1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Это означает, что и аксиома В.5 определения системы с интегрированием в рассматриваемом случае также выполняется. Если функция ~, определенная в интервале (а,б), интегрируема в данной системе с интегрированием, то говорят, что функция Г" интегрируема о смысле Лебега — Стилтьеса относительно функции ф. Интеграл функции ~ в этой системе с интегрированием называется интегралом Лебега — Стилтьеса функции ~ относительно функции ф ь и обозначается символом ) Дх) дф(х). а 3.2.
МЕРА НА КОЛЬ Е МНОЖЕСТВ. ПОНЯТИЯ о-КОЛЬ А И МЕРЫ НА о-КОЛЬ Е 3.2.1. Опишем пример, который, как, впрочем, и предыдущие, важен и сам по себе, а не только как иллюстрация к общему определению понятия системы с интегрированием. Пусть М есть произвольное множество, а М вЂ” непустое множество подмножеств М. Совокупность множеств М называется кольцом, если она удовлетворяет следующим условиям. К. Для любых двух множеств А, В, принадлежащих М, множества А 0 В, А ~ В также принадлежат М.
Из данного определения следует, что если совокупность множеств М есть кольцо, то пустое множество И принадлежит М. Действительно, возьмем произвольно множество А б М. Имеем И = А ~ А, и, значит, И Е М. Для любых множеств А, В имеет место равенство А и В = А ~ (А ~ В). Отсюда вытекает, что если множества А и В принадлежат кольцу множеств М, то также и их пересечение А П В принадлежит М. Индукциеб по числу множесте легко устанавливается, что если совокупность множеств М есть кольцо, то пересечение и объединение любого конечного числа множеств, принадлежащих М, также является элементом М.
60 Гл. 13. Интегр льное исчисление функций многих переменных М2. Для любых двух непересекающихся множеств А, В Е М имеет место равенство р(А 0 В) =,и(А) + р(В). (3.6) МЗ. Для всякой последовательности множеств (А„)„ен, принадлежащей М и такой, что А„Э А„+1 при каждом и Е М и пересечение со ПА„= И, величина р(А„) стремится к нулю при и — + оо. С елаем некото ые з а м е ч а н и я к этом оп елению. а) Свойство меры, выражаемое равенством (3.6), называется ее аддиозивиостью. б) Последовательность множеств (А„)„еи будем называть убывающей, если А„Э А„+1 при каждом и Е М. Последовательность множеств (А„)„еи назовем исчезающей, если она является убывающей и П А„= Я. и в) Условие МЗ может быть переформулировано с помощью введенных понятий следующим образом.
Для всякой исчезающей последовательности (А„)„ен множеств, принадлежащих М, справедливо соотно- шение Бш р(А„) = О. Отметим некого ые с в о й с т в а ме ы непос ственно выте- каю е из оп е еления. Пусть, например, М = К и М есть совокупность всех множеств А, каждое из которых может быть представлено как объединение конечного числа промежутков вида [р, д). Из определения М непосредственно видно, что для данной совокупности множеств М объединение любых двух множеств из М принадлежит М. Чтобы показать, что разность двух множеств из М принадлежит М, достаточно проверить, что разность любых двух промежутков рассматриваемого вида есть либо пустое множество, либо промежуток того же вида, либо представляет собой объединение двух промежутков данного вида.
Пусть М есть кольцо, образованное подмножествами произвольного множества М. Предположим, что всякому множеству А Е М сопоставлено некоторое вещественное число р(А). В этом случае говорят, что в М задана функция множеств р, определенная на кольце множеств М. Функция множеств р, определенная на кольце р, называется мерой, если она удовлетворяет следующим условиям. М1. Для всякого множества А Е М величина р(А) неотрицательна. 61 '3 3. Примеры систем с интегрированием ф Предложение 3.1.
Для всякого конечного набора попарно непересекающихся множеств Аы Аз,..., А, принадлежащих кольцу Ю, и для любой меры р, определенной на Я, справедливо равенство Доказательство индукцией по тп очевидно. ф ф Предложение 3.2. Пусть р есть мера на кольце Я и (А„),е>ч— последовательность попарно непересекающихся множеств, принадлежащих Я. Тогда если множество А = Ц А„принадлежит кольцу Я, то справедливо равенство р(А) = ~~) р(А„).
