1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Аналогично, символ 34 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных гпах(Х,д) означает функцию Н: М вЂ” Е, определенную условием Н(т) = гпах111т),д(т)) для каждого т Е М. Далее предполагается заданной некоторая система с интегрированием (М, Я,Х). Совокупность всех неотрицательных функций 1 е Я обозначим символом зк+. Если функция 1 Е Я, то согласно аксиоме В.2 функция !Х!: х ~-~ !11х)! принадлежит классу зк. Отсюда, в частности, следует, что множество функций Я+ непусто.
Видим, что для всякой + 1 1 функции 1 Е Я также и функции Х~ = — (Х+ !1!) и 1 = — (!Х! — У) 2 2 принадлежат классу Я. Равенства (2.1) позволяют заключить, что для любых двух функций 1, д Е Я функции пил~У, д) и гпах~У,д) также принадлежат Я. ° Лемма 2.1. Пусть 1 и д — две произвольные функции класса Я системы с интегрированием (М,Я,Х). Тогда если 1 > д на М, то 1(У) > ХЬ). Доказательство. Пусть 1 > д на М. Тогда 1 — д > О на М и, значит, в силу аксиомы ВЗ ХЦ вЂ” д) > О. Отсюда, применяя аксиому В.4, получаем 1(Х) — 1(д) = 1(Х вЂ” д) > О и, наконец, 1(Х) > 1(д), что и требовалось доказать. ° Следствие.
Для всякой функции Х Е Я имеет место неравенство !1(Х)! < 1(И). Действительно, пусть 1 — произвольная функция из класса Я. Для всех х Е М имеем -!У( )! < Х( ) < !Х( )!. В силу леммы 2.1 отсюда следует, что — 1(!Х!) < 1(У) < 1(!Х!) и, значит, Щ)! < 1(!Х!), что и требовалось доказать. я ° Лемма 2.2. Пусть (М, Я, Х) — система с интегрированием, функция Х Е Я вещественная и (Х„)„ен есть возрастающая последовательность вещественных функций из Я такая, что для всех т Е М Дя) < 1пп Х„(я). Тогда 1(Х) < Вщ ХЦ„). 3 а м е ч а н и е.
Как следует из леммы 2.1, последовательность интегралов (1(У„))„ен является возрастающей, и потому предел, указанный в формулировке леммы, существует. З 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 35 Доказательство леммы. Предположим, что последовательность (1„)„еи и функция 1 удовлетворяют всем условиям леммы. Положим и„= (1 —,1„)+, и пусть о(х) = йгп 1,(х).
Последовательность (1 — 1„)„еи убывающая. Так как функция у ~-~ у+ возрастающая, то последовательность (и„) еи также убывающая. При всяком и Е И имеем и„Е Я и 1 — 1„< и,. Отсюда следует, что 1(~ — 1„) < 1(и ) и, значит, (2.2) для всех х. Так как о(х) = 1пп 1„(х) > 1[х) при каждом х Е М, то Дх) — е(х) < О всюду в М и, следовательно, при любом х Е М Бгп и„(х) = Бгп [1[х) — ~„(х)]~ = [Дх) — е(х)]+ = О. Последовательность функций (и„)„еп убывающая, и при и — со для любого х Е М имеем и„(х) — О. В силу аксиомы В.5 системы с интегрированием отсюда вытекает, что 1(и„) — О при и — оо. Переходя к пределу в неравенстве (2.2), получим 1(1) < йщ 1(1„), что и требовалось доказать.
° 2.2. Понятик Ь -нормы функ ии и кк просткйшик свойствА Предположим, что задана некоторая система с интегрированием, в которой все основные функции имеют областью определения множество М. Для всякой вещественной функции 1: М вЂ” К (допускаются, таким образом, значения 1[х) = хоо) может быть определено некоторое конечное или бесконечное число [[1[[с, > Π— Ьпнорма функции 1. Понятие Ьз-нормы позволяет выделить в совокупности всех вещественных функций, определенных на М, некоторый класс функций, называемых интегрируемыми. Определение Ьз-нормы, которое приводится здесь, может показаться чрезмерно сложным и вычурным, однако именно при таком определении класс интегрируемых функций будет обладать нужными нам свойствами.
