1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Нетрудно показать, что если функция 1 интегрируема в окрестности точки оо, то при некотором Ь > 0 функция ил интегрируема в К". Обратно, если функция 1 не интегрируема ни в какой окрестности точки оо, то для любого Й > 0 функция ел не является интегрируемой в Кп 1б5 з 9. Сходнмость в Ьз.
Пространство Хз Вопрос, таким образом, сводится к выяснению того, когда функция оь является интегрируемой. Чтобы ответить на этот вопрос, применим формулу Кавальери — Лебега (теорему 7.3). Пусть Е„„($) = (х е К" ! оь(х) > 1). При 1 > Ь множество Е „(ь) пусто. Если Дх) < Ь, то, как видно из определения функции оь, для этого х имеет место равенство иь(х) = Дх). Это позволяет заключить, что при О < 1 < 6 множество Е„ь(1) совпадает с множеством Лебега Еу(г) = (х е И" ! Дх) > 1) функции |.
Следовательно, мы получаем, что при О < ь' < и выполняется равенство Еьь (1) Нр Применяя формулу Кавальери — Лебега, отсюда получаем, что | пг ил(х)йх = р (ЕььЯ]йг = 1„+, + +, >7„. Интеграл справа сходится в том и только в том случае, если выполняется неравенство Рз + Рт + ''' + Рь Л Отсюда получаем, что для интегрируемости функции У в окрестности точки со необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство Р1 + Р2 + + Рь < Л 1 р Полагая Рз — — Рт — — ..
— — р„= —, Л = —, получим, что функция 1 " 2' 2' Дх) = — интег и ема в ок естности точки в том н только в том !х!" 1 случае, если р < п. Функция Дх) = — интег и ема в ок естности !х!" точки сю тогда и только тогда, когда р > и. й 9. Сходимость в Ь,. Пространство Ь, В этом параграфе в дополнение к доказанным ранее теоремам о предельном переходе под знаком интеграла будут показаны некоторые другие теоремы, которые во многих случаях оказываются полеэнымв.
Ввалятся понятие сходнмостн в Ьз. Лля него устанавливается аналог критерия сходнмостн Коши — Больцано. Заметим, что Бз-норма является, строго говоря, полунормой на множестве всех интегрируемых функций, н множество всех интегрируемых функций формально не является банаховым пространством. В этом параграфе опнсывается обшая конструкция, посредством которой преодолевается возннкаюшая таким образом трудность. 166 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 0.1. Схо имость в Ь Зададим произвольно систему с интегрированием Е = (М,Я, Х). Пусть (Х„)„ен есть произвольная последовательность функций, принадлежащих классу Х,1(Е).
Данная последовательность называется сходящейся в Ь1(Е), если существует функция 1 Е Ь1(Е) такая, что величина !!Х, — Дь,1в> стремится к нулю при и — оо. Если последовательность функций (Х„)„ен сходится к некоторой функции 1 в Х,1(Е), то, как было показано ранее (лемма 4.1), при и — оо также и 1(1,,) — 1( Хо).
Следующее утверждение показывает, что результат гпеоремы Лебега о предельном переходе может быть несколько усилен. а Предложение 0.1. Пусть (1„)„ен есть произвольная последовательность интегрируемых функций, сходящаяся почти всюду в М к функции 1. Предположим, что существуют интегрируемые функции у и Ф такие, что нрн каждом и б балля почти всех х е М выполняются неравенства у(х) < Ях) < ф(х). Тогда предельная функция Х интегрируема и функции Х„сходятся к 1 в Х1(Е).
Доказательство. Пусть выполнены все условия данного предложения. Тогда р(х) < 1(х) < ф(х) и у(х) < Х„(х) < ф(х) почти всюду в М. Отсюда вытекает, что !Ях) — Х(х)! < ф(х) — <р(х) почти всюду в М. В силу теоремы Лебега отсюда вытекает, что 1(~~„— 1!) — О при и -+ оо. Это означает, что !!Մ— Дь,<п~ -+ О при и — ~ со. Предложение доказано. е ° Теорема 0.1 (критерий Коши — Больцано сходимости в Х1).