Доказательство. Действительно, для и е И пусть » ОО о> = ЦАь> и»= Ц Аь ° ь=1 Й=>+> При каждом и е 'г(имеем А = Я„0Л„. Множествами„и й, не имеют общих элементов, и, значит, Л„= А 1 5„. Множество Я„принадлежит классу М как объединение конечного числа множеств из М. Условие К позволяет также заключить, что Л„Е Я при каждом и Е М. В силу предложения 3.1 при каждом и имеем а р(А) =,и[5„0 Я„] = р(5„) + р(Н„) = ~~ р(Аь) + р(К„). (3.7) я=1 Последовательность множеств (Я„),ен является исчезающей Действительно, при каждом и, как нетрудно видеть, А, Э А„+1.
Покажем, что пересечение последовательности множеств (Я„)„ен является пустым множеством. Возьмем произвольно х е М. Если х ф А, то х ф Л, при каждом и и, значит, х не принадлежит пересечению множеств последовательности (Я,)„ен. Пусть х Е А. Тогда х е А„, для некоторого значения ио е Р1.
Множества А„, по условию, попарно непересекающиеся, и, значит, х ф А„при и ф цо. Отсюда следует, что х ~ Я„при и ) ио и, значит, х не принадлежит пересечению множеств Л„. 62 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных р(А) = Ыт р(Б„) = 1пп ~) р(А«) = ~) ~,и(А„).
я=1 «=1 Предложение доказано. ф Кольцо множеств М называется и-кольцом, если оно удовлетворяет следующему условию: для всякой последовательности множеств (А«)«ен, принадлежащих М, также и множество А = 0 А«принадле«=1 жит М. в Предложение 3.3. Если некоторая совокупность М подмножеств множества М является п-кольцом, то для любой последовательности (А«)«ен множеств, принадлежащих М, ее пересечение также принадлежит М. Доказательство. Действительно, пусть А = Ц А,. Если А„е М «=1 для всех и и М есть о-кольцо, то согласно определению и-кольца множество А принадлежит М. Применяя соотношения Моргана (глава б, лемма 5.1), получим й А«=А~ Ц А1А„ «цг «=1 (3.8) Каждое из множеств А 1 А«принадлежит М, и, значит, множество () А 1 А«принадлежит М. Отсюда в силу равенства (3.8) вытекает, «=3 «сз что.
и множество () А«является элементом М. Предложение дока«=1 зано. Ф Если совокупность множеств является кольцом, то множества, которые его составляют, образуют, вообще говоря, достаточно узкий класс. Различие между кольцом и и-кольцом имеет глубокий качественный характер. Далее мы сможем показать это на примере множеств в пространстве К". Точка х е М взята произвольно.
Таким образом, мы получаем, что никакая точка множества М не может принадлежать пересечению множеств Л„и, следовательно, это пересечение пусто и последовательность (Л„)„ен является исчезающей. В силу условия М2 определения меры отсюда следует, что р(Л„) — «О при и — оо. Переходя к пределу в равенстве (3.7), получим З 3. Примеры систем с интегрированием 63 Основной результат теории меры содержится в следующей теореме. 3.2.2. Система с интег и ованием оп еляемая неот и ательной ~~~пу „и-*", - -..... „я —;,. рое кольцо, элементы которого есть подмножества М, и р есть мера, определенная на кольце множеств М.
С помощью кольца множеств М и меры р, заданной на нем, может быть определена некоторая система с интегрированием, к описанию которой мы переходим. Функция У: М -+ К называется ступенчатой функцией, если существует конечная последовательность Аы Аз,..., А попарно непересекающихся множеств, принадлежащих М, и такая, что при каждом к = 1,2,..., т функция ~ постоянна на множестве Аы причем если х б М не принадлежит ни одному из множеств Аы то У(х) = О. Пля произвольного множества Е с М пусть Хк есть характеристическая функция или индикатор множества Е, т.
е. Хк(х) = 0 при х ф .Е и Хк(х) = 1, если х Е Е. Тогда данное определение может быть представлено в следующей эквивалентной форме. Функция г": М -~ К является ступенчатой относительно кольца множеств М, если она может быть представлена в виде У(х) ~ Л/сХАь (х)1 ь=з (3.9) где Аы Аз,..., А — попарно непересекающиеся множества, принадлежащие М, а Ль, lс = 1, 2,..., т, — вещественные числа.
Пусть |: М вЂ” К есть ступенчатая функция. Построим ее представление в виде (3.9). Такое представление может быть не единственным. Сумма пв Льи(Аь) я=1 (3.10) не зависит от выбора представления. ° Теорема 3.1. Пусть М есть произвольное кольцо множеств, образованное подмножествами множества М, и р есть мера на этом кольце. Тогда существуют и-кольцо М и мера р, определенная на М, такие, что М Э М, и для всякого множества А й М выполняется равенство р(А) = р(А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
