1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Тогда ~С(х, С) -+ Х(хо, С) при т — со для любого С ф хо. Пусть ~р: С ~-+ фЦхо,С), ~р: С ~-+ ф)1С(х,С). Тогда, по доказанному, <р (С) — у(С) при т — оо для всякого С ~ хо, т. е. ~р (С) = = Бт ф(С) почти всюду. При всяком т имеем ]у ] < ] С]. В силу тпео- и-~со реми Лебена о предельном переходе (следствие 2 теоремы 4.3) отсюда вытекает, что (Т) р (С)дС - (Е) р(С)дС, т. е. Г(х ) — Г(хо) при т — оо. Непрерывность функции Г тем самым доказана. Возьмем произвольную точку хо б (а, Ь) '1Е. Функция У непрерывна в точке хо Зададим произвольно е > О и найдем по нему б > О такое, что если х б (а, Ь) 1 Е таково, что [х — хо] < б, то ]Дх) — С(хо)] < е.
Пля всех С из интервала (хо — б, хо + Ь) выполняются неравенства 122 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Возьмем произвольно х Е (хо — Ь, хо + Ь), х ~ хо. Тогда Г(х) — Г(хо) = (Г) ~(1) й при х > хо, ~о ~о Г(х) — Г(хо) = -(Ь) У(1) ~И при х < хо. В силу неравенства (6.7), очевидно, щха) — еНх — хо) < ( г) Ф) й~ < (у(хо) + е)(х — хо) ~о для случая х > хо и ~а %хо) — е)(хо — х) < (~) У(~) й < (Яхо) + е)(хо — х) для случая, когда х < хо. Отсюда получаем, что Г(х) — Г(хо) х — хо Так как е > О произвольно, то из доказанного вытекает, что функция Г дифференцируема в точке хо, причем Г'(хо) = Дхо).
Функция Г, таким образом, удовлетворяет всем условиям в определении первообразной. Следовательно, У интегрируема в смысле Ньютона. Отметим, что Г(Ь) — Г(а) = (ь) Дз) ~й, а т. е. 3 ь (1з') ЕЯ й = (Ь) ДМ) М. Необходимость условия теоремы, таким образом, установлена. 6. Изме имые множества и нкции в и ост аястве К" 123 Докажем д о с т а т о ч н о с т ь условия теоремы. Пусть 1' есть функция, непрерывная в основном на промежутке [а, Ь], причем функция Щ интегрируема на промежутке [а, Ь].
Предположим сначала, что функция ~ неотрицательна. Пусть 1— ее нулевое продолжение на К. Ясно, что ~ есть непрерывная в основном функция. Имеет место равенство (У) ~(х) Их = (Ф) Дх) Нх. По лемме 6.2 найдется последовательность неотрицательных ступенчатых функций ~р„такая, что для всякого х Е К числовая последовательность (у„(х))„еу возрастает и стремится к пределу, равному Дх) для всякого х, не принадлежащего некоторому не более чем счетному множеству Е.
При каждом т имеют место неравенства (У) Дх) дх > (Ф) ~р„(х) Их. (6.8) Для ступенчатых функций интегралы в смысле Лебега и в смысле Ньютона с о в и а д а ю т по определению, и, значит, при каждом и верно равенство (Ф) ~р„(х) Их = (Ь) ~р„(х) ~Ь. (6.9) Неравенство (6.8) и равенство (6.9) позволяют заключить, что последовательность интегралов ограничена сверху. На основании пзсоремы Леви (следствне 3 теоремы 4.1) получаем, что функция 1 интегрируема в смысле Ламбега на К, и для неотрицательных функций достаточность условия теоремы доказана.
Предположим, что г" — непрерывная в основном функция такая, что Щ интегрируема в смысле Ньютона на [а, Ь]. Тогда 1' также интегрируема на [а, Ь] в смысле Ньютона и, значит, каждая из функций /+ и 1 интегрируема в смысле Ньютона на отрезке [а, Ь]. На основании доказанного отсюда вытекает, что 1'+ и ~, а значит, и г' интегрируемы на [а, Ь] в смысле Лебега.
Теорема доказана. ° 124 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 2 Т. Теорема Фубини и ее следствия 7.1. ТеоРемА ФУБини В дальнейшем мы часто будем применять следующее представление пространства К". Пусть н > 2, и и т есть натуральные числа такие, что 7с + т = н. Пространство К" будем отождествлять с произведением Кь х К, рассматривая произвольную точку х = (хз,хз,..., х„) б К" как пару (у,я), где у = (У1, уз,..., Уь) б К~ и я = (яз, яз,..., г ) б К™, причем у; = х; для 1 = 1,2,...,Й и з1 = хь+ при каждом з = 1,2,...,т.
Для произвольной функции 7, определенной в К", ее значение Дх) в точке х = (у, я) б К" будем обозначать символом 1(у, г). Пусть даны произвольные множества В С К~ и С С К . Множество А всех точек х = (у, я) б И", для которых у б В, а я б С, будем обозначать символом В х С. Пусть Хв есть индикатор множества В в пространстве К", а Хс — индикатор множества С в К . Тогда для всякого х = (у, г) Е К" имеет место равенство Хл(х) = Хв(У)Хс(я). (7.1) Действительно, если ХА(х) = О, то х р А и, значит, или у ф В, или я ф С. Отсюда следует, что в этом случае один из множителей в правой части (7.1) равен нулю и тогда равенство (7.1) верно. Если же ХА(х) = 1, то х б А и, значит, у Е В, а я Е С. Следовательно, Хв(У) = 1 Хс(я) = 1, так что равенство (7.1) выполняется и в этом случае. Если В С Кь есть к-мерный прямоугольник, а С С К т-мерный прямоугольник, то А = В х С есть и-мерный прямоугольник.
