1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 5
Текст из файла (страница 5)
ОПРЕ ЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СТУПЕНЧАТЫХ Фунллий Функция ~: К" — К называется стуоенчатной, если она может быть представлена как линейная комбинация индикаторов двоичных 22 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных кубое в пространстве К", т. е. ~(э) = ~ й;х,. (х), где аы аз,..., а,— «=1 двоичные кубы в пространстве К". Из определения ступенчатой функции непосредственно следует, что линейная комбинация двух ступенчатых функций снова есть ступенчатая функция и, значит, множество всех ступенчатых функций в пространстве К" является векторным пространством.
Это пространство будем обозначать символом .У(К"). ф Предложение 1.З. Всякая ступенчатая функция может быть представлена как линейная комбинация индикаторов попарно непересекающихся двоичных кубов в К". Действительно, пусть 1: К" — К есть ступенчатая функция (1.11) а< х; = Ехв„ д=з (1.12) Индикатор каждого из кубов а;, таким образом, есть сумма индикаторов двоичных кубов ранга г. Подставляя представления функций х,.(т) по формуле (1.12) в равенство (1.11), после приведения подобных членов получим представление 1(х) в виде линейной комбинации индикаторов двоичных кубов, имеющих один и тот же ранг, а именно, ранг, равный г. Полученное представление и есть требуемое.
ф ° Лемма 1.З. Пусть 1" есть ступенчатая функция в К", (1.13) Предположим, что двоичные кубы а;, указанные в правой части по- следнего равенства, попарно не имеют общих элементов. Тогда (1.14) Если функция 1 пеотрнцательпа, то все коэффициенты и; в предста- влении (1.13) функции 1' неотрицательны. Пусть г есть наибольший из рангов кубов си в этом равенстве. Тогда согласно предложению П„предыдущего раздела каждый из кубов си может быть разбит на конечное число попарно непересекающихся двоичных кубов ранга г.
Если а; = ( ) Д, есть такое разбиение куба а;, то согласно лемме 1.1 имеет место равенство З 1. Интегрирование ступенчатых функций Яоказательство. Пусть 1 есть ступенчатая функция и и;уа( — ее представление вида, указанного в формулировке лем;=1 мы. Положим 1 = 2 ]и;]р~,. Возьмем произвольно точку х Е а;. (=1 При 1 ~ 1 выполняется равенство у,.(х) = О, откуда следует, что для данного х выполняется Г"(х) = и; и Ях) = ]и;] = Щх)] и, значит, Щх)[ = 1(х) в каждой точке х, принадлежащей хотя бы одному из двоичных кубов (з;, 1 = 1, 2,..., т. Если х не принадлежит ни одному из кубов а;, то 1(х) = О и Дх) = О, так что и в этом случае Г(х) = ]Дх)].
Равенство (1.14), таким образом, доказано. При каждом г, как мы показали, Дх) = и; для всех х Е (з;. Отсюда следует, что если Г(х) > О для всех х Е К", то и; > О при любом 1 = 1, 2,..., т. Лемма доказана. ° 1.4. ОПРЕПЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА СТУПЕНЧАТОЙ ФУНК ИИ 1.4.1. Всякой функции 1 Е Я(К") может быть сопоставлено некоторое число, называемое интеералом функции | по К", которое обозначим символом Дх) ах. и" В случае н = 1 функция 1 имеет конечное число точек разрыва, ограничена и обращается в нуль в н е некоторого ограниченного промежутка в К.
Отсюда следует, что функция ~ интегрируема по замкнутому промежутку [ — оо, оо]. Предположим, что функция 1 выражается формулой (1.15) где (з., 1 = 1, 2,..., т, есть двоичные полуинтервалы в К. Тогда имеет место равенство Пля н = 1 полагаем 24 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Пусть (1.17) есть ступенчатая функция в пространстве К". По аналогии со случаем п = 1 естественно определить интеграл функции 7" по пространству К" как сумму и р„(о ). 1=1 (1.18) Дх) ах = ~) ияр„(а ).
Ж" | 1=1 (1.19) Эти условия, в силу сказанного выше, выполнены в случае, когда п = 1. Оп е елим понятие интег ала ля ст пенчатой нк ии в К"+1. Будем понимать пространство К"+1 как прямое произведение К" х К, отождествляя произвольную точку х = (х~ хь .. >ха ха+1) Е К а+1 и пару (у, х), где у есть точка (хм хз,...,х„) пространства К", а г = = х„+1. Пусть | есть ступенчатая функция в К"+1, Корректность такого определения, однако, требует обоснования. Ступенчатая функция может быть представлена как линейная комбинация индикаторов двоичных кубов разными способами.
Чтобы определение интеграла как суммы вида (1.18) было корреигпным, следовало бы показать, что значение этой суммы н е з а в и с и т от выбора представления ступенчатой функции 7" по формуле (1.15). Однако мы поступим несколько иначе: интеграл ступенчатой функции в К" определим индукцией по п. После этого будет доказано, что сумма (1.18) равна интегралу в смысле принятого определения. Предположим, что для всякой ступенчатой функции ~ Е Я'(К") определена величина 1 Дх) ах, причем если функция 1 задается фори" мулой (1.15), то справедливо равенство з 1. Интегрирование ступенчатых функций 25 УЬ я) = Е изХР;Ь)Х";(я) 1=1 является ступенчатой функцией в К и, значит, определен интеграл |Ь,я) йя = ',~,нзр1Ь;)Хя,Ь).
