1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Тогда если заключение теоремы 8.1 верно для множеств П, У и днффеоморфнзма 1о, а также для множеств У, И' и днффеоморфизма Ф, то оно верно также н для множеств У, И' и днффеоморфизма В = ф о <р. Яоказательство. В силу сделанного предположения для диффеоморфизма ф и множеств У и И" = ф(У) заключение теоремы верно. Это означает, что если 1 есть интегрируемая функция, то функция о = ф~ является интегрируемой на множестве У, причем имеет место равенство | Ар)ВУ= ИЬ)1р= Яз)В .
У н' з 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 147 Поскольку утверждение теоремы 8.1, по условию, верно для для диффеоморфизма у, то мы получаем, что так как функция д: Ъ' — К интегрируема, то функция ~рд также является интегрируемой, неотрицательной и измеримой, причем имеет место равенство ~рд(х) Их = д(у) Ну = Х(г) йз. Согласно определению д(у) = Х[ф(у)Р(у, ф)[ уд(х) = У[4фр(х))][Х(р(х),ф)[[Х(х,у)[. (8.3) Пусть х Е У, у = у(х). Отображение д дифференцируемо в точке х. При этом 4В. =4ф„.
Ьр.. Определитель суперпозиции двух линейных отображений пространст- ва К" в себя равен произведению определителей этих отображений. От- сюда вытекает, что Х(х,д) = Х(у(х), ф)Х(х, р). В силу (8.3) получаем, что сР(фХ)(х) = Х [д(х)][,У(х, д)[ = ВХ(х). Лемма доказана. ° Пусть А есть произвольное подмножество К". Для произвольной функции Х: А — ь К полагаем 'Х,~( Х) = ] Х(х) Их.
(Предполагается, что А множество А и функция Х таковы, что выписанный здесь интеграл имеет смысл.) В случае А = К" вместо Хи (Х) будем писать просто Х(Х). Пусть о' = [ам Ь1 ) х [аз, 6з) х ° ° х [а„, 6„) есть двоичный куб в К". Символ о обозначает замкнутый куб [а1,6з] х [аз,Ьз] х . х [а„,Ь„]. ,! ° Лемма8.4. Пусть У есть открытое множество в пространстве К", у: У К" — диффеоморфизм, Р = у(У). Тогда если Х: Р— К есть индикатор двои чного куба о С У, то функция Х о у измерима. При этом Х о у есть индикатор множества у з(о). Предположим, что для всякого двоичного куба о такого, что замкнутый куб У С $', функция ~рх интегрируема и значение интеграла этой функции по У равно мере куба о. Тогда заключение теоремы 8.1 верно для любой функции Х Е Х |(ХХ). 148 Гл.
13. Интегральное исчисление функций многих переменных Доказательство. Пусть е есть двоичный куб, содержащийся в множестве У, о = [аы6~) х [аз,Ьз) х . х [а„,Ь„). Условие ~р(х) Е и означает, что компоненты функции у удовлетворяют неравенствам сч < ~р;(х) < Ь;. Множество А; = (х б (1 ! а; < ~р;(х)) замкнуто относительно 11, множество В; = (х б 11 ! Ь; > <р;(х)) является открытым. Отсюда, как доказано в з 6, вытекает, что множества А; и В; измеримы. Значит, также и пересечение всех множеств А;, В;, ~ = 1,2,..., и, измеримо.
Мы получаем, таким образом, что множество <р '(и) является измеримым. Если х ~ у а(п), то ~р(х) ~ и и, следовательно, 1(„[~р(х)] = О. Если же х б у а(а), то ~р(х) б о и, значит, в этом случае также и х [~р(х)! = 1. Для любого конечного набора функций иа, из,..., и, определенных на множестве У', и чисел А;, з = 1, 2,..., и, как нетрудно видеть, имеет место равенство Отсюда вытекает, что если теорема 8.1 верна для случая, когда функция 1 есть индикатор двоичного куба, замыкание которого содержится в У,то теорема верна для всякой ступенчатой функции, финитной относительно У. Предположим, что теорема 8.1 верна для случал, когда 1 есть ступенчатая функция, финитная относительно У.
