1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Принимая во внимание, что выполняются равенства 1„= 21+ — [1„[ и 1 = 21+ — [1[, отсюда получаем, что [[1„— 1[[с,1п1 — 0 при и — оо. Лемма доказана. ° ° Теорема 9.2 (теорема Валле — Пуссена). Пусть Е = (М,Я,Х) есть система с интегрированием.
Пусть А С М есть множество, измеримое в Е, и (Х„: А — К)„ен — последовательность измеримых функций, определенных на множестве А, сходящаяся почти всюду на множестве А к некоторой функции 1: А — К. Предположим, что мера множества А конечна и существует возрастающая функция <р: [О, оо) — [О, оо) р(~) такая, что — — оо при 1 — оо, и последовательность интегралов (1[у[[ЯД)„ен является ограниченной. Тогда функции 1 и 1 все интегрируемы по множеству А и последовательность (Х„)„ен сходится и 1 в Х,|(А) при и — оо. ~ 9. Сходимость в Ь|.
Пространство Х| Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Тогда найдется постоянная Х < со, Х > О такая, что Х[у(] Х„])] < Х для всех ~ . р(~) Зададим произвольно число а > О. При 1 — оо отношение — стремится к оо, и, значит, найдется значение Ь > О такое, что при всяМ~) Х ком 1 > Ь выполняется неравенство — > —. (Предполагается, что ,и(А) > О, ибо в случае,и(А) = О все рассматриваемые интегралы равны нулю и доказывать нечего.) Рассмотрим функцию [Х„(х) — Ь]+. Пусть значение х б А таково, что ]Х„(х)] > Ь. Тогда []Х„(х)] — Ь]+ = ]Ях)] — Ь. В силу выбора Ь отсюда следует, что для данного х выполняется нера- венство <р[]Х„(х)Ц 2Х ]У.(х)[ и, следовательно, ]Х (х)] < 2Х Так как []Ях)] — Ь]+ < ]Х„(х)], то, значит, для данного х Е А также и р[]Уи(х)]]я (9.2) 2Х Если ]У„(х)] < Ь, то []Х„(х)[ — Ь]+ = О, и в этом случае неравенство (9.2) также выполняется. Так как, по условию, д(А) конечно, то функция и = Ь~д является интегрируемой.
Отсюда следует, что функция []Х„(х)] — Ь]+ также интегрируема по множеству А при каждом и. В силу неравенства (9.2) получаем,что Х([]Хи] Ь] ) < Х~я~([Хи])] < Х' < е. 2Х " 2Х, 2 Так как е > О произвольно, то, следовательно, выполнены все условия леммы 9.1. Мы получаем, что ]] Մ— Х][ь,1,ц — О при и — оо. Теорема доказана. ° 172 Гл. 13. Интегральное исчисление функций многих переменных 9.2. ПРОСТРАНСТВО Х Пусть дана система с интегрированием Е = (М,Я, 1).
В ней определено понятие Ь1-нормы. Если функции 1: М вЂ” ~ К и д: М вЂ” К интегрируемы, то для любых вещественных чисел о и Д функция о1 +,9д интегрируема. Отсюда следует, что множество всех интегрируемых в этой системе функций г: М вЂ” К представляет собой векторное пространство. ФУнкционал 1 ~ )~Дь,~вр котоРый мы называем Ь|-ноРмой, на самом деле является полунормой в пространстве интпегрируемых функций. Если ~Яь,<п> = О, то функция ~, вообще говоря, не будет тождественно обращаться в нуль. Можно утверждать только, что множество значений х, для которых Дх) ~ О, есть множество меры нуль. В теории интеграла функции, совпадающие почти всюду, принято рассматривать как один и тот же элемент пространства интегрируемых функций Ь|(Е) данной системы с интегрированием. Здесь мы приведем соображения, содержащие формальное обоснование сказанного.
Мы используем понятие отношения эквивалентности и понятие фактор-мнолсеетва, определенного по заданному отношению эквивалентности, описанные в КМА, часть 1, книга 2, глава 8, з 4. Пусть дано произвольное множество Х. Говорят, что на множестве Х задано отношение о, если указано некоторое множество Л С сХхХ. Если х Е Хну б Х таковы, что пара(х,у) Е Л, то будем говорить, что х находится в отношении о к у, и писать хоу.
