1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В ней рассматриваются вопросы интегрального исчисления функций многих переменных. Книга состоит из трех глав — с тринадцатой по пятнадцатую. Глава 13 носит название «Интегральное исчисление функций многих переменных (теория кратных интегралов)». Существуют различные способы построения интегрального исчисления функций многих переменных. Традиционным является путь, при котором сначала определяется понятие меры (и-мерного объема множества в пространстве К") и затем уже с его помощью устанавливается, чтб есть интеграл функции.
Если исходить из простейшего определения меры множества, данного К. Жорданом, то мы придем к теории кратных интегралов в смысле Римана. Теория интеграла Б. Римана в пространстве К" для случае и > 1 оказывается громоздкой и мало удобной для применения.
Если воспользоваться более тонким (более изощренным) понятием меры, предложенным А. Лебегом, то придем к теории кратных интегралов Лебега. Другой возможный путь построения теории интеграла, который взят за основу в этом курсе, состоит в следующем. Сначала понятие интеграла определяется для некоторых «простых» функций, а затем класс функций, для которых интеграл определен, последовательно расширяется. В зависимости от того, какой способ расширения выбран, мы придем к теории интегрирования, которая будет эквивалентна либо римановой, либо лебеговской теории интеграла.
В качестве «простых» функций здесь берутся так называемые ступенчатые функции. Для них понятие интеграла имеет естественный геометрический смысл. Доказываются основные свойства интегралов для таких функций. Расширение класса интегрируемых функций осуществляется в один шаг — по схеме М. Стоуна. Это значительно упрощает изложение. Главное свойство интегралов ступенчатых функций, используемое в процессе расширения класса интегрируемых функций по Стоуну, состоит в следующем: для всякой монотонной последовательности ступенчатых функций, поточечно сходящейся к нулю, Курс математического анализа, ч.
11, кн. 2 интегралы функций этой последовательности стремятся к нулю. Изложение темы дается в общей аксиоматической форме. Выделяя те свойства ступенчатых функций, которые используются при построении теории интеграла, мы приходим к общему (абстрактному) понятию системы с интегрированием. Процесс расширения системы с интегрированием дает класс функций, называемых интегрируемыми. Понятие меры множества получается как частный случай понятия интеграла. В случае функций в пространстве К" мера множества в точности совпадает с понятием меры Лебега множества. К числу основных результатов интегрального исчисления функций многих переменных относятся теоремы о предельном переходе под знаком интеграла, теоремы Фубини и Тонелли о сведении и-мерного интегрирования к последовательному выполнению интегрирований меньшей размерности и теорема о замене переменных под знаком кратного интеграла.
Как приложение общих теорем об интегрируемых функциях и свойствах интегралов доказываются теоремы об интегрировании функциональных рядов и о функциях, представленных интегралами, зависящими от параметра. Введение интеграла Лебега уже на втором курсе университета (ранее он читался на третьем или как спецкурс — на четвертом году обучения) позволило упростить изложение некоторых ключевых вопросов теории интеграла. Глава 14 «Ряды Фурье и преобразование Фурье» представляет собой введение в теорию рядов Фурье и преобразования Фурье. Ряды Фурье, так же как и преобразование Фурье, имеют разнообразные применения в теории приближения функций, теории дифференциальных уравнений в частных производных, в функциональном.
анализе, вычислительной математике и других разделах математики и ее приложений. Использование преобразования Фурье во многих случаях позволяет операцию дифференцирования заменить операцией умножения и тем самым задачу, сформулированную на языке анализа, свести к алгебраической задаче. В этой главе приводится определение ряда Фурье функции относительно системы тригонометрических функций, устанавливается теорема Римана — Лебега о коэффициентах ряда Фурье интегрируемой функции, доказываются теорема Дирихле и теорема Дини о поточечной сходимости ряда Фурье, равенство Парсеваля для функций, интегрируемых в квадрате, дается достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье. Известные в математике теоремы о поточечной сходимости рядов Фурье имеют в некотором смысле неокончательный характер. Использование других видов сходимости функциональных рядов позво- Предисловие ляет получить более законченные результаты.
Для рядов Фурье это есть сходимость в Лз([ — я,я]). Здесь описывается пространство Ьз функций, интегрируемых с квадратом, и доказывается теорема о полноте этого пространства (теорема Рисса — Фишера). Определяется понятие гильбертова пространства, понятие ортогональной системы векторов. В частности, определено понятие полной ортогональной системы. Доказывается, что система тригонометрических функций 1/2,соя з,зшх,соя 2г,зш2ж,...,соя пх,зшпт,...
