1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Множество всех интегрируемых функций в данной системе с интегрированием обозначается символом 1,з(М, р). 3.3. СУММА ЗНАЧЕНИЙ ФУНК ИИ НА ПРОИЗВОЛЬНОМ МНОЖЕСТВЕ КАК ИНТЕГРАЛ В З 4 главы 12 определено понятие суммы значений функции, заданной на произвольном множестве. Покажем, что указанная сумма может рассматриваться как интеграл функции в надлежагцей системе с интегрированием. Пусть М есть произвольное множество.
Для функции 1: М вЂ” К пусть тс(1) есть множество всех х е М, для которых 11х) отлично от нуля. Будем говорить, что ~ есть функция конечного типа, если множество Л(1) конечно. з 3. Примеры систем с интегрированием 69 Пусть дана функция 1: М вЂ” К, и пусть А есть конечное множество.
Сумма значений функции 1 в точках множества А далее обозначается символом Дх) или просто хЕА Формально, величина 2; 1 может быть определена следующим об- А разом. Занумеруем произвольным способом элементы множества А. Пусть х; есть элемент А с номером 1', г' = 1, 2,... и, и — число элеменп тов множества А, причем х; ф х при г ф 3'. Тогда 2,1' = 2,' 1(х;). А 1=1 В силу свойства коммутативности операции сложения чисел правая часть этого равенства не зависит от выбора нумерации элементов множества А. Пусть |: М -+ К есть функция конечного типа. Полагаем ,'1 1 = ,'> Дх) = ~ Г(х).
М хЕМ хен1У) Если А — произвольное конечное множество, содержащее множество Л(1'), то 1 = ~~> Дх). М хЕН(У) хЕА Совокупность всех функций конечного типа на множестве М обозначим символом Ж'(М). Проверим, что аксиомы системы с интегрированием выполняются для тройки (М, Я, Х), где Я = .Ж'(М), а 1 = ~ . Пусть 1 е .Ж'(М) и д Е Х(М). Тогда множества Я(1) и Я(д), а значит, и множество Е = гс(1) О Л(д) конечны и для всякого х ф Е Дх) = О и д(х) = О.
Отсюда следует, что для х ф Е выполняется равенство аДх) + Дд(х) = О, каковы бы ни были а Е К и )3 е К. Поэтому а г" + )Зд есть функция конечного типа для любых а,Р б К. При х ф Л(1') имеем 1(х) = О, и, значит, Щх)/ = О, т. е. функция Щ принадлежит классу .Ж'(М). Таким образом, аксиомы К1 и В.2 здесь выполнены. Пусть 1 Е .Ж (М) и д б .Ж'(М).
Положим Е = Л(1) 0 Л(д). Тогда (а~(х)+рд(х)1 = ~~) (аДх)+)3д(х)1 = хЕМ хЕЕ = о ~ Дх) + )3 ~ д(х) = о ~1 1(х) + )3 ) д(х), хЕЕ и тем самым доказано выполнение аксиомы КЗ. 70 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Сумма конечного числа неотрицательных слагаемых также неотрицательна. Отсюда следует, что для всякой неотрицательной функции 7" Е,Ж 1М) выполняется неравенство 2 Дх) > О, так что аксиома гс4 здесь выполняется.
зЕМ Проверим выполнение аксиомы В,5. Пусть 11'„)„ен есть убывающая последовательность функций класса е'1М) такая, что для всех т Е М выполняется 1пп 7"„1т) = О. Тогда оо при каждом х Е М имеем 0 < у',1т) < Ят) для всех и Е М. Отсюда, в частности, вытекает, что 7"„обращается в нуль вне множества Е = Гс®) при каждом и Е 1Ч и, значит, для всех ц е М выполняется равенство 2, ~„(х) = 2, 7,1т).
зЕМ зЕЕ Выполнение аксиомы К5 в силу последнего равенства непосредственно вытекает из свойств предела последовательности, установленных в главе 2. Система с интегрированием (М, ж'1М),2 ) нйзывается дискрелзм ной системой с интпеерированием, заданной на множестве М. В качестве упражнения читателю предлагается доказать, что функции г": М К интегрируема в дискретной системе с интегрированием на множестве М в том и только в том случае, если г" суммируема по множеству М в смысле определения 1 4 главы 12.
При этом интеграл функции Г' в дискретной системе с интегрированием на множестве М равен сумме значений функции на М. й 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Главная особенность теории интеграла, излагаемой здесь, — наличие удобных теорем о предельном переходе под знаком интеграла. Показывается теорема о функциональных рядах, удовлетворяющих условию: ряд, образованный 71-нормами членов этого ряда, является сходящимся.
В качестве следствия этой теоремы доказывается теорема Леви о пределе монотонной последовательности интегрируемых функций. Применяя теорему Леви, получаем теорему Фату, устанавливающую неравенства мехе ду интегралом предельной функции и нижним пределом последовательности интегралов. Одно из следствий теоремы Фату — теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. 4.1. ТЕОРЕМА О НОРМАЛЬНО СХОЛЯ ЕМСЯ РЯ Е Зададим произвольно систему с интегрированием Е = 1М, Я, Г).
Все дальнейшие рассмотрения в пределах данного параграфа относятся именно к этой системе с интегрированием. 71 з 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Как было показано выше (теорема 2.3), если две функции ~: М— К и д; М вЂ” К совпадают почти всюду в М, то !!Дьцп1 = !!д!!ьцпр Это позволяет распространить понятие Ь1-нормы на функции, определенные в М лишь почти всюду (см. выше п. 2.5.3).
