1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Расс ждения п ощаются если ассмат ивать б сы некото ого спе иального ви а. Отрезок о = [а,Ь) С К называется двоичным полуинтервалом, х к+1 если а = —, Ь = , где числа х и г целые. Число т называется 2ь' 2с ранеом двоичного полуинтервала х к+1 Будем говорить, что п-мерный, брус о = [аыЬ,) х [аз,Ьз) х . х [а„,Ь„) является двоичным кубом ранга г, если при каждом г' = 1,2,..., и от- резок [а;, Ь;) есть двоичный полуинтервал ранга т, так что й; х; + 1 а;= — ', 6;= 2г 2г для всех 1 = 1,2,...,и, где числа х;, 1 = 1,2,...,и, целые.

1.2.2. Установим некото ые с в о й с т в а воичных пол инте ва- лов в п ост анстве К. А) Пусть о и Д есть двоичные полуинтервалы в К, г есть ранг а, в — ранг 9. Тогда если а и Д имеют общие точки и т < в, то а Э 13. Лействительно,пусть и пусть х — какая-либо общая точка данных полуинтервалов. Тогда имеем 7с к+1 1 1+1 — <х< — < х < —. 2с — 2г ' 2л — 2з 18 Гл. 13.

Интегральное исчисление функций многих переменных Умножая эти неравенства почленно на 2', получим к2' " < 2'х < (к+ 1)2' ', 1 < 2'т < 1+ 1. (1.8) Отсюда следует, что 1+ 1 ) /с2' '. Так как 1+ 1 и /с2' ' есть целые числа, то, следовательно, Й2' ' < (1+ 1) — 1 = 1. Далее, из неравенств (1.8) вытекает, что 1 < (1с + 1)2' '. Так как левая и правая части этого неравенства есть целые числа, то, значит, 1+ 1 < (/с + 1)2' '. Из доказанных неравенств следует, что й 1 1+1 /с+1 — « — < 2т — 2з 2з — ~т что и доказывает включение а З 13.

В) Пусть а и 11 — произвольные двоичные полуинтервалы в К. Тогда либо а и б не имеют общих точек, либо один из них содержится в другом. Если а и б имеют общие точки и их ранги равны, то эти полуинтервалы совпадают. Данное предложение представляет собой очевидное следствие предложения А. С) Всякая точка т Е К принадлежит по крайней мере одному (и, как следует из предложения В, в точности одному) двоичному полуинтервалу ранга т при любом целом т. Действительно, для всякого у б К существует целое число к такое, что к < у < й + 1.

Пусть дано т Е У. к 1+1 Найдем и Е Е такое, что й < т2" < й+ 1. Тогда — < т < 2' 2т и требуемый полуинтервал построен. П) Если о = [а, Ь) есть двоичный полуинтервал ранга т и с = а+Ь , то отрезки б = [а, с) и у = [с, Ь) представляют собой двоичные полуинтервалы ранга т + 1. Очевидно, 11 П ч = И, б О ч = а. Пусть т — произвольное целое число.

Тогда согласно предложению В любые два различных полуинтервала ранга г не имеют общих точек. В силу предложения С всякая точка л б К принадлежит по крайней мере одному двоичному полуинтервалу ранга г. Таким образом, при каждом г Е У определено некоторое множество попарно непересекающихся полуинтервалов, объединение которых совпадает с К. При этом длина каждого из построенных полуинтервалов равна 2 '. Будем говорить, что указанные полуинтервалы образуют двоичное разбиение (или двоичное подразделение) ранга т множества К. Двоичное разбиение ранга 0 множества К образовано полуинтервалами [О, 1),[-1, 0),[1, 2),[-2, -1),...,[п,п + 1),[-п — 1, -и),....

(1.9) ~ 1. Интегрирование ступенчатых функций 19 Разделив каждый из них пополам, как описано в предложении 1), получим двоичное разбиение ранга 1. Деля пополам полуинтервалы этого разбиения, получим двоичное разбиение ранга 2 и т. д. Определением допускаются как положительные, так и отрицательные значения ранга т двоичного разбиения. Очевидно, двоичное разбиение ранга — 1 получается объединением некоторых пар полуинтервалов (1.9). 1.2.3. Оп елим понятие воичного гзбиения п ест анства К" ля п оизвольного и. Отметим некото ые с в о й с т в а воичных к бов. А„) Если двоичные кубы а и 9 в пространстве К" имеют общую точку и ранг а не превосходит ранга р', то выполняется включение а Э р'.

Действительно, пусть а = [амЬз) х [аз,Ьз) х х [а„,Ь„), 13 = [сз, дз) х [сз, дз) х . х [с„, д„), а х = (хмхз,...,х„) есть общая точка полуинтервалов а и,9. Рана двоичного куба а обозначим символом т. Пусть в есть ранг Д, т < в. При каждом з' = 1,2,..., п имеем х; Е [а;,Ь;), х; Е [с;, 4). Промежутки [а;, Ь;) и [с;, д;) суть двоичные полуинтервалы, ранги которых равны т и в соответственно.