является полной ортогональной системой функций в пространстве Ьз([ — я, и]). В этой же главе определяется понятие преобразования Фурье интегрируемой функции и устанавливаются его основные свойства. Доказывается теорема об обращении преобразования Фурье. Последняя глава 15 — «Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы». В теории кратных интегралов и ее приложениях в физике и механике важную роль играют теоремы, позволяющие представить интеграл по границе области через интеграл по самой области.
Впервые результат такого рода был получен еще К. Гауссом для областей на плоскости, а для областей в пространстве аналогичное утверждение было доказано М. В. Остроградским. Общий результат — обобщенная интегральная теорема Стокса о представлении интеграла по краю многообразия через интеграл по самому многообразию — был получен в работах А. Пуанкаре и Е. Картава. Описание общего результата требует введения некоторой техники— частично аналитической, частично алгебраической.
Такая техника содержится в исчислении внешних дифференциальных форм. Материал, излагаемый в этой главе, относится к разделу современной математики, называемому дифференциальной топологией. Идея автора включить данную тему в университетский курс математического анализа была реализована в 19б4-м году (по-видимому, впервые в стране). Здесь приводятся необходимые сведения о внешних дифференциальных формах, определяется, что есть внешняя дифференциальная форма и описываются основные операции для этих форм: умножение внешних дифференциальных форм, операция переноса дифференциальных форм гладким отображением, понятие дифференциала внешней формы. Понятие дифференцируемого Й-мерного подмногообразия пространства К", данное в главе 10, здесь уточняется в связи с изучением некоторых дальнейших аспектов теории таких многообразий. В частности, определяются понятия площади х-мерного многообразия, края многообразия и ориентированного многообразия.
Для ориентированного л-мерного многообразия определяется интеграл внешней дифференциальной формы степени к по данному многообразию. Вводится понятие интеграла внешней дифференциальной формы степени Й по ориентированному Й-мерному подмногообразию пространства К". Доказывается обобщенная 10 Курс математического анализа, ч. П, кн. 2 интегральная теорема Стокса и устанавливаются ее следствия. Как приложения этой теоремы выводятся интегральные формулы М. В.
Остроградского и К. Гаусса. Исчисление внешних дифференциальных форм имеет приложения в топологии. В качестве примера такого приложения дается доказательство общей теоремы Л. Брауэра о неподвижной точке для отображений областей в И". (Случай и = 2 был рассмотрен ранее в главе 8.) Отметим, что в настоящей книге «Курс математического анализа» используются те же правила нумерации теорем, лемм, предложений, формул и рисунков, как и в предыдущих книгах этого курса.
Напомним: главы делятся на параграфы, имеющие порядковую нумерацию; каждый параграф разбивается на пункты (или разделы), имеющие двойную нумерацию: первая цифра — номер параграфа, вторая— порядковая; формулируемые в книге утверждения (теоремы, леммы и предложения), а также формулы имеют в пределах параграфа аналогичную двойную нумерацию; рисунки нумеруются в пределах главы. В конце даются указатель обозначений и предметный указатель, именной указатель, а также сводное оглавление предыдущих книг «Курса математического анализа».
Глава 13 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСкяИСЛЕНИЕ ФогНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ТЕОРИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ) ° Ступенчатые функции ° Интегрирование ступенчатых функций ° Лемма о предельном переходе ° Понятие системы с интегрированием а Т з -норма функции ° Свойство субаддитивности Йт-нормы ° Понятия интегрируемой функции и интеграла в произвольной системе с интегрированием ° Теорема о нормально схадяшемся ряде ° Теоремы Леви для функциональных рядов и последовательностей ° Теоремы Фату и Лебега о предельном переходе ° Измеримые функции и множества ° Теорема о пределе последовательности измеримых функций ° Интеграл как аддитивная функция множества ° Мера множества ° Операции с измеримыми функциями ° Множества Лебега ЕуЯ и ЕуЯ а Измеримость открытых и замкнутых множеств в зь~ ° Внешняя мера множества ° Множества меры нуль я Пренебрежимые функции и условия, выполняюшиеся почти всюду ° Теоремы Фубини и Тонелли о кратных интегралах ° Формула Кавальери — Лебега для вычисления интеграла ° Правило замены переменной интегрирования в кратном интеграле ° 12 Гл.
13. Интегральное исчисление функций многих переменных й 1. Интегрирование ступенчатых функций Понятие интеграла для функций многих переменных здесь определяется сначала для функций, в некотором отношении простейших, а именно — для ступенчатых функций. Функция 1: К" — ~ К называется ступенчатой, если можно указать конечный набор попарно непересекающихся п-мерных кубов, на каждом из которых функция 1' постоянна. Мера (объем) р Я) п-мерного куба Я, длина ребра которого 1, равна 1".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
