1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 20
Текст из файла (страница 20)
ЛАДХ) = ЛА~ (Ж) — ЛА~ (Х). По доказанному, функции ЛА7~ и ЛА( измеримы, и, следовательно, функция ЛА 7 также является измеримой. ° Лемма 5.4. Пусть ~ — неотрицательная функция. Тогда для любых множеств А, В С М выполняется равенство КАНВУ (ЛАУ ЛВП (5.7) Доказательство. Пусть 7' есть неотрицательная функция, А и  — произвольные подмножества М. Положим Е = А ~ В.
Пусть хеЕ. ТогдахЕА,хфВ. Для данного х имеем КВЯЖ) = У(х) ив то же время КАДх) = Дж), ЛВДх) = О. Значит, [КА7(х) — КВ7(х)]+ = [Дх)]+ = Дх), так что для данного х равенство (5.7) выполняется. Предположим, что х ~ Е. Тогда КВДЖ) = О. Возможны д в а случая: а) хе ВиЬ) хфВ. В случае а) могут иметь место две возможности: либо ж Е А и тогда ЛАДХ) = Дх) и ЛВДх) = Дх), либо х ф А и тогда ЛАДХ)— — ЛВ7(ж) = У(х) и [ЛА7(ж) — КВДЖ)] Таким образом, функции, стоящие в равенстве (5.6) слева и справа, принимают одинаковые значения для всех х е М, что и требовалось доказать.
Пусть 7": М вЂ” Й есть измеримая функция. Тогда для любого измеримого множества А функция ЛА7' является измеримой. Действительно, предположим сначала, что функция 7 неотрицательна. Тогда, как очевидно, имеет место равенство ЛАДХ) = пап(ОА(х), Дх)). Так как функции 7' и дА измеримы, то отсюда вытекает измеримость функции ЛА7". В случае, когда Дх) принимает значения произвольного знака, имеет место равенство Дж) = 7+(х) — 7 (х).
Отсюда следует, что для всех х б М 98 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных В случае Ь) х не является элементом множества А, нбо в противном случае х было бы, вопреки предположению, элементом Е. Значит, для данного х выполняется равенство»слоях) = »св1(х) = О. Тем самым лемма доказана. ° 5.4.2. Установим дальнейшие свойства олерац»»»» огораж»»ва»»ия. ° Лемма 5.5. Пусть ~: М вЂ” Й есть неотрицательная функция, (А»)»ет — непустое семейство подмножеств М, П есть объединение множеств данного семейства, У вЂ” их пересечение, и= ЦА„У= ПА,.
»ет »ет Тогда имеют место равенства Пи У = зпр ПА, У, И«У = 1п~ П,», У (5.8) »ет »ет Пусть (А„)„еи есть последовательность попарно непересекаюшихся подмножеств М, »»' — объединение множеств этой последовательности. Тогда (5.9) Доказательство. Пусть даны неотрицательная функция 1' и семейство множеств (А»)»ет, а множества П, У определены, как указано в формулировке леммы. Йз определения функции Лк~ следует, что для всякого множества Е С М для любого х Е М выполняется неравенство ПвЛх) < У(*). Пусть х ф»»". Тогда КпЯх) = О.
В этом случае х ф А» для всех 1 б Т и, значит, для данного х выполняется равенство Ля, Дх) = О, каково бы ни было 1 б Т, и равенство ци»(х) = зпрля,» »ет для данного х верно. Пусть х Е П. Тогда Лиях) = ~(х). В этом случае х принадлежит хотя бы одному из множеств А», 1 Е Т. Отсюда следует, что по крайней мере одна из величин Л,~,Дх) равна ((х) и, значит, зпр Лл, Дх) > Дх).
»ет з 5. Измеримые функции и множества 99 Так как при каждом 1 б Т имеем ЛА, ~(х) < Дх), то, с другой стороны, имеем зпрЛА,1(х) ( 1(х). 1ЕТ Значит, также и для данного х р ЛА,У(х) = У(х). 1ет П е р в о е из равенств (5.8) доказано. Докажем в т о р о е равенство (5.8). Пусть х е М. Если х ф Ъ', то ЛцДх) = О. В этом случае х не принадлежит хотя бы одному из множеств А1, ~ б Т, и, значит, по крайней мере одно из чисел Л,1, у(х) равно нулю. Отсюда следует, что для данного х имеет место равенство ш1 ЛА,Дх) = О = Л1 Дх).
1ЕТ Если же х е У, то Л1 Дх) = г"(х). В данном случае х Е А1, каково бы ни было 1 е Т. Отсюда вытекает, что для этого х для всех 1 е Т выполняется равенство Л,1, Дх) = у(х). Значит, ш1 Л,1, 1"(х) = 1 (х) = Л1 Дх). Тем самым доказано также и второе из равенств (5.8). Докажем равенство (5.9).