36 Гл. 13. Илтегр льное исчисление функций многих переменных Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М,Я,1). Функции, принадлежащие Я, в соответствии с терминологией, введенной ранее, будем называть основными. Произведение О ~со ранее считалось неопределенным. Здесь мы будем считать, что О ~ос = О. Пусть даны функция 1: М вЂ” К и последовательность Ц„)„ен вещественных функций, определенных на М. Тогда будем говорить, что последовательность Ц„)„ен мажорирует функцию 1, если выполнены следующие условия: 1) функции У, все неотрицательны; 2) последовательность Ц„)„ен возрастающая; 3) для всех к Е М выполняется неравенство (Дт)( < Бт У„(х).
Для всякой возрастающей последовательности функций из Я последовательность их интегралов 11Ц,)),ен также является возрастающей и, следовательно, существует предел Бт 1Ц„). м оз Пусть дана функция 1: М вЂ” Й. Число Ь Е К, Ь > О, назовем верхним числом функции 1, если существует последовательность основных функций Ц,)„ен, которая мажорирует функцию 1' и такова, что Ь = Бт 1Ц„). Множество всех верхних чисел функции 1 обозначим и-~со символом ИтЦ). Точная нижняя граница множества И'Ц) называется 1з-нормой функции У и обозначается одним из символов (~Дь,1м ид1 или ((16ьцпр Когда недоразумение невозможно, будем обозначать ее символом 6Яь,.
Может оказаться, что для данной функции 1: М -+ Й не существует последовательности Ц„)„ен функций класса Я, мажорирующей 1. В этом случае множество ИтЦ) пусто и мы полагаем ()Пь, = со. Из определения непосредственно следует, что для всякой функции У: М вЂ” Й величина 61'Оь, неотрицательна. Совокупность всех функций 1' таких, что 6Дь, < оо, будем обозначать символом Х,*(Е).
Пусть Ц„),ен — произвольная последовательность основных функций, мажорирующая функцию 1: М вЂ” К. Число Ь = Бтп 1Ц„) является верхним числом функции 1, и, значит, ОЯь, < Ь. Таким образом, для любой последовательности основных функций Ц„)„ен, которая мажорирует функцию Х, выполняется неравенство 3 2. Определение и простейшие свойства интеграла ХХебега 37 Предположим, что Х|-норма функции 1: М вЂ” К конечна. Зададим произвольно е > О. В силу известных свойств точной верхней границы (см.
главу 1) найдется верхнее число Ь функции 1 такое, что и < !!Х!!ь, + е. Согласно определению верхнего числа функции (см. выше) найдется последовательность основных функций (Х,),ен, мажорирующая 1 и такая, что Ь = Бгп ХЦ„). и ео Таким образом, если для функции 1: М вЂ” Й имеем !!1!!ь, < оо, то для всякого е > О можно построить последовательность основных функций, которая мажорирует 1 и такова, что йш 1(Х.) < !!Х!!с, +е. (2.4) Итак, для всякой последовательности (У„)„ен основных функций, мажорирующей функцию 1, выполняется неравенство (2.3).
При этом если Х,|-норма функции 1 конечна, то для любого е > О можно указать последовательность основных функций (Х„)„ен, которая мажорирует 1 и такова, что для нее выполняется неравенство (2.4). ° Лемма 2.3. Для всякой функции 1 б Я имеет место равенство !!У!!ь, = 1(!Л). (2.5) Доказательство. Пусть (у„) „ен — произвольная последовательность функций из Я, мажорирующая функцию 1. Это означает, что последовательность (<р„) ен возрастающая и для всех т б М !Х(т)! < 1пп ~р„(х).
