1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Необходимость в этом возникает в связи с тем, что не всегда можно гарантировать, что функция, заданная тем или иным способом, будет определена для всех точек базисного пространства системы с интегрированием. Такая ситуация имеет место, например, в случае, когда функция определена как сумма функционального ряда, относительно которого может быть доказано только, что множество точек э, для которых этот ряд является расходящимся, есть множество меры нуль.
Пусть 1 есть вещественная функция, определенная в М почти всюду. Это означает, что ~ есть функция со значениями в Е, область определения которой есть некоторое множество М' = М 1 Е, где Е— множество меры нуль. П о о п р е д е л и м функцию ~ произвольным образом, задав ее значения на множестве Е. Пусть 1 есть полученное таким образом продолжение функции ~ на М. Величина ОДь, в силу следствия 1 леммы 2.9 не зависит от того, как определены значения функции 1 на множестве Е.
Мы полагаем )(Дь, = ()Дь,. Будем говорить, что функция ~ инлзегрируема, если существует последовательность простых функций ( Г"„)„ен такая, что ЙУ вЂ” У„)~ь, — 0 при и — оо. 2. Ол еделение и л остейшие свойства интег ала Дебета 55 Разность Ди) — ~„(х) определена для почти всех и Е М, и, следо- вательно, величина ((1 — ~„()ь, определена для всех т. Предположим, что функция 1 определена в пространстве М почти всюду и функция д: М вЂ” Й такова, что )(х) = д(х) для всех е б М, для которых Дх) определено. Тогда Дх) — ~„(х) = д(л) — Ят) для всех х, для которых Дх) определено.
Отсюда следует, что Ь вЂ” У.Ь, = 1У вЂ” И!ь, и, значит, ()д — ~„()ь, — О при и -+ оо. Согласно определению инте- грируемой функции это означает, что функция д интегрируема. Суще- ствует конечный предел 1пп 1Ц„) = 1(д). Мы полагаем интеграл 1Ц) и СО функции 1 равным 1Ц) = 1пп 1Ц„). и оо Таким образом, если вещественная функция 1, определенная в М почти всюду, интегрируема, то, продолжая 1 произвольным образом на множество М, мы получим интегрируемую функцию.
Интеграл функ- ции 1 при этом равен интегралу ее продолжения. Все доказанные ранее свойства интеграла сохраняют силу и для случая функций, определенных почти всюду в базисном пространстве системы с интегрированием. Формулировку и доказательства соответ- ствующих утверждений мы предоставляем читателю. ° Теорема 2.4. Если функция ~, определенная в М почти всюду, интегрируема, то функции 1+ и 1 такнсе интегрируемы.
Для лю- бых двух интегрируемых функций 1" и д функции щ1п(1, д) и щах( 1, д) также ин тегрируемы. Доказательство. Пусть 1 есть интегрируемая функция, опреде- ленная в М почти всюду. Множество точек х Е М, для которых Дх) либо не определено, либо равно ~со, есть множество меры нуль. Пусть Дл) есть функция, определенная условием Дз) = Дл), если для данного х значение Дх) определено и конечно и Дж) = О для всех остальных значений х. Функция 1 интегрируема и всюду конечна. При этом Дл) = Дх) почти всюду в М.
По теореме 2.2 функция Щ интегрируема. Отсюда вытекает интегрируемость функций г+=!Л+У „г- Й У 2 2 Так как ~~(х) = У~(х) и 1 (х) = 1 (х) для всякого х Е М, для которого Ди) определено и конечно, т. е. для почти всех х Е М, то тем самым интегрируемость функций 1+ и 1 установлена. Пусть 1 и д — две произвольные интегрируемые функции, каждая из которых определена почти всюду в М. Если функции 1 и д опреде- лены и конечны для всех л Е М, то интегрируемость функций пйп Ц, д) и щах(~, д) следует из равенств ппп(1,д) = 1 — Ц вЂ” д)+, тпах(1,д) = д+ Ц вЂ” д)+.
Общий случай очевидным образом сводится к этому изменением значений функций 1 и д на множестве меры нуль. Теорема доказана. ° 56 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных й 3. Примеры систем с интегрированием В параграфе 2 указан пример системы с интегрированием, который является для нас основным. В этом примере М есть пространство К", Я'— множество ступенчатых функций в К", а 1(~) есть интеграл ступенчатой функции, определенный, как в параграфе 1. Здесь приводится некоторые другие примеры систем с интегрированием.
3.1. СИСТЕМЫ С ИНТЕГРИРОВАНИЕМ В К Приведем примеры систем с интегрированием в множестве К. Пример 1. Пусть даны произвольный промежуток [п,6] в расширенном множестве вещественных чисел К и неотрицательная функция ю: [а, 6] -+ К, непрерывная в основном и интегрируемая по промежутку (а,Ь). Положим М = [п,6]. Функцию ~: (п,6) -+ К будем называть финигпной в (а, Ь), если существует отрезок [с,в] С (а,Ь) такой, что Г(т) = О для х ф [с,п]. Пусть Я есть совокупность всех непрерывных функций, определенных и финитных на промежутке [а,Ь].
Предположим, что Г" и д — две произвольные функции из Я. Любая линейная комбинация аГ" + Дд этих функций является непрерывной функцией. Согласно определению множества функций Я найдутся отрезки [сз, Нз] и [сз,вз] такие, что Дх) = О вне первого из этих двух отрезков, а д обращается в нуль вне промежутка [сз, дз!. Пусть с = ппп(сысз), в' = шах(пз,пз).
