1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тогда если каждая из функций ~„интегрируема на промежутке [а, Б] и 1„(х) 0 при и -+ оо ь в основном в промежутке [а,6], то | Д„(х) ах - 0 при и -+ со. О Подынтегральное выражение здесь обращается в нуль вне отрезка [а„~.~,Ь„.~~] и по абсолютной величине не превосходит 6. Отсюда следует, что для всякого у б К" З 1. Интегрирование ступенчатых функций 29 Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Обозначим через Г„аддитивную функцию отрезка, определенную в [а, Ь] следующим образом.
Лля произвольного отрезка Ь = [а,?3] С [а, 6] Согласно условию теоремы функции З„все неотрицательны. Это позволяет заключить, что для любого отрезка Ь С [а, Ь] имеем Г (О ) > О для всех и — оо. Так как последовательность функций (3'„),ен убывающая, то для всякого Ь последовательность (Г„(з))„также является убывающей и, следовательно, для всякого отрезка Ь существует предел Бгп Г,(Ь) = Г(Ь). Так как Г„(ез) > О при всех и — оо, то также и Г(Ь) > О. В промежутке [а,6], таким образом, определена некоторая функций отрезка Г. Теорема будет доказана, если мы установим, что эта функция отрезка тождественно равна нулю.
После овательно иссле ем свойства нк ии от езка Г. Сначала покажем, что Г есть аддитивная функция отрезка. Пусть Ь1 и езз— два произвольных отрезка, содержащихся в [а, 6] и имеющих только одну общую точку. Это означает, что либо Ь| есть отрезок [а,~3], а Ьз — отрезок [33, у], либо, наоборот, Ь1 — — [33, у], езз —— [а,?3].
Пусть сз = Ь| 0 Ьз. Множество Ь есть отрезок, и при каждом р Е г? имеем ГиЮ К'(~-~1) + Ги(.зз). Переходя в этом равенстве к пределу, получим Г(ез) = Г(9 |) + Г(езз). Так как отрезки Ь| и езз, имеющие общий конец, были взяты произвольно, то тем самым доказано, что Г есть аддитивная функция отрезка. При каждом и для любого отрезка ез С [а, 6] имеем О < Г(ез) < Г„(Ь). Аддитивная функция отрезка Г„непрерывна. Отсюда в силу критерия непрерывности аддитивноб функции отрезка (см. З 3 главы 5) вытекает, что построенная функция отрезка Г также является таковой. ??окажем, что плотность аддитивной функиии отрезка Г в основном равна нулю.
Пусть Мо есть не более чем счетное множество, состоящее из всех точек е Е [а, 6], для которых соотношение ?пп Яз) = О не имеет места. 30 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Далее, пусть М„есть множество всех точек х б (о, Ь), для которых плотность аддитивной функции отрезка Е либо не существует, либо существует, но отлична от Ях). Множество М„не более чем счетно. Положим Е = ( [ М,. Множество Е не более чем счетно.
Возьмем произвольно точку х Е (а,Ь) 1 Е. Тогда х ф Мо и, значит, Ях) — 0 при и — со. Зададим с произвольно е > О. По нему найдется номер ио такой, что ~„,(х) < —. Точка х не принадлежит множеству М„„и, следовательно, аддитивная с функция отрезка Г„, имеет в точке х пяотнослзь, равную ~„,(х) < —. Значит, найдется 6 > 0 такое, что для всякого отрезка сз, содержащего точку х и такого, что длина его меньше 6, выполняется неравенство ~УО(~) < ~уа(х)+ — < е. 2 Так как для любого отрезка Ь С [а, Ь~) имеет место неравенство .~ (~) — .~УО(~)~ то отсюда следует, что для всякого отрезка, содержащего точку х и та- кого, что 1(1з) < 6, выполняются неравенства Г(1з) 1(Ь) В силу произвольности с > 0 этим доказано, что плотность аддитивной функции отрезка Е в точке х равна нулю.
Точка х ~ Е была выбрана произвольно. Следовательно, мы получаем, что РЕ(х) = 0 в основном. Отсюда, как было показано ранее, вытекает, что функция отрезка Е тождественно равна нулю. В частности, мы получаем, что Г([а, Ь]) = 1пп Ях) 4х = О, О что и требовалось доказать. ° ° Теорема 1.4 (о пределе интегралов убывающей последовательности ступенчатых функций, поточечно сходящейся к нулю).
Пусть (~у)„ен есть убывающая последовательность ступенчатых функций в пространстве К" такая, что 1пп Ях) = 0 для всякого х Е К". Тогда У ОО [ 1„(х)4х -+ 0 лри и- со. и" 1. Иитег и рвание ст пеичатых нкций 31 ,Показательство. Лля случая и = 1 нужный нам результат следует из теоремы 1.3. (В формулировке и доказательстве теоремы 1.3 рассматривается общий случай, когда 1„есть произвольные интегрируемые функции в К.
Однако если мы ограничимся случаем ступенчатых функций, то это не приведет к упрощению доказательства.) Предположим, что для некоторого и Е М теорема доказана. Пусть (|„)„ен есть произвольная убывающая последовательность ступенчатых функций в К"+з. Пространство К"+з будем представлять как произведение К" х К, отождествляя точку х = (хз, хз,..., х„, х„+з) с парой (у,г), где у = (хыхз,...,х„), г = х„~.з.