Для того чтобы последовательность (Х„) ен функций класса Ь1(Е) была сходящейся в Хы необходимо и достаточно, чтобы для всякого г > О можно было найти номер Р такой, что для любых и1 > Р и из > Р выполняется неравенство !!Х„, — Х„,!!ь,~в1 < е. Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что для последовательности (Х„)„ен функций класса Х1 существует функция Х е Х1 такая, что !!Մ— 1!!ь, — О при и — оо. По определению это и означает, что данная последовательность является сходящейся в Х 1.
Зададим произвольно е > О. Положим е~ —— е(2. Пусть б б Х таково, что для всякого и > и выполняется неравенство !!Մ— Х!!ь, < е1. Тогда для любых и1 > й и из > Р выполняются неравенства Так как е > О было взято произвольно, то необходимость условия теоремы доказана. з 9. Сходимость в Ь|. Пространство Ь| 167 !!У У .![ь 2ь По индукции определим последовательность номеров (иь), х = 1, 2,.... Полагаем и = и. Если для некоторого х номер иь определен, то мы полагаем из+ ~ — — пзах(иь + 1, йь+ ~ ). Из определения последовательности 1иь)ьен следует, что при каждом Й имеет место неравенство иь < иь+м так что последовательность [иь)ьен является возрастающей.
Далее, при каждом Й, очевидно, имеем иь > рь. Определим некоторый функциональный ряд [иь]ьен, полагая и~ = = 7'„„и для всякого Й > 1 полагаем нь = 7'„, — ~„„,. Так как иь > > иь ~ > иив ~, то при всяком Й > 1 имеет место неравенство 1 2ь-' Поэтому мы можем утверждать, что ,'[ ![из[!ь,1н1 < сс.
я=1 На основании теоремы о нормально сходящемся ряде (теорема 4.1) отсюда следует, что для почти всех х б М определена и конечна сумма ~~) нь(х) = г"(х). к=э [9.1) Д о о п р е д е л и м функцию г, полагая г1х) = О для тех х, для которых ряд (9.1) либо не определен, либо является расходящимся. Таким образом, определена некоторая функция ~: М вЂ” К. Докажем, что последовательность [7„)„ен сходится в А~ к этой функции 7'. Согласно теореме о нормально сходящемся ряде, при всяком т е 91 имеет место неравенство Докажем д о с т а т о ч н о с т ь условия.
Предположим, что последовательность [~„)„ен функций из класса Ь~(Е) такова, что для всякого е > О можно указать номер Р такой, что для любых и~ > р и из > р выполняется неравенство !!7„, — У„,!!ь,1нр Требуется доказать, что тогда найдется функция 1 е Ь|(Е) такая, что величина !!~„— Дь, стремится к нулю при и — сс. Пусть Рь Е 'г1 таково, что для любых и~ > ия и из > Рь выполняется неравенство 168 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных Заметим, что при каждом т выполняется равенство 2,' иь = 1, а=1 Таким образом, при всяком т Е М выполняется неравенство Зададим произвольно е > О, и пусть Р таково, что для для любых Я и~ > р и иг > Р выполняется неравенство !!ӄ— 1„,!!ь 1н1 < —. 2 Возьмем произвольно о > р. При каждом и е г1 выполняется неравенство !!УЛ!Ь<!!УУ!!г+!!УХ!!ь Прн й -+ оо также и иь — оо и, значит, найдется номер йо такой, что при всяком Й > Йо выполняется неравенство иь > р.
Для всех Й > Йо мы будем иметь !!Л Уиа!!ь, < и, следовательно, !!У~ У!!е~ 2 + !!Х~~ У!!ь~ ° Переходя в последнем неравенстве к пределу при к — со, получим Таким образом, мы получаем, что для всякого и > й выполняется неравенство Так как е > О произвольно, то из доказанного следует, что !!1„— 1 !! ь, — О при и — со. Мы получаем, что рассматриваемая последовательность (1„)„ен является сходящейся в Ь|. Теорема доказана.