В силу леммы 2.2 отсюда вытекает, что 1(Щ) < йш 1(р„). В силу произвольности последовательности (у„)„ен, мажорирующей 1, отсюда получаем, что 1(!Х !) < !!Х !! ь,. С другой стороны, полагая у„= !Х! при каждом и б Р1, мы получим последовательность, мажорируюшую !Х!, для которой 1пп 1(р„) = 1(!Х!). Отсюда следует, что !!Ль, < 1(!Л). Тем самым лемма доказана.
° Ъ' Следствие. Если функция 1: М -+ Й тождественно равна нулю, то ее Х,~-норма равна нулю. 38 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Действительно, в этом случае ~ Е Я, У = Щ. Так как О 1 = Л то 1Я = О 1Ц) = О и потому 1(!Я) = 1(У) = О. Согласно лемме 2.3 отсюда вытекает, что 1!111ь, = О.
Следствие доказано. ° Лемма 3.4. Для всякой функции У Е А~(Е) и любого числа а Е К имеет место равенство (2.6) Доказательство. Пусть дана произвольно функция 1 б 1,"(Е). Это означает, что !1Дь.~в~ < оо. Возьмем произвольно число а б К. Предположим сначала, что а ~ О. Докажем, что имеет место неравенство (2.7) Зададим произвольно последовательность (~„)„ен функций из Я, мажорирующую Л Тогда последовательность (1а!1„)„ен мажорирует а1 и, значит, !!аДь, < йгп 1(!а!1„) = !а1 йгп 1(У„).
Отсюда !1аЛЬ < йпз 1Ц„) 1 и сю 1 Следовательно, мы получаем, что — !!а111ь, есть нижняя граница 1а! множества Иг(У). (Напомним, что последовательность ( 1,)„еи функций из Я, мажорируюшая Л была взята произвольно.) Из доказанного следует, что если функция 1 б 1,"(Е), то также и а 1 б 1 ~(Е), причем имеет место неравенство из которого, очевидно, вытекает (2.7).
Заменяя в этом неравенстве 1 функцию 1 на Л вЂ” — а1 и а на а~ = —, получим неравенство а Так как а~Л = Л то отсюда следует, что (2.8) !а11!УЬ, < 1!аЛь,. з 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 39 Из неравенств (2.7) и (2.8) следует справедливость равенства (2.6) в случае а ~ О. Если а = О, то функция о7" = 0 (функция ~ может принимать значения Йх) = ~со, но, как указано выше, мы считаем, что 0 ~оо = 0) и, значит, !!аДь, = 0 = !а!!!Я!ь,.
Отсюда видим, что и в этом случае равенство (2.6) верно. Лемма доказана. ° Т Следствие. Для всякой функции 7: М вЂ” ~ К имеем !! — Дь, = !!Дь,. Для любых двух функций и: М вЂ” К но: М вЂ” К имеет место равенство !!и — и(!ь, = !!и — и!!ь,. Первое утверждение следствия непосредственно вытекает из леммы 2.4, если положить в ней а = — 1. Второе вытекает из первого, если положить 7' = и — о. Следствие доказано. 2.3. Свойство сувА итивности Ь -нормы Зададим произвольно систему с интегрированием (М,Я,Х). Все дальнейшие рассуждения относятся именно к этой системе.
Далее будут установлены некоторые теоремы о предельном переходе для интегралов. Ключевую роль в их доказательстве играет следующая лемма. ° Лемма 2.б. Пусть даны функции ~: М вЂ” К и 7'„: М вЂ” К, и = = 1, 2,.... Предположим, что для всех х б М выполняется неравенство (2.9) Тогда имеет место неравенство 12.10) 3 ам е чан не 1. Суммы, стоящие в (2.9) и (2.10) справа, считаем равными оо, если по крайней мере одно слагаемое равно оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
