти всюду на множестве А С М, если точки х б А, для которых величина Дх) не определена, образуют пренебрежимое множество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