° ° Лемма 0,1 (лемма о приближенно мажорируемой последовательности). Предположим, что (~„)„ен есть последовательность интегрируемых функций, сходящаяся почти всюду на М к некоторой функции 1'. Предположим, что для всякого е > О можно указать неотрицательную интегрируемую функпню и: М вЂ” К такую, что для всякого и Е Р1 выполняется неравенство !!1!Я вЂ” и)+!!ь, < е. Тогда предельная функция 1 ннтегрируема и последовательность функций (1„)„ен сходится к ней в Х з. 9 9. Сходимость в ь1. Пространство А1 169 Яоказательство. Предположим, что выполнены все условия леммы. Рассмотрим сначала случай, когда функции ~„ и ~ неотрицательны. Зададим произвольно г > О. Согласно условию теоремы по этому г найдется неотрицательная интегрируемая функция и такая, г что для всякого р Е К выполняется неравенство !!(1„— и)+!!ь < г1 — — —. 1 Положим Ь„= (~„— и)+, и пусть д„= ~„— Ь„. Функцию (~ — и)+ обозначим символом Ьо. Положим также до — — ~-Ьо.
Если У„(х) > и(х), то 6„(х) = ~„(х) — и(х) и д„(х) = и(х). Если же Ях) < и(х), то 6„(х) = О, и, значит, для этого х имеет место равенство д„(х) = ~„(х). Мы получаем, таким образом, что функция ~„может быть представлена как сумма ~, = д„+ Ь„, где функция д„такова, что О < д„(х) < и(х), а Хпнорма функции Ь, мала. Можно сказать, что функция и приближенно мажорирует последовательность функций (~„)„еи. Для всякого х Е М, для которого Ях) — Г"(х) при и — оо, также 6„(х) = (~„(х) — и(х))+ -~ (Ях) — и(х))+ и, значит, также и д„(х) = ~„(х) — 6„(х) — ~(х) — Ьо(х) = до(х).
Таким образом, мы получаем, что последовательность функций (д„)„еи сходится почти всюду к функции до, а последовательность (Ь )„ещ сходится почти всюду к функции Ьо. Так как функции Ь„неотрицательны, то в силу теоремы Фатлу (теорема 4.3) функция Ьо интегрируема, причем имеет место неравенство 1(Ьо) < 1пп 1(6„) < гз.
Для последовательности функций (д„),еи выполняются условия теоремы Лебега (следствие 2 теоремы 4.3). В силу предложения 9.1 отсюда вытекает, что эта последовательность сходится к функции до в Лы т. е. !!д„— до!!ь, -~ О при и — со. Отсюда следует, что найдется номер й такой, что для всякого и > р имеет место неравенство !!д. — до!!ь, < г1. Для всякого и > р имеем !!Х Л!ъ, = !!Ь +д до Ьо!!ь < !!Ь~!!ь + !!д — до!!ь. + !!Ьо!!ь < 3г1 = г 170 Гл. 1З. Интегральное исчисление функций многих переменных В силу произвольности е > 0 этим доказано, что [[Х„-Дь, — 0 при и — со. В проделанных рассуждениях предполагалось, что функции Х„и 1 неотрицательны.
т-..р. р- .*р. жуа ~~~~. пр~, вательность (Х„)„ен удовлетворяет всем условиям леммы. Тогда [Х„(х)[ — [11х)[ для почти всех х б М при п — со. При каждом х, для которого величина Х„(х) определена, имеем [Ях)]+ < Щх)[. Функция з й К (г — Й)+ является возрастающей. Следовательно, [[Ях)]+ — и(х)) < Я„(х)[ — и(х))+ для почти всех х й М, т. е. (Х+ — и) < ([Я вЂ” и)+. Отсюда видно, что если функция и Е Х~ (Е) такова, что 1~[[Я вЂ” и]+) < е, то верно также неравенство 11[1+ — и] ) < е. Применяя проделанные выше рассуждения к последовательностям нео- трицательных функций ([Я)„ен и (Х~) ~,„, получим, что [[[1„[ — [Я[[с,1п1 — 0 и [[Х+ — У+ [] 1 — 0 при и — оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