Всякий н-мерный многоугольник А может быть представлен в виде А = В х С, где В и С есть прямоугольники соответствующей размерности в пространствах К и К . Действительно, пусть А = (а1,Ь1) х х (а„,Ь„) = П(а,Ь ). 1=з В этом параграфе доказывается, что интеграл функции в И" может быть получен как результат последовательного выполнения одномерных интегрирований. Сначала рассматривается случай интегрируемых в К~ функций. Затем доказывается справедливость аналогичного утверждения для неотрицательных измеримых функций. з 7. Теорема Фубнни и ее следствия 125 Тогда, очевидно, А = В х С, где В = (а1,Ь1) х х (аыЬ|) = Д(а~,67), уж 1 а С = (аь+1,6ь+1) х . х (а„,Ь„) = Д (а,Ь1).
7шь+1 Для прямоугольника А = В х С имеет место равенство (7.2) р„(А) = рь(В)р (С). Если прямоугольник А является двоичным кубом ранга г в пространстве К", то множители В и С в представлении А = В х С прямоугольника А являются двоичными кубами ранга т в пространствах К~ и К соответственно. ° Лемма 7.1. Пусть 7' есть ступенчатая функция в пространстве К" = Кь х И™. Для всякого у б Кь функция г Е К ~-~ 1(у, г) является ступенчатой в К, идля любого э Е К™ функция у б К~ 7(у,г) есть ступенчатая функция в К~. Если (7.3) и Г(у) Иу = 0(э) ~Ь = У(т) Их.
(7А) ,Показательство. Пусть 1 есть ступенчатая функция в пространстве И". Тогда согласно определению ступенчатой функции (см. з1) имеем ! Пх) = ~~~ Ь,Х.з(т), где Й; — вещественные числа, о;, 1' = 1,2,...,1, — двоичные кубы в пространстве И". Каждый из кубов о можно представить как произведение 111 х у, где В есть двоичный куб в К», а у — двоичный куб в К то Г и 6 есть ступенчатые функции в пространствах И™ и И~ соот- ветственно.
При этом имеют место равенства 126 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных В силу равенства (7.1) имеем Х з(у, а) = ха,. (у)Х,. (а) при каждом 1,2,...,1. Отсюда получаем, что для всякого ж = (у,я) Е К" выполняется равенство 1(у, я) = ~, Ь Хя,. (у)Хзз(а). Из данного равенства непосредственно видно, что при фиксированном у Е Иь отображение а 1(у,а) есть ступенчатая функция в пространстве И и при любом фиксированном а Е К™ отображение у ~-+ 7'(у, а) есть ступенчатая функция в К . ь Далее, используя представление интеграла ступенчатой функции, установленное в з 1, получим, что и, аналогично, 6( ) =,~. Ь;РьР1)К„(а). 1=а Отсюда видно, что функции Г и 0 являются ступенчатыми.
При этом и, аналогично, Лемма доказана. ° Вве ем некого ые в еменные обозначения. Пусть дана функция У: К"- К. Для произвольной точки уЕК символ Я„г" обозначает функцию, определенную на К™ следующим условием: Я„1(я) = 1(д, а) для всех г Е К™. Полагаем г'(у) = 1!~яУ!1ь (и 1 Для произвольной точки а Е К пусть о,1 есть функция у Е К ~ Ду,а). Символом 0(а) обозначим Ь|-норму функции и,~ в пространстве И . ь ° Лемма 7.2. Для всякой функции г': К" — К имеют место неравенства '6Дьци > > ))Г)~ьциар )(Дь,<и»> > 60)~ьПи > (75) з 7. Теорема Фубини и ее следствия 127 Доказательство.
Если )(Дь,1и 1 = оо, то неравенства (7.5), очевидно, верны. Будем далее предполагать, что величина ОЯь,1и 1 конечна. Зададим произвольно е > О, и пусть (~р„)„еи есть последовательность ступенчатых функций в пространстве К", мажорирующвя функцию У и такая, что йш ~р„(х) Нх < ~)Дь,1и.1+ е. Согласно данному в з 2 определению последовательности функций, мажорирующей функцию 7", функции ~р„неотрицательны, для всякого х Е К" последовательность (у,(х))„еи возрастающая, причем 71х) < 1пп у„(х).
При каждом у Е Кь определены функции Я„~ и Я„у„. Функции Я„у„являются ступенчатыми в пространстве К . Для любого х Е К выполняется неравенство Я„у„(х) > О и последовательность (Я„у„(з))„ен является возрастающей. При этом имеет место неравен- ство Я„7(х) < йш Я,<р„(х). Г(у) = ~ф„Дь,<и 1 < 1пп Я„~р„(г) сЬ. (7.6) и Положим и Функция Ф„, как следует из леммы 7.1, является ступенчатой в пространстве Кь. При каждом и Е г1 интеграл от функции Ф„по пространству К~ согласно лемме 7.1 равен интегралу от функции у„по пространству К".
В силу известных нам свойств интегралов ступенчатых функций функция Ф„неотрицательна и последовательность (Ф„)„еи является возрастающей. Таким образом, при каждом у Е К~ мы имеем последовательность ступенчатых функций в пространстве К, мажорирующую функцию Я„У. Из определения Х~-нормы непосредственно вытекает, что 128 Гл. 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
