1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. имеет место равенство — вир 1, = — Ь = 1п1( — 1,). ие|ч иеы Отсюда следует интегрируемость Ь. Теорема доказана. ° з 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла 79 4.3. ТеОРемы ФАТУ и ЛеБеГА О пРе ельпОм пеРехО е 4.3.1. Докажем сначала некоторые вспомогательные результаты, касающиеся числовых последовательностей. Понятия верхнего и нижнего пределов в главе 2 определены только для последовательностей, все члены которых конечны.
Однако определения, приведенные там (КМА, часть 1, книга 1), без изменений могут быть распространены на случай последовательностей, у которых отдельные члены равны асс. Пусть дана последовательность (х„б К)„ен. Число Н Е К называется нижним числом данной последовательности, если существует номер й такой, что для всех и > й выполняется неравенство х„> Н. Множество нижних чисел непусто, так как — оо является нижним числом любой последовательности рассматриваемого вида. Точная верхняя граница множества всех нижних чисел последовательности называется ее нижним пределом и обозначается символом 1пп х„.
о оо Аналогично, число Н б Й называется верхним числом последовательности (х„)„ен, если существует номер й такой, что для всех и > й выполняется неравенство х„< Н. Множество верхних чисел непусто. Его точная нижняя граница называется верхним пределом последовательности (х„)„ен и обозначается символом 1пп х„. о со В соответствии со сказанным будем говорить, что число Т, Е К является пределом последовательности (х„б К),ен, если Т, = 1пп х„= 1пп х„. о оо При этом верхний и нижний пределы предполагаются определенными, как указано выше. Из результатов главы 2 вытекает, что для случая последовательностей, все члены которых конечны, данное определение предела равносильно тому, которое приводится в главе 2. ° Лемма 4.4. Пусть (Х„й Й)„ен есть произвольная числовая последовательность. Для ь Е М положим У„= ш1 Х„, )с„= зирХ„. Рйо о>о Тогда последовательность (Я„)„ен возрастающая, последовательность ($'„)„ен убывающая и имеют место равенства 1пп Л, = 1пп Х„, 1пп Ъ'„= 1пп Х„.
о со о со о оо о оо 80 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство. Пусть 1з1„= (р Е г1~ р > г ). Тогда Ф„= ш1 Хя, Ъ'„= зир Х„. ябан яен„ При каждом и Е Я выполняется 1з„Э Р1„+ы откуда в силу известных свойств точной верхней и точной нижней границ функции (см. главу 1) вытекает, что Х„< Х,+ы $', > К,» ~ для любого и Е 1з, т. е. последовательность (М„)„ен возрастающая, а последовательность ($'„),ен убывающая, и, значит, пределы, указанные в формулировке доказываемой леммы, существуют.
Положим Р= 1пп Х„Я'= 1пп Ъ'„, 1~= 1пп Х,. Требуется доказать, что Р' = Р и Щ = Я. Напомним, что величина 1 Е К называется нижним число и последовательности (Х )„ен, если существует номер р такой, что при каждом и > р выполняется неравенство Х„> 1. Согласно определению нижний предел последовательности (Х„)„ен есть точная верхняя граница множества Ф(Х) всех ее нижних чисел.
При каждом и Е 1з1 имеем Х„> Ф„для любого р > и, откуда следует, что Ф„есть нижнее число последовательности (Х,)„ен для любого и Е 1З1 и, значит, Х„< Р для всех и Е 1з. Отсюда следует, что Р' = йш Л„< Р = зпр М(Х). (4.5) Пусть 1 Е 1У(Х). Для этого 1 найдется номер й такой, что Х„> 1 для всех и > р. Отсюда следует, что Р' > Яя > 1. Так как 1 Е Х(Х) взято произвольно, то, следовательно, мы получаем, что Р' является верхней границей множества Х(Х) и, значит, Р' > Р.
(4.6) Из неравенств (4.5) и (4.6), очевидно, вытекает, что Р' = Р. Равенство Ч' = Я доказывается аналогичным образом. Нужно только в рассуждениях, проделанных выше, надлежащим образом изменить знаки неравенств. Мы предоставляем эту работу читателю. Заметим еще, что формально данное равенство может быть выведено из доказанного применением леммы 4.2.
Лемма доказана. ° ° Теорема 4.3 (теорема Фату о предельном переходе). Пусть (1„)„ен есть произвольная последовательность интегрируемых функций. Предположим, что существует интегрируемая функция ~р такая, что ~„(х) > у(х) почти всюду в М лри каждом и Е 1З1. Тогда если величина 1пп 1Ц„) конечна, то функция У, определенная услои ео вием 1(х) = Бтп Ях) для почти всех х Е М, интегрируема, причем имеет место неравенство 1(~) < Бп~ 1( 1„). з 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла 81 Доказательство.
