1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 8
Текст из файла (страница 8)
3 а м е ч а н и е 2. Свойство Ь|-нормы, устанавливаемое леммой, называется субаддитивностью. 40 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных йщ 1Ц„) < 0Я(ь, + —. Положим д = Л, + Л, + . + ~, . Каждая из функций д принадлежит классу Я. Так как последовательность (У, ) еи возрастающая, то г"„, +1 > ~„при любых и и т. Отсюда получаем, что дт+! Л,т+1 + ' ' ' + Ут,т+1 + 1т+цт+1 > > Лт+1+У2т+1+'''+1тт+1 > Лт+Узт+'''+Утт дт~ так что последовательность функций (д ) еи возрастающая. Докажем, что Щх)~ < Пш д (х) при каждом х б М. Зададим произвольно точку х б М. Пусть и б М.
Тогда при т > и будет д (х) > Л (х)+ Л (х)+ + г„(х). Отсюда, переходя к пределу при гп -+ со, получим Пщ д (х) > )Л(х)1+ ~Л(х))+ + ~Ях)). (2.11) Число и б Ы было выбрано произвольно. Переходя в неравенстве (2.11) к пределу при и — со, получим 1пп д (х) > ~» Щх)) > ~Дх)!. ит1 Последовательность (д ) еи возрастающая, все функции д принадлежат классу Я+, и йщ д (х) > ~Дх)) для всех х б М. Это означает, что функциональная последователь- ность (д ) еи мажорирует функцию Л Отсюда вытекает, что (2.12) !!УЬ, < й 1(д ) Доказательство леммы. Если сумма в правой части неравенства (2.10) равна со, то неравенство верно.
Будем далее предполагать, что эта сумма конечна. Тогда 0' Г"„'0'ь, < < ос для всех и б Х. Зададим произвольно е > О. При каждом и б М найдется последовательность (Лз ) еи функций класса Я, мажорирующая функцию ~„и такая, что 5 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега При каждом и Е Х для любого т Е Х имеем 1У„,„) < йщ 1У„,„) < !!1„!!,„+ — '. Отсюда следует, что Переходя в этом неравенстве к пределу при гл — оо, получим 1Ь ) < ,"> !!У !!ь, + Ввиду (2.12) отсюда следует, что Так как е > О произвольно, то тем самым лемма доказана.
и я Следствие 1. Пусть 1, ~~, 1з,..., 1' — вещественные функции, определенные на множестве М. Предположим, что Щх)! < ~„!1„(х)! пш1 для всех х Е М. Тогда имеет место неравенство !!1!!ь, < 2, !!1„!!ь,. а=1 Данное предложение устанавливается прямым применением леммы 2.5 к последовательности (~„)„еи такой, что при 1 < ц < пь функция 1„есть та из функций ~, 1з,..., 1, номер которой равен и, и 1„= О при и > т. Следствие 1 доказано.
%' Следствие 3. Пусть функции 1: М вЂ” Й ид: М - Й таковы, что Щх)! < !д(х)! для всех х Е М. Тогда !!1!!ь, < !!д!!ь,. Данное предложение есть частный случай следствия 1, соответствующий значению т = 1. Следствие 2 доказано. Следствие 8. Для любых двух функций 1": М К и д: М вЂ” К имеют место неравенства !!У+ д!!ь, < !!Л!ъ, + !!д!!ь, !!У!!ь, < !!д!!ь, + !!Х- д!!ь„ !!д!!ь, < !!Л!ь, + !!У-д!!ь, 42 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Действительно, при каждом з Е М имеем (Дт) + д(ж)( < )Дх)~ + +~д(л)~.
Полагая в условиях следствия 1 т = 2 и Л вЂ” — У, 1з = д, получим первое неравенство. Далее, для всех т Е М имеем Щх)~ < !д(т)/+ ~Дх) — д(х)! и !д(х)! < /~(т)/+ Щх) — д(х)/. Полагая в условиях следствия 1 т = 2 и Л = д, Л = ~ — д, получим второе неравенство. Наконец, полагая в условиях следствия 1 пз = 2 и Л = 1 1г = 1 — д, получим последнее неравенство.
Следствие 3 доказано. Т Следствие 4. Для всякой функции 1 йынормы функций 1 и Щ совпадают. Действительно, полагая в утверждении следствия 2 1 = 1 и д = Щ, получим ~)Дь, < ())Яь,. Полагая У = Щ, д = ~, получим )(Щ)(ь, < < )(Дь, и, значит, ((15ь, —— )()Я((ь,. Следствие 4 доказано. 3 а м е ч а н и е. Последнее предложение легко доказать и непосредственно, если заметить, что всякая последовательность функций, мажорирующая одну из функций 1 и ~Я, мажорирует и другую. Ъ' Следствие 5. Ясли функции 1': М вЂ” И и д: М вЂ” + И таковы, что числа )Ль, и ОдОь, конечны, то )(~Дь, — ))дЙь,( < !~У вЂ” д~! ь,. В силу следствия 3 следствие 5 очевидно. 2.4. ОЛРе еление НОПЯтий интеГРАлА и интеГРиРУемОЙ ФУНК ИИ Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М, Я, 1).
