1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Отсюда следует, что в этом случае тьп(иь(х),иг(х),...,и (х)) = 0 = ~д[Дх)]. Если 7'(х) Е ь."ь, то уд[7'(х)] = 1 и при каждом и = 1,2,...,т Уь(х) Е Ь| и, значит, иь(х) = 7~д„[Ях)] = 1. В данном случае щьп(иь(х), иг(х),..., и (х)) = 1 = хд [Дх)]. таких кубов конечно (см. з1 этой главы). Пусть ь."ь|, х = 1,2,...,т„,— асе те из этих кубов, которые пересекаются с множеством Е. Для каж- дого й = 1,2,... т„выберем произвольно точку уь Е сьь, принадлежа- щую Е. Положим Ф.(у) = Е Ф(уь)Хд,(у).
Функция Ф У( )) = ~ Ф(уь)Хд, Их)), как следует из доказанного, измерима. При ц -+ со имеем Ф,(у) Ф(у) для всех у Е Е. Действительно, возьмем произвольно точку у Е Е. Найдем й такое, что у Е ЩО, й). Пусть ьь„есть двоичный брус ранга ц, содержащий точку у. При ц > й имеет место равенство Ф„(у) = Ф(г„), где г„также принадлежит ьь„. Имеем ]г„— у] < 2 "/т, и, значит, у при и — со. Равенство (5.16), таким образом, доказано. В силу известных свойств измеримых функций (теорема 5.2) отсюда вытекает измеримость функции Хд[У(х)]. Зададим произвольно ь Е ь:ь и най ем все двоичньье ьь бвь аига и в п ест анстве К кото ые со е жат точки ьь ба 0 и .
Множество 108 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Поскольку функция Ф непрерывна, то Ф,(у) = Ф(г„) — Ф(у) при и — ~ оо. Из доказанного следует, что Ф,[1(х)) — Ф[1(т)] при и — + оо для всех т б М. Функции Ф„о1 все измеримы и, по доказанному, поточечно сходятся к функции Ф о 1". Отсюда следует, что функция Ф о 1" измерима. Теорема доказана. ° Следствие 1. Если система с интегрированием Е = (М,Я,1) счетна в бесконечности, то произведение любого конечного числа измеримых всюду конечных функций есть функция измеримая. Доказательство.
Это есть частный случай теоремы 5.12, получаемый, если взять Е = К и Ф(уыдз,...,у,„) = у1уз...у,„. Следствие 1 доказано. з Т Следствие 2. Если система с интегрированием Е = (М,Я,1) счетна в бесконечности и функции У: М вЂ” К, д: М вЂ” + К измеримы, причем д(т) ~ 0 для всех х Е М, то функция 6 = — измерима. ' У д Доказательство. Постаточно в условиях теоремы 5.12 положить т = 2, Е = ((т, у) б Кз [ д ~ О) и Ф(х, у) = —. Тем самым следствие 2 "э' доказано. я й 6. Измеримые множества и функции в пространстве К" В этом параграфе мы изучим свойства измеримых функций и множеств в евклидовой системе с интегрированием, т. е.
в системе, в которой базисное пространство есть К~, основными функциями являются ступенчатые функции, а интеграл определяется, как описано в параграфе 1. Здесь устанавливается измеримость открытых и замкнутых мноязеств пространства К" в этой системе с интегрированием. Указываются геометрические характеристики меры открытого множества. Определяется понятие внешней меры и устанавливаются некоторые ее простые свойства.
Лается геометрическая характеристика множеств меры нуль. Лля случая функций, определенных на числовой прямой К, здесь выясняется связь между теорией интегрирования, излагаемой в этой главе, и теорией интеграла, изложенной в главе 5. Устанавливается совпадение различных понятий интеграла для некоторых важных классов функций. 6.1. КУВическое ЛО РАЗ еление ОткРытОГО мнОжестВА Измеримость открытых множеств в пространстве К" мы получим как следствие некоторого общего утверждения о разбиении произвольного открытого множества в пространстве К" на кубы. Предварительно введем некоторые вспомогательные понятия. з б. Измеримые множества н функции в пространстве К" 109 Пусть х есть точка пространства К" и т — целое число. Символом а,(х) обозначим двоичный куб ранга г, содерэкащий точку х.
Пусть а есть двоичный куб в К". Он представляет собой некоторый и-мерный прямоугольник вида [аыЬг) х [вг,6г) х х [а„,6„). В этом случае определен замкнутый куб [амЬ,] х [аг, Ьг] х . х [а„,Ь„], который мы будем обозначать символом а. ° Лемма 6.1 (лемма о кубическом подразделении). Для всякого открытого множества пространства К" существует последовательность (а„)„ен попарно непересекающихся двоичных кубов такая, что нрн каждом и й 1З1 замкнутый куб а„содержится в У и имеет место ра- венство У= Ца .