Предположим, что выполнены все условия теоремы и величина Ь = йш 1ЦУ) конечна. Для и Е 1з обозначим через д, У вЂ” «ОО нижнюю огибаюЩУю последовательности ( Х„+у 1)„ен. ДлЯ почти всех х Е М выполняется неравенство ду(х) > ~р(х). Согласно теореме 4.2 функция ду интегрируема. Для любого р > и ~р(х) < ду(х) < 1„(х) для почти всех х Е М. Отсюда вытекает, что 1(ч) < 1(д.) < 1(Х ) для любого р > и и, следовательно, 1(ду) < 1пх 1(Х„) < ь. У)У (4.7) Последовательность функций (дУ)Учи возрастающая. Согласно лемме 4.4 для почти всех х Е М имеем 1пп ду(х) = 1пп 1„(х) = 1(х). У -~ ОО У ОО 1(Х) = Бш 1(ду) < Х = 1пп 1Цу).
У ОО У ОО Теорема доказана. ° Следствие 1. Пусть (Х„)„ен есть последовательность интегрируемых функций. Предположим, что существует интегрируемая функция ф такая, что при каждом и Е Х для почти всех х Е М выполняется неравенство Х„(х) < ф(х). Пусть функция 1 определена условием 1(х) = пш 1„(х) для почти всех х Е М. Тогда если К = 1пп 1(1у) > У «ОО У «ОО > — оо, то функция 1 интегрируема, причем имеет место неравенство ХЦ) > П и 1Ц,). Последовательность интегралов (1(ду))уел, как следует из неравенств (4.7), является ограниченной.
Отсюда согласно теореме Леви для последовательностей (следствие 3 теоремы 4.1) вытекает, что функция 1 интегрируема,причем 82 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство. Предположим, что последовательность функций (~„)„ен удовлетворяет всем условиям следствия. Положим 1,. = = — 1„, Ф* = — ф, .1* = — 1. Тогда при каждом и Е М выполняется 1„'(х) > Ф*(т) почти всюду в М, 1(1") = — 1(1 ) и для почти всех тЕМ ~*(х) = — Бп~ ~„(т) = 1пп [ — 1„(т)[ = йш 1„*(х). У ОО У ОО Аналогично получаем 1пп 1(1„") = — 1пп 1(~„). У ОО У ОО (4.8) Для последовательности функций (1„*) выполнены все условия теоремы.
Отсюда вытекают интегрируемость функции 1* и неравенство 1(1*) < 1пп 1(1„). (4.9) Отсюда же получаем интегрируемость функции 1 = — 1*. В силу соот- ношений (4.8) и (4.9) будем иметь 1(~) = -1(1") > — Бтп 1(1„) = 1пп 1(1„). У ОО Следствие 1 доказано. Т Т Следствие 2 (теорема Лебега о предельном переходе). Пусть (1 ) ен есть произвольная последовательность интегрируемых функций, сходящаяся почти всюду в М к функции 1. Предположим, что сугцествуют интегрируемые функции у и ф такие, что лри каждом и Е Ы для почти всех т Е М выполняются неравенства ~р(х) < Ях) < ф(т).
Тогда предельная функдия 1 интегрируема, причем имеет место равен- ство 1Я = Бш Щ ). Доказательство. Пусть последовательность (1 )уен удовлетворяет всем условиям следствия. Тогда при каждом и Е 1з имеем 1(у) < < 1Ц„) < 1(ф), так что последовательность (1(1" ))уел является ограниченной. Отсюда следует, что ее верхний и нижний пределы конечны. Так как 1(т) = аппп 1„(х) для почти всех т Е М, то, значит, У ОО 1(т) = Бпь Ят) почти всюду в М, поскольку предел последовательно- У ~ОО сти в случае, если он существует, является также ее нижним и верхним пределами. Применяя теорему 4.3, отсюда заключаем, что функция 1 интегрируема, причем имеет место неравенство 1(1) < 1пп 1( 1„). з 4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла 83 Далее, следствие 1 позволяет заключить, что имеет место также неравенство 1( Х) > Бш 1Ц„).
Так как, с другой стороны, Бпь 1( Х„) < я ОО я СО < 1пп 1( Х„), то из доказанного следует, что 1( 1) = 1пп 1Ц„) = Бп~ 1( Х ). Таким образом, верхний и нижний пределы последовательности (ХЦ„))„еи совпадают, причем их общее значение равно 1( Х). Это означает, что 1Ц) = 1пп 1Ц„). Следствие 2 доказано. Ъ' 4.3.2. Докажем некоторые простые утверждения о приближении инте- грируемых функций в К" непрерывными финитными функциями. ° Лемма 4.5, Пусть Х есть ступенчатая функция в пространстве К".
Тогда для любого открытого множества У, содержащего носитель функции Х по любому е > О, можно указать непрерывную финитную функцию у такую, что Брг (~р) С У, и имеет место неравенство ]]У вЂ” Р[]Б,(и-) < е ,ХХоказательстио. Обозначим символом т(~) функцию переменной 3 Е К, определенную следующим образом: т(1) = 1 при 1 > О и т(1) = О при 1 < О. Предположим, что дан полуинтервал и = [а„9), где — оо < < а < 11 < оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