Они имеют, таким образом, общие точки при всяком з' = 1,2,...,и. Значит, в силу предложения А [а;,Ь;) Э [с;,4) при каждом 1 = 1,2,...,и. Отсюда, очевидно, следует, что а Э,б, что и требовалось доказать. Из предложения А„вытекает следующее утверждение. В„) Пусть а и 11 — два произвольных двоичных куба в пространстве К". Тогда либо а и р" не имеют общих точек, либо один из них содержится в другом. Если двоичные кубы а и б имеют хотя бы одну общую точку и их ранги равны, то они совпадают. С„) Всякая точка х б К" принадлежит по крайней мере одному (и в силу предложения В„в точности одному) двоичному кубу ранга т при всяком целом т. Действительно, пусть х = (хыхз,...,х„).

Обозначим через а; двоичный полуинтервал ранга т такой, что х; Е а;. Пусть а=аз хазх' ха Тогда а есть двоичный куб ранга т и даннгл точка х принадлежит а. 0„) Всякий и-мерный двоичный куб а ранга т является объединением 2" двоичных кубов ранга т + 1. Действительно, пусть а = = аз х аз х ... х а„, где а; — двоичные полуинтервалы ранга т. Для 20 Гл. 13.

Интегральное исчисление функций многих переменных а; + Ь; каждого г = 1,2,...,и имеем ««« = [а;,Ь,). Положим с; = ' '. Пусть 2 оо« = [а;, с;), ««з = [с;, Ь;), г = 1, 2,..., и. Всевозможные произведения с«и х с«т~ х .. и от г ''' а где каждый из индексов т; равен нулю или единице, представляют собой двоичные кубы ранга т+1, содержащиеся в ««. Всякая точка х Е ««обязательно попадает в один из них. В самом деле, пусть х = (хм хз,...,х„). Тогда х; Е ««; при каждом 3 = 1, 2,..., и. Так как ««; = оо 0 ««1, то, значит, х; принадлежит одному из полуинтервалов «««, «««. о Положим о; = О, если х, Е «««, и и; = 1, если х; Е ««,'.

Очевидно, х Е ««,' х «« ' х х «« ". Таким образом, установлено, что всякая точка х б ««принадлежит по крайней мере одному из построенных выше двоичных кубов. Из предложения «.«„индукцией по ти легко выводится, что всякий двоичный куб ранга т является объединением 2а™ двоичных кубов ранга т+ т.

Назовем число х Е К двоична рациональным, если оно может быть представлено в виде х = †, где т и т — целые числа. Всякое целое 2т' число, очевидно, является двоична рациональным. Е„) Пусть «т = [оы бз) х [««з,33з) х . х [««„„3„) есть произвольный и-мерный куб. Тогда если числа ««3, 333, 3 = 1,2,...,и, двоично рациональные, то куб о может быть представлен как объединение конечного числа попарно непересекающихся двоичных кубов ранга т для некоторого целого т.

Действительно, каждое из чисел «« и 333, 3 = 1,2,...,и, в силу условия может быть представлено в виде дроби, числитель которой есть некоторое целое число, а знаменатель — некоторая степень числа 2, Р3 % Приводя эти дроби к общему знаменателю, получим «« = — ', 333 = —, где числа р, и д целые, р, ( «3,, и т — одно и то же для всех 3.

Пусть та = о3 — р . Полагаем р3 р3 + 1 р.+1 р +2 з 1. Интегрирование ступенчатых функций 21 Всевозможные произведения (1.10) «ттй,хоай,х хо„й ы где 1 < й < т при всяком у' = 1, 2,..., и, представляют собой двоичные кубы ранга т. Каждый из них содержится в и-мерном прямоугольнике «т, и любая точка х Е о принадлежит одному из кубов, определенных равенством (1.10). Предложение Е„тем самым доказано. ° Лемма 1.2. Для всякого компактного множества А пространства К" для любого целого т множество двоичных кубов ранга т, содержащих точки множества А, конечно. Яоказательство. В силу компактности множества А найдется число Ь такое, что 0 < Ь < оо, и множество А содержится в шаре В(0, ь).

Найдем целое т такое, что Ь < т. Пусть Я = [ — то, т) х [ — то, т) х х [ — тп, т) . о множителей Очевидно, Я есть п-мерный куб. При этом Я Э В(0, Ь) Э А, так что ч Э А. В силу предложения Е„куб 9 может быть представлен как объединение конечного числа двоичных кубов ранга то для некоторого целого то. Множество А содержится в Я. Из двоичных кубов ранга то, содержащихся в Ч', выберем все те, которые содержат точки множества А. Пусть «тыаз,...,«ик есть все выбранные кубы.

Очевидно, А содержится в их объединении. Возьмем произвольно т ф то. Если т < то, то каждый из кубов «т, содержится в одном из кубов ранга т. Следовательно, мы получаем, что множество А в этом случае содержится в объединении не более чем 11т кубов ранга т. Пусть т > то. Тогда каждый из кубов о является объединением 2"1' "1 двоичных кубов ранга т и, значит, А содержится в объединении не более чем Ф2"«" "1 двоичных кубов ранга т. ° Совокупность всех двоичных кубов ранга т будем называть двоичным разбиением (или двоичным подразделением) ранга т пространства К". 1.3.

Характеристики

Список файлов книги