(0.1) ]х' — х[ < 2 'з/и. Пусть го < 0 таково, что 2 "з/й < 6. Тогда если т > тв, то для всякой точки х' Е а,(х) будем иметь ]х' — х] < 2 'з/и < 2 ";/и < 6. Доказательство. Двоичный куб а мы будем называть допустимым, если его ранг неотрицателен и замкнутый куб а содержится в множестве У. Если а есть допустимый куб, то любой двоичный куб В С а также является допустимым, поскольку в этом случае ранг В не может быть меньше ранга а и, следовательно, ранг В неотрицателен и, как очевидно, 13 С а С У.
Допустимый куб а будем называть экстремальным, если никакой двоичный куб, содержащий а и отличный от а, не является допустимым. Множество всех экстремальных допустимых кубов обозначим через Й'. Если аг и аг — два различных элемента 6', то аг и аг не имеют общих точек. Действительно, допустим, напротив, что пересечение аг П аг непусто. Тогда в силу доказанных ранее свойств двоичных кубов (см.
З1) либо аг Э аг, либо аг Э аг. Так как, по условию, а1 ф аг, то это противоречит условию экстремальности каждого из кубов аг и аг Покажем, что всякая точка х б У принадлежит по крайней мере одному из кубов множества 4'. Действительно, пусть х Е У.
Найдем 6 > 0 такое, что шар В(х,6) содержится в У. Рассмотрим куб а,(х). Для всякой точки х' Е а,(х) имеем, очевидно, 110 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Это означает, что куб ьз„(х) содержится в шаре В(х,6) ь У. Отсюда вытекает, что для г > го куб гь,(х) допустимый. Пусть гь есть наименьшее значение г > О такое, что ьь,(х) есть допустимый куб.
Покажем, что куб гь„ь(х) экстремальный. Предположим, что это не так. Тогда найдется допустимый двоичный куб ~3, содержащий сь„(х) и отличный от ьь„,(х). Пусть гз есть ранг куба ь9. Тогда гз > О, ь6 = гь„(х). Так как ьб ф ьь„,(х), то гз < гь. Мы получаем противоречие с тем, что, по условию, гь есть наименьшее из чисел г таких, что куб а,(х) является допустимым. Таким образом, всякий куб гь Е 6' содержится в 6 и, как мы показали, любая точка х Е 0 принадлежит хотя бы одному из кубов сь Е 6'. Отсюда вытекает, что (6.2) аек Заметим, что всякий замкнутый куб б, где ьь Е 6', также содержится в У и любая точка х Е У принадлежит хотя бы одному из них. Отсюда следует, что также и (6.3) Докажем, что множество 6' всех экстремальных кубов гь бесконечно.
Множество У открытое. Покажем, что в У не существует точки, в которой функция ль. (хь,хз,...,х„) ь хь принимала бы свое наименьшее значение. Действительно, пусть х Е У. Тогда найдется 6 > О такое, что шар В(х,6) С ьь'. Пусть | Е (О, 6) и х' = х — 1еь. Тогда имеем ль(хь) = ль(х) — 1 < ль(х). Точка х Е 0 была взята произвольно, и, значит, в У нет такой точки, в которой функция ль принимала бы свое наименьшее значение.
Предположим, что 6' конечно. В силу (6.3) обьедииение кубов б, где ьз Е 6, совпадает с О. Так как каждое из множеств а ограничено и замкнуто, то, значит, в этом случае также и У ограничено и замкнуто, т. е. У компактно. В силу пзеорезььь Вейерьптрасса ь,глава 9, теорема 1.24) функция ль принимает на множестве У свое наименьшее значение, что невозможно! Итак, допустив, что Ф' конечно, мы получаем противоречие.
Так как множество всех двоичных кубов счетно, из доказанного следует, что 6' счетно. Занумеруем произвольным образом кубы, принадлежащие 6'. Пусть гь„есть куб с номером р Е И. Кубы ьь„попарно не пересекаются, и в силу (6.2) Ц ьь„= У. Лемма доказана. ° ь =1 'з б. Измеримые множества и функции в пространстве К" 111 6.2. ИЗМЕРИМОСТЬ ОТКРЫТЫХ И ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ В ПРОСТРАНСТВЕ Кк Лемма о кубическом подразделении открытого множества позволяет дать простое доказательство измеримости открытых множеств в пространстве К". Напомним, что в соответствии с общим определением, данным в З 5, функция |', определенная в К" почти всюду, называется измеримой, если существует последовательность ступенчатых функций (у„),ен такая, что р„(х) — Дх) для почти всех х е К".
В частности, всякая ступенчатая функция |р измерима. Пействительно, в этом случае последовательность (~р„)„ен, в которой <р, = у при каждом и Е 1з1, удовлетворяет всем условиям определения измеримой функции. ° Теорема б.1. Всякое открытое множество и любое замкнутое множество в пространстве К" являются измеримыми. ,Показательство. Пусть У есть произвольное открытое множество пространства К". Согласно лемме 6.1 найдется последовательность (а„)„еи попарно непересекающихся двоичных кубов такая, что (6.4) Индикатор двоичного куба а„при каждом и б М представляет собой ступенчатую функцию. Всякая ступенчатая функция является измеримой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