Пусть (А„)„ен есть произвольная последовательность попарно непересекающихся множеств, А — их объединение. Если х ф А, то ЛА„~(х) = О для всех и, и в этом случае равенство (5.9) выполняется. Предположим, что х Е А. Тогда ЛАДх) = Дх). В этом случае найдется значение ио б М такое, что х б А„,.
Так как множества А„ попарно непересекающиеся, то х ф А„при и;Е ио. Мы получаем, что в данном случае Л,1 Дх) = О при и ~ ио и ЛА„1'(х) = 1'(х) при ц = ио. Отсюда видно, что для данного х также будем иметь ЛАУ(х) 1~ ЛА У(х). «=1 Лемма доказана. ° Следствие. Для любых двух множеств А С М и В С М н любой неотрицательной вещественной функции ~: М - К выполняются равенства ЛАон~ = шах(ЛАу, Лву), ЛАон~ = шш(ЛА~, ЛвД. Для доказательства достаточно применить лемму 5.5 к случаю семейства, имеющего только два элемента. Т 100 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 5.4.3. Функция г: М вЂ” К далее называется обобщенно измеримой, если для всякого измеримого множества А С М функция ЛА|' является измеримой.
П' и м е ы обоб енно изме имых нк ий. Пример 1. Всякая функция, измеримая в обычном смысле, как следует из доказанного выше (см. п. 5.1, теоремы 5.2 и 5.3), является обобщенно измеримой. В частности, если функция |' интегрируема, то она также и обобщенно измерима. Пример 2. Другой пример обобщенно измеримой функции— функция, тождественно равная единице.
Пусть ~: М вЂ” К есть обобщенно измеримая функция, А — измеримое множество. Величина 1(КА Г ), если таковая для данной функции Г" определена, называется интегралом функции | ио множеству А. Для ее обозначения будем применять также выражение Интеграл ХА(х) др(х) = Г(ХА) называется мерой множества А в этой системе с интегрированием и обозначается символом аг.(А). Индекс Е в этой записи в дальнейшем опускается каждый раз, когда это не может привести к недоразумению. В случае, когда Е есть евклидова система с интегрированием в пространстве К" (см.
и. 2.1), понятие меры решает задачу строгого обоснования понятий объема и площади и имеет простой геометрический смысл. 5.4.4. Установим некото ые об е свойства изме имых нк ий и изме имых множеств в п оизвольной системе с интег и ованием ° Теорема 5.0. Для любых двух измеримых множеств А, В множества А 0 В, А П В и А 1 В измеримы. Для всякой последовательности измеримых множеств (А„) „ен объединение и пересечение множеств последовательности являются измеримыми множествами. Доказательство. Пусть А и  — произвольные измеримые множества.
Тогда функции ХА и ХВ измеримы. Применяя леммы 5.4 и 5.5 К функции э (Х) = 11 Получим, что ХАОВ = Шах(ХА ~ ХВ) р ХАПВ = шш(ХА,ХВ) и ХАЕВ = [ХА — ХВ1+. В силу теоремы 5.2 функции з 5. Измеримые функдии и множества 101 щах(Хл, Хн), пип(Хя, Хв) измеРимы. Таким обРазом, фУнкции Хд„н, Хлоп и Хя1в являются измеримыми, и, значит, А О В, А О В и А 1 В есть измеримые множества. . Пусть (А„) ен — произвольная последовательность измеримых множеств, У = О А" Р' = й А' Полагая в лемме 5.5 Дх) = 1, получим Хи = зпр Хя„Х~ = 1п1 Хл„ ~'ен ген Отсюда следУет измеРимость фУнкций Хп и Хи, а значит, и множеств У и У.
Теорема доказана. ° ° Теорема 5.10 (свойство счетной аддитивности интеграла как функции множества). Пусть У: М вЂ” + Й есть неотрицательная обобщенно измеримая функция, (А„),ен — последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств, У есть объединение множеств этой последовательности. Тогда имеет место равенство 1Л )4(*)=Кол )М ). У 1А„ Доказательство. Пусть (А„),ен есть произвольная последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств, У объединение множеств последовательности и 7 есть неотрицательная обобщенно измеримая функция. Тогда согласно лемме 5.5 имеем Функция ВпУ измерима в силу теоремы 5.7.
Согласно лемме 5.5 имеет место равенство Тем самым теорема доказана. ° 102 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Т Следствие (о счетной аддитивности меры). Пусть (А„)„еи есть последовательность измеримых множеств. Тогда если эти множества попарно не имеют общих элементов, то выполняется равенство Данное предложение следует из теоремы 5.10, если в условиях, содержащихся в ней, положить Дх) = 1. У ° Теорема 5.11. Для всякой убывающей последовательности измеримых множеств (А„)„ен такой, что д(Аз) конечно и пересечение множеств последовательности (А,)„еи пусто, справедливо соотношение 1пп д(А„) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
