1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Интеграл ступенчатой функции З ло пространю ству К~ равен сумме 2 1;р„(Я;), где Я;, 1= 1,2,...,т, есть попарно непе1=з ресекаюшиеся кубы, на которых функция 1' постоянна, Д вЂ” значение, принимаемое функцией 1 на кубе Я;. Устанавливаются основные свойства ступенчатых функций и их интегралов. Наиболее существенным из них является свойство интеграла, связанное с предельным переходом под знаком интеграла, выражаемое теоремой 1.4. 1.1. Вспомоглткльнык свкпкния Зададим произвольно непустое множество М.
Пусть даны функции 1: М вЂ” ~ К, д: М - К и множество А с М. Будем говорить, что 1 > д на множестве А или (то же самое) что д < 1 на А, если Дх) > д(х) для любого х Е А. Если А совпадает с М, то в соглашениях, которые были сейчас введены, оно не указывается, так что запись 1 > д означает, что Дх) > д(х) для всех х Е М. Последовательность функций (1„: М вЂ” К)„ен называется возрастающей, если при каждом и е М выполняется неравенство 1„< 1„+1. Если пРи кажДом и Е М имеет место неРавенство 1"„> 1 +м то бУДем говорить, что Ц„)„ен есть убывающая последовательность. Последовательность функций (1„: М вЂ” К)„ен называется монотонной, если она либо возрастающая, либо убывающая.
Пусть (Л,: М вЂ” К) вн есть последовательность функций, поточечно сходящаяся на множестве М к функции 1: М вЂ” К, т. е. 1(х) = 1пп 1„(х) для любого х е М. Будем говорить, что последовательность (г„)„ен сходится к функции 1 снизу, и писать Х. ~' У з 1. Интегрирование ступенчатых функций при ц — со, если она возрастающая. Если же последовательность (1„)„ен убывающая, то будем говорить, что данная последовательность сходится к функции 1" сверху. В этом случае будем писать 1„'„1 при Пусть у Е К есть произвольное вещественное число. Тогда определены числа у+ и у — положительная и соответственно отрицательная части у. Напомним, что согласно определению, данному в главе 1, это означает, что: у+ = у в случае у > О; у+ = О, если у < О; у = О, когда у > О; у = — у, если у < О.
Для всякого у Е К имеем у+ > О и у > О. Очевидно, у+ = щах(у,О), у = щах( — у,О). Пусть у е К. Рассмотрим величины у+ — у и у+ + у Данные выражения имеют смысл при любом у Е К в силу того, что у+ и у не могут принимать значение со одновременно. Если у > О, то у+ = у, у = О и, значит, у+ — у = у, у+ + у = у. Если у < О, то у+ = О, у = — у, откуда видно, что в этом случае у+ — у = Π— ( — у) = у, у +у = у Из сказанного следует, что для любого у е К у+ — у = у, у++у = Ь~. Если у конечно, то величины у+ и у, очевидно, могут быть выражены через у и (у). А именно, для всякого у е К имеем 2 + Ь! + у Ь! — у Функции у ~ у+ и у ~ у обладают одним важным свойством: эти функции монотонные, у ~-~ у+ есть неубывающая функция, у ~ у — невозрастающая функция на множестве К.
Данное свойство функций у у+ и у у является п р и ч и н о й введения этих функций, в чем, как может показаться, нет необходимости, поскольку они выражаются через у и ~у~. Графики данных функций представлены на рис. 1. 14 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Пусть даны множество М и функция 1: М вЂ” К. Символы 1+, 1 и Щ далее обозначают функции, получаемые из функции 1 следующим образом: для всех х Е М 1~(х) = [1[х)]+, 1 (х) = [1[х)], ]Я(х) = [1[х)[. Функция 1'+ называется положительной частью функции, функция 1 — отрицательной частью функции 1. Пусть дано множество А С М.
Символ Хл обозначает функцию, областью определения которой является множество М и которая задается следующим образом: ['1, если хЕА, Хл(х) = ~ 1, О, если х~А. Функция Хл называется индикатором или характеристической функцией множества А в множестве М. Из определения индикатора множества очевидным образом вытекают следующие два утверждения.
ь Предложение 1.1. Если А = М, то индикатор множества А есть функция, тождественно равная единице. я ° Лемма 1.1. Пустьданыпроизвольныемножества АС Ми В С М. Тогда включение А С В имеет место в том и только в том случае, если выполняется неравенство Хл < Хв. Пусть даны множества А С М, А С М, и = 1,2,.... Тогда если А = Ц А„, то для всех х Е М имеет место неравенство ч=1 ХА(х) <,У ХА„(х). (1.2) При этом если множества А„попарно не пересекаются, т. е. для любых иынз Е п таких, что н~ ~ из, множества А„, и А„, не имеют общих элементов, то имеет место равенство ХА(Х),г~ ХА (х) (1.3) ч=1 для всех х е М.