н | 1=1 (1.20) Функция Р(у), определенная равенством Р(у) = | Ду,я) оз для и любого у Е К", как видно из равенства (1.20), является стпупенчагпой, и, значит, в силу предположения индукции, определен интеграл Полагаем Пт) 1т = ~Ь) 1у и, таким образом, понятие интеграла определено для ступенчатых функций в К"+'. Так как согласно индукционному допущению для ступенчатых функций в К" верно равенство (1.19), то Заметим,что р1(ч )з„Щ = р„+1(а ) при каждом у = 1,2,...,т, откуда получаем, что Д т) от = ~~) Цр„+1(а -). н" +1 Каждый п + 1-мерный куб а будем рассматривать как прямое произведение р х т., где Д есть и-мерный куб в К", у — полуинтервал в множестве К.
Лля т = (у,г) Е К"+1, очевидно, имеем Х,.(у,я) = = хВ,Ь)хт;(з) Действительно, правая часть этого равенства может принимать только два значения". 0 и 1. Она равна единице в том и только в том случае, если Хв,.(У) = 1 и Х,,(г) = 1, т. е. У Е 13 и я Е 'у . Иначе говоря, если т = (у,з) Е а,. Следовательно, мы получаем, что при фиксированном значении у функция 26 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 1(х)»»х = »» иур„(а .). н | 1=1 1.4.2. Отметим некото ые с в о й с т в а интег ала непос е ственно вытекаю ие из оп е еления. ° Теорема 1.1 (о линейности интеграла). Для любых двух ступенчатых функций |',д Е Я(К") и любых чисел Л и р имеет место равенство и" 1,' оьу»»,, где ь=1 К, иыиз,...,и„ Доказательство.
Пусть У = ~, и1Х, и д 1 си аз аг,,о А А, „8, — двоичные кубы в ом оз,..., о, — вещественные числа. Тогда имеем Л1 + рд = ,'» Лизк, з +,,'», риьке,. В силу равенства (1.19) имеем | [Л1(х)+ рд(х)) йх = Л ~» и»р„(о») + р ~ игр (|дь), ь=» Ж" и, значит, | [Л1(х) + рд(х)) Нх = Л Я(х) Йх + р д(х) сЬ, Ж" Ж" что и требовалось доказать.
° ° Теорема 1.2. Если ступенчатая функция |: К" -~ К неотрицательна, то 1' 1(х) ох > О. Ж" Таким образом, формула (1.19) верна также и для ступенчатых функций в К"+». Итак, всякой ступенчатой функции 1 Е .х'(К") сопоставлено вещественное число | Дх)сЬ, которое мы назовем июпегралом фун»с- Ж" ции | по пространству К". При этом если функция 1 представима в виде (1.15), то имеет место равенство З 1. Интегрирование ступенчатых функций 27 ллоказательство. Пусть ~ есть ступенчатая функция в К".
Тогда согласно лемме 1.1 г" может быть представлена в виде где двоичные кубы ам аз,...,а попарно не пересекаются. Согласно лемме 1.3 коэффициенты и; в этом представлении ступенчатой функции ~ неотрицательны. Отсюда | У(я) бх = ~> и;,и„(а;) > О. и" >=3 Теорема доказана. ° 1.4.3. Установим некото ю о е н к интег ала ст пенчатой нк- ии полезн ю ля альнейшего. Напомним, что и-мерным сегментом называется всякий и-мерный прямоугольник вида Р = [ам 6>] х [аз>Ьз] х ° ° ° х [а„,Ь„]. (1.21) (Все множители справа являются замкнутыми отрезками в К.) Для п-мерного сегмента Р полагаем п р„(Р) = П(Ьь — оь) я=1 Величина р„(Р) называется мерой или объемом и-мерного сегмента Р. ° Лемма 1.4.
Если ступенчатая функция 1' обрагцается в нуль вне и-мерного сегмента Р, определенного равенством (1.21), и Щя)] < Ь для всех х й К", то справедлива оценка Локаэательство. Будем доказывать лемму индукцией по и. Для и = 1 лемма следует из свойств интеграла функций одной переменной, доказанных ранее. Предположим, что для некоторого и лемма доказана. Покажем, что в этом случае утверждение леммы верно также и для ступенчатых функций в К"+1.
28 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Пусть Р есть (о+ 1)-мерный сегмент, 1": К"+~ — К вЂ” ступенчатая функция, обращающаяся в нуль вне Р. Пространство К"+' будем рассматривать как прямое произведение К" х К и в соответствии с этим сегмент Р будем понимать как произведение Ч х Л, где Ч есть и-мерный сегмент ч = [а~, 6~] х [аз, Ьз] х . х [а„, Ь„], Л = [а„~~, Ь+~]. Имеем где ь„+, г'(у) = 1(у, г) Иг. Ов+1 [Г(у)] < ЦБ„~~ — а„.~~).
Функция г (у) обращается в нуль вне и-мерного сегмента Ч. В силу индукционного предположения отсюда вытекает, что Р(у) йу < ЦЬ .~~ — а„.~~)р„(Я) = йр„~~(Р), что и требовалось доказать. ° 1.5. ТЕОРЕМА О ПРЕ ЕЛЬНОМ ПЕРЕХО Е Теорема, которая будет доказана ниже, играет существенную роль при построении теории интеграла. Основная трудность в ее доказательстве относится к случаю функций одной переменной. ° Теорема 1.о. Пусть (~„)„ен есть убываюшал последовательность функций, определенных на отрезке [а,Ь] С К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