Именно, пусть дана функция Дх), где Дх) определено для почти всех т Е М. Распространим функцию Дт) на все М произвольным образом, Пусть Дх)— полученное продолжение 7' на М. Величина !Ят))!ьцп1 не зависит от того, каким способом осуществлялось это продолжение, и мы полагаем !У!!ьдв1 = !йт)ЬПвр ° Лемма 4.1. Пусть Дт) есть вещественная функция, определенная в М почти всюду. Тогда если существует последовательность функций (7„)„ен такая, что каждая нз них интегрнруема и !(1 — Я(ьдп1 — О прн и — ~ оо, то функция 1 интегрируема. При этом 1(7") = 1пп 1(7"„).
3 а м е ч а н и е. Так как каждая из функций г"„определена и конечна почти всюду в М, то разность 7' — 7"„есть функция, определенная почти всюду в М. Яокаэательство леммы. Будем считать, что функции 7", 7"„, и = 1, 2,..., определены и конечны для всех т Е М. Этого всегда можно добиться, меняя, если необходимо, значения функций на множествах меры нуль. Значения интегралов рассматриваемых функций, так же как и их Ьынорм, остаются при этом неизменными. При каждом и Е И найдем функцию ~р„Е Я такую, что !!1„— ~р„!!ь, < 1 < —.
Имеем !Дх) — ~р„(т)! < /Дт) — 7„(т)! + /7„(т) — у„(т)! для всех х Е М, откуда следует, что !!У вЂ” ~ъ!!ь, < !!У вЂ” У.!!ь, + !!Х. — р.!!ь, < !!Х вЂ” 1.!!ь, + —, 1 и, значит, ()1 — ~р„!!ь, — ~ О при ц — ~ оо. Согласно определению это и означает, что функция 7' интегрируема. При каждом ц Е й1 имеем !ТУ) — 7У.)! < !7У вЂ” У.)! < !!У вЂ” У.!!ь, и, значит, 1(7"„) — ~ 1Ц) при и — оо. Лемма доказана. ° 72 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных ~о Пусть 2,' 1„есть ряд, все члены которого — функции, определени=1 ные в М почти всюду.
Будем говорить, что этот ряд является корсо мальва сходюцимся, если 2 !Щ!ь, < оо. я си ° Теорема 4.1 (теорема о нормально сходящихся рядах). Пусть 2, ~„есть нормально сходящийся ряд функций, определенных почти яьц всюду в М. Тогда для почти всех х Е М величина Ях) определена и конечна при каждом и б М и числовой ряд 2 Яя) является сходят=1 щимся. Пусть Р(х) = ! У„(х). и=1 неравенство и Š— ') У„ Тогда при каждом и Е М имеет место <,~. !!Л!!ь,. я=и+1 1 (4.1) !!Ф!!ь, < ',>,'!!Мь, < По теореме 2.3 отсюда вытекает, что множество Е" тех я Е М, для которых Ф(х) = со, есть множество меры нуль. Пусть Е = Е'0Е". При я ф Е значение Ях) определено и конечно для всех и Е г1 и Ф(я) = 2; !Ях)! < со.
Мы получаем, таким образом, что ряд 2, Ях) абсолютно сходится для почти всех х Е М. Положим «=1 Если каждая из функций 1'„интегрируема, то интегрируема также и функция Р. При этом выполняется равенство Х(Г) = 2 1Ц„). и=1 Локазательство. Пусть Е„есть множество меры нуль такое, что для всех х ф Е„значение Яя) либо не определено, либо определено и равно ~со. Положим Е' = ( ) .Е„. Тогда согласно лемме 2.10 Е' есть и=1 множество меры нуль.
Переопределим функции 1'„, полагая Ях) = 0 при х Е Е'. Значения их интегралов при этом не изменятся. Величина Щ!ь, конечна в случае, если 1„интегрируема. Для произвольного я б М положим Ф(х) = ,'> !У„(х)!. По лемме о субаддитивности 4-нормы (лемма 2.5) и=1 имеем з 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла 73 Г(х) = С 1„(х). Для произвольного и б М пусть У Я„(х) = Г(х) — ~ Л,(х) в-1 при х ф Е и Я„(х) = О, если х б Е. Тогда для любого х ~ Е, т. е.
почти всюду в М, и, значит, !111.!!ь, = ~, Л и= +з 1 Для всех х б М, очевидно, имеем !Л„(х)! < ~~> !Л,(х)1, в~~+~ и, стало быть, по лемме о субаддигоивностпи Ь|-нор ны (лемма 2.5) Тем самым доказано неравенство (4.1). Предположим, что функции 1„все интегрируемы.
Тогда при каждом и б Х сумма Г„= ~; 1ь представляет собой интегрируемую функь=1 цию. Из неравенства (4.1) следует, что 11à — Г„!1ь, -+ 0 при и — оо. Согласно лемме 4.1 отсюда вытекает, что функция Г интегрируема, причем 1(Г) = 1цп 1(Г ) = Бш ~~~ 1(~ь) = ~) 1(У ). Теорема доказана. ° Т Следствие 1. Пусть (~„)„ен есть последовательность функций, каждая из которых определена в М почти всюду.
Тогда если сумма ряда 2 111„11ь, < оо, то для почти всех х б М значение 1„(х) определспо и конечно при любом и б Х, причем ~„(х) — 0 при и — + оо. 74 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство. Тот факт, что Ях) для почти всех х Е М определено при любом ц Е М, вытекает из доказанных ранее предложений об условиях, выполняющихся почти всюду (см. п. 2.5 этой главы). Согласно теореме 4.1 для почти всех х Е М ряд ~; Ях) сходится. Для всякого х Е М, для которого это имеет место, 1„(х) — 0 при ц — со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