Промежуток [с,п], очевидно, содержится в (и, Ь). Функция Ь = а Г" +Дд обращается в нуль вне этого отрезка [с, Н] и, следовательно, является финитной в (а,6), т. е. аУ+~3д б Я. Если функция Г': (и, 6) — К непрерывна и финитна в (в, 6), то функция [Д также непрерывна и финитна в (а,Ь). Это означает, что множество функций эз' в рассматриваемом случае удовлетворяет условиям К1 и К2 определения системы с интегрированием Я 2). Пусть дана функция ~ Е Я.
Тогда найдется промежуток [с, и] с С (а,Ь) такой, что Дт) = О при х ф [с,п]. Функция ю*(т), определенная условиями ю*(т) = О при и < с, и ) и' и ю*(т) = ю(т) при с < т < и', интегрируема по каждому из промежутков [а, с], [с, Н] и [с, Ь] и, следовательно, интегрируема по всему промежутку [а,6].
Имеем Дт)ю*(т) = Дт)ю(х) для всех х Е (а, 6), и, следовательно, функция ~ю интегрируема по промежутку [а, 6]. Полагаем для ~ Е .эг з 3. Примеры систем с интегрированием 57 В силу известных свойств интеграла условия НЗ и В.4 определения системы с интегрированием Я 2) в данном случае выполняются. Покажем выполнение условия И5 из з2. Пусть (У„)„ен есть произвольная убывающая последовательность функций из Я такая, что Ях) — О для всех х Е (а,6). Тогда при каждом и для всех х Е (а, Ь) имеем О < ~„(х) < ~1(х). Функция ~1 согласно определению класса Я финитна в промежутке (а, 6), т.
е. найдется промежуток [с, а] С (а, Ь) такой, что )~(х) = О для любого х ф [с,а]. Промежуток [с,Н] представляет собой компактное множество в К, и, значит, в силу теоремы Лини (глава 12, теорема 1.7) при и — оо функции 7'„сходятся к нулю равномерно в промежутке [с, а]. При каждом и Е И имеем | 7„(х)ю(х) ах = 7(х)ю(х) ах < ь]]У„][с П, е11, (3.1) а с где 5 = | ю(х) < со. Из неравенства (3.1), очевидно, следует, что с 1Ц„) = У„(х)ю(х) ах — О а при и — оо.
Это означает, что и аксиома Н5 в определении системы с интегрированием в рассматриваемом случае выполняется. Функция, интегрируемая в данной системе с интегрированием, называется функцией, интегрируемой в смысле Лебега относительно веса ю. Отметим, что, в частности, можно взять (а,Ь) = ( — оо, оо) = К и ю(х) = 1. Пример 2. Определим систему с интегрированием, в которой множество М есть промежуток (а, Ь) множества К, множество функций Я, как и в предыдущем примере, есть совокупность непрерывных функций, финитных в интервале (а, 6). Напомним, что функцию г: (а,Ь) — К мы называем финитной в (а,Ь), если существует замкнутый отрезок [с, а] С (а,6) такой, что Дх) = О для х ф [с,а].
Пусть чз: (а,Ь) — К есть возрастающая функция. Функция ф является функцией ограниченной вариации на всяком промежутке [с, а] С (а, Ь), и вариация функции ф на этом промежутке равна разности ф(а) — ф(с). Пусть дана непрерывная функция ~: (а, 6) — К, финитнгя в (а,Ь). Зададим произвольно числовые последовательности 58 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных (о„)„ен и (6„)„ен такие, что при каждом и имеем а < а„< Ь„< Ь и а„- а, Ь„- 6 при и — оо. При каждом и Е г1 функция 16 будет функцией ограниченной вариации на промежутке [а„, 6„].
Полагаем ь„ 1Ц) = Х(х)Йф(х) = 1пп Дх)сЦ(х). (3.2) 6„ Ы Дх) Нф(х) = Дх) йф(х). (З.З) а„ Отсюда следует, что предел в правой части равенства (3.3) с у щ ее т в у е т. При этом значение указанного предела не зависит от выбора последовательностей (а„)„ен и (6„)„ен. Мы получаем, что 1(~) = У(х) Ыф(х), е (3 4) где промежуток [с, о] С (а, Ь) таков, что 7[х) = О при х ф [с, И]. Условия К1 и К2 в данном случае выполняются, что проверяется дословно так же, как и в предыдущем примере.
Выполнение условий НЗ и В,4 непосредственно следует из определения величины Щ), равенства (3.4) и свойств интеграла Стилтьеса, доказанных в главе 8. Докажем, что выполняется также и условие К5. Пусть (|„)„ен есть произвольная убывающая последовательность функций из Я такая, что Ях) — О для всех х Е (а, 6). Тогда при каждом и для всех х Е (а,Ь) имеем О < Ях) < Ях). Функция Л согласно определению класса Я финитна в промежутке (а, 6), т. е. найдется промежуток [с,о] С (а, 6) такой, что Л(х) = О для любого х ~ [с, Н].
Промежуток [с, Н] представляет собой компактное множество в К, и, значит, в силу тпеоремы Лини (глава 12, теорема 1.7) при р — оо функции ~„сходятся к нулю равномерно в промежутке [с, И]. При каждом и Е Х имеем (3.5) При каждом р Е И интеграл в правой части этого равенства определен и конечен, как следует из основной теоремы о существовании интлеграла Стилтьеса (глава 8, теорема З.б). Пусть 7[х) = О вне отрезка [с, Н] С (а, Ь). При достаточно больших значениях и, и > и, выполняются неравенства а„< с < Н < 6 Для таких значений и будем иметь З 3. Примеры систем с интегрированием л где Х, = ~/ 4(х) = Ф(д) — Ф(с) ( оо. Из неравенства (3.5), очевидно, слес дует, что 1~~„) = ~„(х) дф(х) — 0 при и — оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