При фиксированном у функция Яу, г) как функция переменной г принадлежит классу 5~(К) и, следовательно, определен интеграл Р'(у) = У.(у, )1 . н Функция Р„, определенная этим равенством, как было показано ранее, является ступенчатой. При всяком у Е И" для любого з Е К последовательность (|,(у, х))„ен является убывающей, причем 1пп У„(у,я) = О. В силу теоремы 1.3 отсюда следует, что 1пп Г„(у) = Бш У„(у,х) Ия = О н для всех у Е К". В силу свойств интеграла, установленных выше, последовательность функций (Г„)„ен является убывающей, и при каждом и функция Г„является ступенчатой. Согласно предположению индукции из доказанного следует, что Бт Г„(у) Ну = О.
и" В соответствии с определением интеграла ступенчатой функции при каждом и имеет место равенство | г'„(у) Ну = ~„(х) Их. Ж" и" +' Таким образом, нами установлено, что для всякой убывающей последовательности ступенчатых функций (~„)„ен в пространстве И"+1 такой, что ~„(х) -+ О для всех х Е К"+, существует предел Йп Ях) Нх = О. и" +' Теорема доказана. ° 32 Гл. 1о. Интегральное исчисление функций многих переменных й 2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега Изложение теории интеграла здесь ведется в обшей форме.
Вводится понятие системы с интегрированием. Будем говорить, что задана система с интегрированием, если указано некоторое множество функций, имеющих одну и ту же область определения и называемых основными. Каждой основной функции сопоставлено число — интеграл от этой функции.
Множество основных функций и их интегралы должны удовлетворять определенным условиям. Эти условия выполнены, в частности, и том случае, когда основными являются ступенчатые функции в пространстве К", причем интеграл ступенчатой функции определен, как это описано в параграфе 1. Первая задача теории интеграла, которую мы рассматриваем, — пост- роение из данной системы с интегрированием расширенной системы, замкну- той относительно определенного типа предельных переходов.
Вторая задача — исследование свойств полученного расширения исход- ной системы с интегрированием. Основным инструментом, используемым при построении расширения системы с интегрированием, является понятие Ь|-нормы. 2.1. ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ С ИНТЕГРИРОВАНИЕМ Пусть М есть некоторое непустое множество и а есть множество функций, определенных на М и принимающих значения в К. Предположим, что для всякой функции 1" е .дт определено некоторое число 1(Д. Иначе говоря, определена функция 1: т' — К. Функцию, область определения которой есть множество функций, принято называть функционалом, так что 1 есть функционал, определенный на множестве функций д . Будем говорить, что тройка (М,.т",1) представляет собой систему с интегрированием, если выполнены следующие условия.
В.1. Множество функций зт является векторным пространством над полем К, т. е. для любых двух функций 1 Е .дг, д й .дз и любых вещественных чисел о и Д функция о1 + Дд принадлежит зч. В.2. Если 1 й .дг, то и функция (Я: х Е М ь (У(т)! также принадлежит зс. КЗ. Функционал 1 является линейным, т. е. для любых двух функций 1 й:зч, д Е:т и любых чисел сз,,9 Н К выполняется равенство 1(оУ+ Рд) = 1У)+ р1(д) 3 2.
Определение и простейшие свойства интеграла Лебега 33 К4. Если ~ Е 3Р и 1(х) > О для всех х Е М, то 1(~) > О. Кб. Для всякой убывающей последовательности (1„),ен вещественных функций, принадлежащих Х, поточечно сходящейся к нулю на множестве М, имеет место равенство Вш 1(1„) = О. Условия В.1-В.5 называются а к с и о м а м и системы с инте- грированием. Множество М называется базисным пространством системы с интегрированием (М, Х, 1). Функции из Я называются основными (или простыми) функциями. Функционал 1: Я К называется интегралом в данной системе с интегрированием.
При этом для 1 Е Х число 1(1) называется интегралом функции 1. Свойство интеграла, которое описывается аксиомой В.З, называется линейностью. Свойство, выраженное аксиомой В4, называется неотрицательностью интеграла. Наконец, свойство интеграла, которое дается аксиомой В5, будем называть непрерывностью. О с н о в н о й и р и м е р системы с интегрированием мы получим, полагая М = К", Я = .У'(К") и определяя функционал 1 равенством 1(1) = 1(х) дх. Данную систему с интегрированием будем называть евклидовой. (В следующем 33 будут приведены и другие примеры систем с интегрированием.) Отметим с л е с т в и я аксиом системы с интег и ованием.
Для любых двух вещественных чисел и и и выполняются равенства ппп(и, и) = и — (и — и)+, шах(и, и) = и + (и — о)+. (2.1) Возможны два случая: 1) и < и и 2) и > и. Доказательство равенств (2.1) сводится к простой проверке того, что в обоих случаях равенства (2.1) выполняются. Для произвольныхфункций 1: М- К ид: М- К символ ппп(1,д) в дальнейшем означает функцию Ь: М вЂ” ~ К, определенную условием Н(х) = ппп(1(х),д(х)) для любого х Е М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