Пустьданафункция и: У вЂ” «К. Определим по ней функцию~ри: (1 -+ К. Функции и и ~ри продолжим на все К", полагал и(у) = О при у ~ У и ри(х) = О при х ф (1. Докажем, что (8.4) Если !!и[!ь,(н > = оо, то неравенство (8.4), очевидно, выполняется. Будем считать, что [!и![ь,(н 1 < оо. Зададим произвольно е > О.
Пусть (1„)„ен есть произвольная последовательность ступенчатых функций, финитных относительно У, которал мажорирует функцию и и такова, что Пгп [!и![ь,(н 1 < [[и![ь,(н 1+ е. СУществование такой последовательности вытекает из леммы 8.1. Последовательность (1„) ен является возрастающей. При всяком у Е У имеем Пт 1„(у) > [и(у)!. Положим д„= ~р1„. Из условий леммы следует, что функции д„ неотрицательны и интегрируемы по с(.
При этом 1ц(д„) = 1рЦ ), 149 з 8. Формула замены переменной в кратном интеграле последовательность (д„)„ен возрастающая, причем для всех х б 11 имеет место неравенство уи(х) < 1пп д„(х). Будем считать, что д„(х) = О при х ф 11. Положим 1пп д„(х) = д(х). У ОО Функция д интегрируема, причем 1(д) = Вт 1(д„) = Вт 1Ц,) < У ОО У ОО < !!и!!ь,1и 1+с.
В силу неотрицательности функции д имеем !!д!!ь,1н.1 = = 1(д). Так как Ди(х)! < д(х) для всех х б К", то !Ди!!ь, < !!д!!с, < < !!и!!ь,1и 1+ с. Следовательно, мы получаем !Ди!!ь, < Вгп 1ъ Ц.) < !!и!!ь,(н-1+ е. Так как е > О было выбрано произвольно, отсюда следует, что неравенство 8.4 верно также и в случае, когда !!и!!ь, < оо. Согласно лемме 8.2 для всякой функции 1, определенной и интегрируемой на множестве У, найдется последовательность (1„)„ен ступенчатых функций, финитных относительно У, такая, что !!1 — 1„!! — О при и — + оо.
При каждом и Е 11 имеем Д~ — 1„) = р1 — ~о 1„и, значит, !!<р1 — д71,!!ь, = !!٠— 1 )!!ь, < !!У вЂ” 1„!!ь„. Выражение справа стремится к нулю при и -О оо, и мы, следовательно, получаем, что Р1 'рУу!!ь, стремится к нулю при и — оо. Отсюда вытекает, что функция у~ интегрируема. При этом 1п(~р~) = Вт 1п(у~„). Так как из условий леммы следует, что для ступенчатых функций, финитных относительно П1, теорема верна, то 1п(Д„) = 1РЦу).
При и -+ оо величина 1и( 1„) стремится к пределу, равному 1ПЦ), и окончательно получаем, что 1п(~р~) = 1ИЦ). Лемма доказана. ° 8.4. ЛЕММА О ПРЕ СТАВЛЕНИИ ИФФЕОМОРФИЗМА КАК СУПЕРПОЗИ ИИ ЛИФФЕОМОРФИЗМОВ СПЕ ИАЛЬНОГО ВИДА На этом этапе доказательства теоремы 8.1 будет показано, 'что произвольный диффеоморфизм открытого множества в К" локально может быть представлен как суперпозиция диффеоморфизмов некоторого специального вида.
Пиффеоморфизм у: х б 0 (<р~(х),уз(х),...,у„(х)) назовем простым ~р;(х) = х; при каждом г' < и. Пусть τ— отрезок (1, 2,..., и) множества всех натуральных чисел 81. Всякое взаимно однозначное отображение множества П„на себя называется перестановкой порядка и. 150 Гл.