Пусть дана произвольная функция 1: М вЂ” Й. Для всякой простой функции ф величина у(х) — 11х) определена для всех х б М, так как простые функции, по определению, всюду конечны в М. Пусть (~„)„ен — произвольная последовательность функций, каждая из которых определена и всюду конечна на множестве М. Будем говорить, что эта последовательность 1,мсходится или, иначе, сходится в смысле Ь| к функции 1: М вЂ” Й, если выполнены следующие условия: 1) норма Й1"„— Яь, при каждом и конечна; 2) 51„— 15ь, — О при и — + оо. В этом случае будем также использовать обозначение 1„ — 1 в смысле Ь| при и -+ оо. функция 1: М вЂ” Й называется инпзегрируемой е систаеме с интегрированием Е = (М, Я, 1), если существует последовательность простых функций (~р„)„ен, сходящаяся в смысле Х~ к функции 1, т.
е. такая, что )(у, — 15ь, — О при ц — оо. Множество всех интегрируемых 3 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 43 функций в системе с интегрированием Е = (М, Я, 1) будем обозначать символом 1 |(Е) или в случае, когда недоразумение невозможно, просто символом Х ~. С, Ру~ ~ *, 2Ы~~~~ следующему.
Функция 1: М Й интегрируема, если функционал р1: Я К, определенный на множестве Я условием ру(~р) = !!у — 1!!с, для произвольной функции у Е Я, является оценочной функцией на множестве Я, имеющей предельное значение О. Пусть даны вещественные функции 1, у и ф, определенные на множестве М, причем у и ф всюду конечны. Тогда для всех х б М выполняется неравенство !у(х) — ф(х)! < !~р(х) — У(х)!+ Щх) — ф(х)!. (2.13) Действительно, если 1(х) конечно, то доказывать нечего, а если 1(х) = хоо для некоторого х б М, то правая часть (2.13) равна со. Отсюда следует, что и в этом случае неравенство верно.
Отсюда, в частности, вытекает неравенство (2.14) ° Лемма 2.6. Если функция 1': М вЂ” Й ннтегрируема, то существует конечный предел 1(~р) лри !!у — 1!!ь,~п~, стремящемся к нулю. Локазательстно. Пусть у и ф есть произвольные функции из класса Я. Тогда в силу неравенства (2.14) имеем (2.15) Зададим произвольно е > О и положим б = в/2. Тогда если Ь У!!ь < б и !!"р 1!!ъ, < б, то в силу неравенства (2.15) выполняется неравенство !1фр) — 1(16)! < б + б = в.
Так как в > О было взято произвольно и для выполнения последнего неравенства потребовалось, лишь чтобы было !!~р — Дь, < б и !!ф — Дь, < б, то мы получаем, что здесь выполняется критерий Коши — Больцано существования конечного предела при !!р — У!!ь,1п) О (см. глава 9, теорема 1.11). Лемма доказана. ° 44 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Пусть 1: М вЂ” Й вЂ” произвольная интегрируемая функция в системе с интегрированием Е = (М, Я, Х). Если функция 1: М вЂ” Й интегрируема, то согласно лемме 2.6 величина 1(р), где р б Я, имеет конечный предел при )(1о — Дь,1п1, стремящемся к нулю. Полагаем временно, что ГЦ) = Бгп 1(у~).
!М-Л~,по о Величину ГЦ) будем далее называть интегралом функции 1 в данной системе с интегрированием. Всякая простая функция 1 является интегрируемой, и для нее 1*Ц) = 1Ц). Действительно, пусть 1 Е Я. Тогда для любой функции ~р Е Я имеет место неравенство 11(р) — ХЦ)! < Ь вЂ” ХЬ,1п1, откуда следует, что ХЦ) есть предел1(~р) при Ц~р — Дь,1п1 о и, значит, функция 1 интегрируема, и 1*Ц) = ХЦ). Поскольку на множестве функций Я функционал 1*, определенный сейчас, совпадает с функционалом1, то в дальнейшем вместо 1' мы будем писать просто 1. Следствие.
Если функция 1: М вЂ” Й интегрируема, то для всякой последовательности (~р„)„еп функций класса Я такой, что '91 — у„))ь,1в1 стремится к нулю при и — оо, выполняется равенство 1Ц) = 1пп 1(,~р„). Справедливость данного утверждения непосредственно вытекает из свойств предела относительно оценочной функции (см. теорему 4.1 главы б; она же — теорема 1.2 главы 9). Ъ' Установим некото ые с в о й с т в а интег ала и класса интег- и емых нк ий непос ственно вытекаю ие из оп еления. Предварительно докажем некоторые леммы. ° Лемма 2Л. Пусть Ц„)„еп есть последовательность функций, каждая из которых определена и всюду конечна на множестве М, схо- дящаяся в смысле Х | к функции 1: М вЂ” Й.
Тогда справедливы следу- ющие утверждения: 1) если )(Дь, = оо, то Щ(ь, = оо для всех ю; 2) если (Щ(ь, < со, то )(Дь, = 1пп 91"„()ь,, 3) для всякого а у- 0 функции аХ„при и — оо сходятся в смысле 1| к функции о 1; 4) функции )Я при и — оо сходятся в смысле Хз к функции (Я. З 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 45 Доказательство.
Пусть выполнены все условия леммы. Докажем последовательно утверждения леммы. 1) Пусть |)Дь, = оо. В силу следствия 3 леммы 2.5 при каждом и имеет место неравенство ()Дь, < )!~„))ь,+!(1„— Дь,. Так как !)у„— Дь, конечно при всех и, то отсюда, очевидно, следует, что !(Т„)!ь, = ос для любого и Е М. 2) Пусть |)Д ь, < со. Следствие 5 леммы 2.5 позволяет заключить, что при каждом и Е М имеет место неравенство По условию, //~„— Дь, — О при и — ос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
