1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Не предполагается, что множество А' — область определения функции ~ — содержится в А. 50 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных ° Теорема 2.3. Если функция ~: М -+ Й такова, что ее Ъ1-норма конечна, то множество тех х Е М, для которых 1(х) = ~ос, является пренебрежимым. Доказательство, Как было показано выше (следствие 4 леммы 2.5), для всякой функции 7" имеем !!Дь, = !!!Я!! .
Пусть Е есть множество всех точек т б М, для которых Щх)! = со. Требуется доказать, что множество Е является пренебрежимым. Пусть х есть индикатор множества Е. Функция Х неотрицательна, и для всякого п б Х для всех т Е М выполняется неравенство пх(х) < < !Дх)!. Следствие 2 леммы 2.5 позволяет заключить, что имеет место неравенство !!пх!!г., < !!Дь,.
В силу леммы 2.4 имеем !!пХ!!ь, = = и!!х!!ь,. Следовательно, мы получаем, что Устремляя и к оо, отсюда получаем, что !!Х!!ь, = О. Таким образом, Ь1-норма индикатора множества Е равна нулю. Согласно определению пренебрежимого множества это означает, что множество Е тех х Е М, для которых 1(ж) = ~ос, пренебрежимо. Теорема доказана. ° ° Лемма 2.0. Пусть дана функция ~: М вЂ” Й. Обозначим через Я(~) множество всех точек я Е М таких, что ~(х) ~ О. Для того чтобы функция ~ была пренебрежима, необходимо и достаточно, чтобы Я(~) было множеством меры нуль. Доказательство.
Сначала установим необходимость условия теоремы. Предположим, что функция у пренебрежима. Требуется доказать, что тогда Е = Я(г") есть множество меры нуль. Для этой цели рассмотрим последовательность (1„)„ен, в которой 1„= ф для всех и б М. Пля всех в Е М имеет место неравенство !Хк(т)! — Хе® < ~ Уи(в) Действительно, если х ф Е, то 1„(х) = 0 для всех и б И. В этом случае Хн(х) = 0 и сумма в правой части (2.17) также равна нулю, так что неравенство (2.17) верно. Если же х Е Е, то все слагаемые в правой части (2.17) равны одному и тому же положительному числу и, значит, сумма равна оо.
В этом случае Хн(х) = 1 и, стало быть, неравенство (2.17) также выполняется. В силу леммы 2.5 из доказанного следует, что З 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 51 ибо !!Л !!г. = !!Дь, = О для всех и. Отсюда получаем, что !!хн!!т., = О и, следовательно, множество Е = Я(1) пренебрежимо. Необходимость условия леммы установлена.
Докажем достаточность условия леммы. Предположим, что функция 1: М вЂ” ~ Й такова, что Я(~) есть множество меры нуль. Положим ЯЦ) = Е и рассмотрим последовательность функций (~„)„ен, в которой Х„= хн для всех и б М. Докажем, что для всех в б М выполняется неравенство Щх)! < ~~> 1„(ж). (2.18) и, значит, !Яь, — — О, т. е.
функция 1 пренебрежима. Лемма доказана. ° Т Следствие 1. Пусть ~: М -+ К вЂ” две произвольные функции. Тогда если 1(х) = д(в) для почти всех в б М, то Ъ|-нормы этих функций совпадают. Доказательство. Следствие 3 леммы 2.5 позволяет заключить, что для всякой функции !!Дь, = !)Щ!! и !!д!!т., —— !!!д!!! . Пусть Е есть множество тех в е М, для которых 1(в) ~ д(в). Согласно условию доказываемого предложения множество Е пренебрежимо. Введем функцию а: М- Й, полагая н(в) = оо при я Е Е но(х) = О в противном случае.
Тогда для всех ж Е М имеют место неравенства !Дх)! < !д(х)!+ <т(в), !д(х)! < !1(в)!+ н(в). Действительно, если я ф Е, то е(х) = О и правая и левая части данных неравенств равны одному и тому же числу. Если же в б Е, то правая часть каждого из этих неравенств равна оо, откуда следует, что и для таких в неравенства верны. Следствие 1 леммы 2.5 позволяет заключить, что имеют место не- равенства !!Щ!! < !!!д!!! + !!ст!!ь, и !!!д!!! < !!!Я!! + !!т!!ь,.
Для в ф Е неравенство (2.18) выполняется, потому что в этом случае левая часть неравенства равна нулю, а правая часть неотрицательна. Если же х б Е, то правая часть неравенства (2.18) равна оо, откуда ясно, что и в этом случае неравенство (2.18) верно. На основании леммы 2.5 из доказанного следует, что 52 Гл.
13. Интегральное исчисление функций многих переменных В силу леммы 2.9 величина Оо))ь, = О. Следовательно, мы получаем, что ))Щ(! < (((д~~( и одновременно ~~(д))) < ))Щ)! и, значит, ))(Д(( = ()(д((( . Следствие 1 доказано. Т Т Следствие 2.
Пусть функции 1: М вЂ” ~ И и д: М -+ К таковы, что 1(х) = д(х) для почти всех х б М. Тогда если одна из данных функций 1" н д интегрируема, то интегрируема также и другая, причем значения их интегралов совпадают, 1(~) = 1(д). Доказательство. Простоты ради будем считать, что интегрируема функция 1.