13. Интегральное исчисление функций многих переменных Если Л: 1„- $„— перестановка порядка п, то значение Л на элементе 1 б 1„обозначается символом Л;. Перестановку порядка п можно рассматривать как конечную последовательность (Л1, Лз,...,Л„). Если Л есть перестановка порядка п, то обратное отображение Л 1 = р также есть перестановка порядка и. Для любого 1 = 1,2,..., и имеем Льч — — 1 и р1,. = 1. Отображение Ф: К" — К" будем называть перестоановной независимых переменных, если существует перестановка Л порядка и такая, что для всякой точки х = (х1, хз,..., х„) б К" имеет место равенство ~р(х) = (х~„хА„..., х1„).
В этом случае у является отображением пространства К" на себя, у взаимно однозначно и принадлежит классу У . Обратное отображение также есть перестановка независимых переменных, а именно: если р = Л 1 есть перестановка, обратная к Л, то, как легко проверяется, р '(х) = ( „,х„,".,х..) для любого х = (хы хз,..., х„). Отсюда следует, что ~р есть диффео- морфизм. ° Лемма В.б. Пусть У есть открытое множество в прострвлстве К", у: У -+ К" — днффеоморфизм. Тогда для всякой точки хо б У найдется т > О такое, что шар В(хо, т) С У и отображение <р допускает на шаре В(хо, т) представление (8.5) у=~одоф, где с — лерествловка независимых переменных, В есть диффеоморфизм такой, что д„(х) = х„, а 4 есть простой днффеоморфнзм. Доказательство. Пусть 1о: У вЂ” К" есть произвольный диффеоморфизм множества У.
Возьмем произвольно точку хо б У. Рассмотрим якобиан этого отображения в точке хо. Он представляет собой определитель, последний столбец которого образован производными дно; — (хо), 1 = 1,2,..., и. Так как ~р, по условию, есть диффеоморфизм, ха дф; то 1(хо, 1о) у~ О и, следовательно, хотя бы одна из производных — (хо), хо 1 = 1,2,..., и, отлична от нуля. 151 ~ 8. Формула замены переменной в кратном интеграле 8 (у)=ы [Ф 1Ь)]=и (х) Пля точки у = ф(х) ее и-я координата у„равна м„(х).
Следовательно, мы получим, что о'„(у) = у„. Диффеоморфизм д выражается через ~р следующим образом: д=ыоф 1=~оуоф Отсюда у = с ' о до Ф. Очевидно, Г' = с. Полученное представление отображения у и есть искомое. Лемма доказана. ° 8.5. ОкАзАтельстВО теОРемы 8.1 Используя результаты, полученные в пп. 8.1-8.4, мы можем доказать теорему 8.1. Пусть б' есть открытое множество в К", <р: У вЂ” К" — диффеоморфизм множества У, У = у(У).
Требуется доказать, что для всякой интегрируемой функции г": У вЂ” ~ К функция у1(х) = Ду(х)]Щх, <р)] интегрируема, причем р1(х) 4х = ХЬ) 8у (8.6) и Предположим, что — (хо) ~ О. Пусть с — перестановка независидрь дх„ мых переменных такал, что для произвольной точки х = (хы хз,..., х„) координата С;(х) точки С(х) равна х;, если з ~ Й и в то же время 1 ~ и. Палее, пусть Ях) = х„и с„(х) = хь. Положим ы = с о ~р.
Координата ы„(х) точки ы(х) равна ~„[~р(х)] = ~оь(х). Отсюда следует, что дыа — "(хо) ~ О. дх„ Теперь определим отображение ф: У -~ К", полагая ф(х) = (хм хз,..., х„1,ы„(х)). Якобнан отображения ф в точке х Е У, как ды„ нетрудно видеть, равен — (х). Из определения функции и„следует, дх„ что 1(хо, ф) ф О. По лемме о локальном диффеоморфизме (лемма 2.1 главы 10) найдется 6 > 0 такое, что шар В(хо,б) С У и ограничение отображения ф на шаре В(хо, 8) есть диффеоморфизм. Пусть 61 = 4~[В(хо,б)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