ф Предложение 1.2. Функция, тождественно равная нулю, является индикатором пустого множества. я Применение понятия индикатора позволяет свести исследование соотношений между множествами к изучению связей между их индикаторами. Докажем предложение, иллюстрирующее это утверждение. 3 1. Интегрирование ступенчатых функций 15 Если множества Аы Аз,..., А попарно не пересекаются, то Хя(х) = ~~~~, Хя„(х) и=1 (1.5) для всех х б М. Панное утверждение вытекает из леммы 1.1, если применить ее к последовательности множеств (А„с М)„-ц, где А1, Аз,..., А данные множества, а при и > т множество А„пусто.
1' Доказательство. Пусть даны множества А С М и В С М. Предположим, что А С В. Возьмем произвольно точку х б М. Если х ф А, то Х,~(х) = О < Хв(х). Если же х Е А, то Хя(х) = 1. Так как А С В, то х е В и, значит, Хв(х) = 1. Поэтому в этом случае также выполняется неравенство Хя(х) < Хв(х). Итак, доказано, что если А С В, то Хя < Хв. Предположим, что, обратно, Хя < Хв. Возьмем произвольно точку х Е А. Тогда Хя(х) = 1 Хя(х) < Хв(х). Так как Хв(х) может принимать только два значения: О и 1, то для данного х также и Хв(х) = 1, т. е. х б В.
Таким образом, (х Е А) =и (х Е В), т. е. А С В. Первое утверждение леммы доказано. Пусть даны множества (А„С М), и = 1,2,..., и пусть А есть их объединение. Требуется доказать, что для всех х Е М выполняется неравенство (1.2). Если х ф А, то Хя(х) = О. Так как все слагаемые в правой части неравенства (1.2) неотрицательны, то в данном случае неравенство верно. Пусть х б А. Тогда найдется ио такое, что х Е Аес Имеем Хя (х) = 1. Таким образом, по крайней мере одно слагаемое в сумме, стоящей в (1.2) справа, равно единице. Так как все остальные слагаемые неотрицательны, это позволяет заключить, что и в этом случае неравенство (1.2) выполняется.
Предположим теперь, что множества А„попарно не пересекаются. Если х ~ А, то Хя(х) = О и х ~ А„, Хя (х) = О для всех и, и в этом случае равенство (1.3) выполняется. Предположим, что х Е А. Тогда найдется номер ио такой, что х б А„,. Так как множества А„попарно не пересекаются, то х ф А„при и у~ ио. Отсюда следует, что Хя„,(х) = 1 и Хя (х) = О при и ~ ио. Таким образом, в данном случае одйо слагаемое в сумме, стоящей в (1.3) справа, равно единице, а остальные равны нулю.
Значит, в этом случае сумма равна 1 = Хя(х). Тем самым установлено, что равенство (1.3) выполняется для всех х б М. Лемма доказана. ° Следствие. Пусть даны множества А„С М, и = 1,2,...,т. т Пусть А = Ц А„. Тогда для всех х Е М имеет место неравенство и=1 Хя(х) < ~~Хя.(х). (1А) г =1 16 Гл. 13. Интегральное исчисление функпнй многих переменных 1.2. воичнок по рлздклкник прострАногвл К" 1.2.1. Напомним, что множество а в пространстве К" называется и-мерным прямоугольником, если о = (а1,61) х (аз,61) х х (ап,Ьп), (1.6) т. е.
а есть совокупность всех точек х = (х1,хз,...,хп) Е К" таких, что х, Е (а;,6;) при каждом 1' = 1,2,...,и. Числа 11 — — 61 — а1, 11 — — Ьз — аз,..., 1п пп Ьп — ап называются длинами ребер и-мерного пряМОуГОЛЬННКа а. БудЕМ ГОВОрИтЬ, Чта а ЕСТЬ Куб, ЕСЛИ 11 — — 11 — — . = 1п. Число рп(о) — 1112 1п (1.7) называется мерой или обьемол и-мерного прямоугольника а. Оказывается добным иметь дело с п яме гольниками некото ого спе иального в а кото ый ассмот им ниже. Прямоугольник а в пространстве К" называется полуоткрытым и-мерныл прямоугольником или п-лернын брусом, если о = [а1,6,) х [аг,61) х .
х [ап,Ьп). Пустое множество также будем считать и-мерным брусолс Если а = О, то полагаем рп(о) = О. В дальнейшем индекс и в обозначении для меры и-мерного бруса, так же как и слово «и-мерный» применительно к брусу, будут опускаться каждый раз, когда это не ведет к недоразумению. В случае п = 1 брус есть не что иное, как полуинтервал вида [а, Ь). В данном случае мера бруса равна длине этого лолуннтервала.
В случае и = 2 всякий брус в пространстве Кз изображается в декартовой ортогональной системе координат на плоскости прял1оугольником (см. рис. 2) и мера бруса равна плошади этого прямоугольника. Рис. г' 17 З 1. Интегрирование ступенчатых функций Аналогично, трехмерный брус (и = 3) изображается в декартовой ортогональной системе в пространстве трехмерным параллелепипедом, объем которого равен мере данного бруса. В силу сказанного ясно, что мера бруса в К" может рассматриваться как а н а л о г понятий площади прямоуеольнина или объема трехмерноео параллелепипеда. Ступенчатая функция обычно определяется как функция, которая является линейной комбинацией индикаторов и-мерных брусов. Если, однако, в этом определении брать произвольные и-мерные брусы, то возникают определенные трудности «технического характера».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