Пусть Е есть множество тех х Е М, для которых 1(х) ф д(х). Из условий следствия вытекает, что множество Е пренебрежимо. Согласно определению интегрируемой функции найдется последовательность (~р„)„ещ функций класса Я такая, что ()У вЂ” ~р„~)ь, — О при ц -+ оо. Функция у„всюду конечна. При каждом х ф Е имеем 1(х) — у„(х) = д(х) — у„(х). Таким образом, мы получаем, что функции 1 — у„ и д — у„ почти всюду совпадают. Следствие 1 леммы 2.9 позволяет заключить, что )(1 — ~р„()ь, = )(д — ~р„)(ь,. Отсюда вытекает, что цд — у„'Оь, — О при и — оо. Следовательно, функция д интегрируема.
При этом имеет место равенство 1(д) = 1пп 1(~р„) = 1Ц). Следствие 2 доказано. Т 2.5.2. Установим дальнейшие свойства пренебрежимых функций и множеств. ° Лемма 2.10. Если множество Е С М пренебрежимо, то любое множество Н С Е также является пренебрежимым. Для всякой последовательности (Е„)„ен множеств меры нуль их объединение () Е„ и=1 также представляет собой множество меры нуль.
Доказательство. Лемма содержит два утверждения. Докажем их последовательно. Предположим, что множество Е пренебрежимо и Н С Е. Тогда для всех х б М выполняется неравенство Хн(х) < Хк(х). Функции Хк и Хн неотрицательны, и следствие 2 леммы 2.5 позволяет заключить, что ~)Хн~)ь„< (~ХкЬ, = О и, значит, )(Хн!)ь, = О, т. е. множество Н пренебрежимо. Первое утверждение леммы доказано. Пусть (Е„)„ещ есть произвольная последовательность множеств меры нуль и Е = () .Е„. Тогда согласно лемме 1.1 для всех х Е М и=1 имеет место неравенство з 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 53 В силу леммы 2.5 отсюда ввиду неотрицательности функций хн и Хн„вытекает, что имеет место неравенство (2.19) Так как множества Е„, по условию, все пренебрежимы, то каждое слагаемое в правой части равенства (2.19) равно нулю и, значит, вся сумма равна нулю.
Отсюда вытекает, что !!хн!!ь, = О, т. е. множество Е пренебрежимо. Лемма доказана. ° Следствие 1. Объединение не более чем счетного семейства пренебрежимых множеств есть пренебрежимое множество. Действительно, пусть (Е~)~ет есть некоторое семейство подмножеств М, каждое из которых пренебрежимо, причем множество Т значений индекса 1 не более чем счетно. Занумеруем множество Т, и пусть |„есть элемент с номером и. Положим Е„= Е „. Если множество Т конечно, и — число его элементов, то полагаем Е„= Я при и > и.
Имеем, очевидно, ЦЕ„= ЦЕ,. и=1 1ет В силу леммы 2.10 отсюда вытекает, что множество !.) Е~ пренебре- жимо. Следствие 1 доказано. Т Следствие 2. Всякое не более чем счетное подмножество простраяства К" лренебрехсимо в евклидовой системе с интегрированием. Действительно, как было показано выше, одноточечное множество в К" в евклидовой системе с интегрированием пренебрежимо, откуда в силу следствия 1 вытекает справедливость утверждения следствия 2. ° Лемма 2.11 (лемма об условиях, выполняющихся почти всюду). Пусть А С К. Предположим, что задано не более чем счетное семейство условий (Р~(х))~ет, каждое из которых выполняется в А для почти всех х б А, т.
е. лри каждом 1 б Т множество Е~ тех т б А, для которых условие Р~(х) выполняется, является множеством меры нуль. Тогда почти всюду в М выполняются все условия Р~(х) одновременно, т. е. множество тех х б М, которые не удовлетворяют хотя бы одному из условий Р~(х), пренебрежимо. 54 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство. Занумеруем элементы множества Т, и пусть Е, есть множество тех х б М, для которых не выполняется условие Р,(э). Каждое из множеств Е, пренебрежимо.
Пусть Е есть объединение множеств Е,. Согласно следствию 1 леммы 2.10 объединение не более чем счетного семейства пренебрежимых множеств является пренебрежимым множеством и, значит, множество Е пренебрежимо. Предположим, что х ф Е. Возьмем произвольно 1 Е Т, Пусть Е, есть множество тех э, для которых условие Р1(х) не выполняется. Множество Е~ содержится в Е. Так как х ф Е, то х ф Е,, и, значит, условие Р1(х) для данного ж выполняется.
Поскольку 1 Е Т было взято произвольно, то мы получаем, что если х ~ Е, то э удовлетворяет каждому из условий Р~(ж). Лемма доказана. ° 2.5.3. Следствие 1 леммы 2.9 позволяет заключить, что значение Ьпнормы функции не меняется, если произвольным образом изменить значения функции на множестве меры нуль. Как показывает следствие 2 той же леммы, свойство функции быть интегрируемой не утрачивается и значение ее интеграла не меняется, если изменить значения функции на пренебрежимом множестве. Понятие Ь1-нормы и свойство функции быть интегрируемой может быть определено для случая, когда рассматривается функция, определеннал на множестве М лишь почщи всюду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