Таким образом, хоу .,'=- .° (х, у) б Вв. Отношение о на множестве А называется рефлексивным, если оно удовлетворяет следующему условию. К. Лля любого х б А выполнено хох. Говорят, что отношение о, заданное на множестве А, симметрично, если выполнено следующее условие.
Б. Лля любого х б А и любого у Е А имеет место (хоу => уох). Отношение о на множестве А называется транэитивным, если для него справедливо следующее утверждение. Т. Для любых х, у, е б А верно, что (хоу)Й(уах) =~ хая. Отношение о называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то вместо выражения хоу применяется запись, в которой символ о заменен З 9. Сходимость в Х з. Пространство Ь| 173 каким-либо значком, напоминающим обычный знак равенства, например, м и т. п. Пусть Х вЂ” произвольное множество, на котором задано некоторое отношение эквивалентности о. Выражение хоу будем записывать символом х у.
Для произвольного х Е Х пусть С1,„(х) = (у Е А ~ х у). О а Множество С1 (х) называется классом эквивалентности элемента х множества Х по отношению эквивалентности ° . Имеем: х ° х а а (свойство рефлексивности отношения ) и, значит, х Е С1 (х). а Напомним формулировку основного утверждения об отношении эквивалентности,данное в главе 8 (лемма 4.1), которое существенно используется здесь (в нумерации этого параграфа). ° Лемма 9.2.
Пусть о — отношение эквивалентности на множестве Х. Если х Е Х и у Е Х таковы, что С1 (х) Г1 С1 (у) ~ О, то х у, а и множества С1 (х) и С1„(у) совпадают. ° Предположим, что на множестве Х задано отношение эквивалентности о. Тогда определено множество классов эквивалентности элементов множества Х по отношению о. Всякий элемент множества Х принадлежит хотя бы одному из этих классов, и, как следует из леммы 9.2 (лемма 4.1 главы 8), если классы С1 (хз) и С1 (хз) различны, то они не имеют общих элементов.
Мы получаем, таким образом, что если на некотором множестве Х введено отношение эквивалентности, то множество распадается на попарно непересекающиеся «слои» вЂ” классы эквивалентности элементов множества Х. Пусть Х/о есть множество всех классов эквивалентности С1 (х) элементов Х по отношению о. Говорят, что Х/а есть результат факторизации множества Х ио отношению эквивалентности а. -''Факто изация множества по некото ом отношению эквивалент- я"~ ности есть способ пост оения новых множеств из же имею ихся, часто встречающийся в различных разделах математики. Наглядный смысл факторизации состоит в том, что мы как бы пе естаем азличать эквивалентные элементы множества Х и начинаем ассмат- ивать их как и едставляющие собой один и тот же математический объект.
Пусть Е = (М,Я,1) есть произвольная система с интегрированием. Тогда определено понятие пренебрежимого множества Е С М или, что то же самое, множества меры нуль в данной системе с интегрированием. Множество всех вещественных функций, каждая из которых определена почти всюду на множестве М и является интегрируемой, временно будем обозначать здесь символом х(Е). На множестве У(Е) введем отношение ° между элементами, полагая / д, если /(х) = д(х) почти всюду в М. 174 Гл. И.
Интегр льное исчисление функций многих переменных Введенное отношение есть отношение эквивалентности. Действительно, всякая функция 7" Е .х (Е) совпадает с собой почти всюду, так что отношение рефлексивно. В определение того, что 7'(х) = д(х) почти всюду, функции ~ и д входят равноправным образом, откуда ясно, что отношение симметрично. Если Дх) = д(х) почти всюду и д(х) = Цх) почти всюду, то также и Г(х) = а(х) почти всюду, так что условие транзитивности для отношения ° выполняется.
Множество функций х'(Е) распадается на классы элементов, эквивалентных по определенному здесь отношению . Совокупность всех таких классов обозначается символом Г1(Е). Таким образом, А1(Е) есть результат факторизации множества У(Е) по отношению эквивалентности Напомним, что условие 7" ° д означает, что существует множество Е С М меры нуль такое, что для всякого х ф Е величины 7"(х) и д(х) определены, причем имеет место равенство Дх) = д(х). На множестве Г,1(Е) естественным образом определяются операции сложения и умножения элемента на число.
Введем следующие обозначения. Для функции 7" Е У(Е) символом [Д будем обозначать здесь ее класс эквивалентности по отношению °, т. е. [7] есть совокупность всех функций, каждая из которых совпадает с ~ почти всюду. Пусть (' Е Ь1(Е) и а б К. По определению, ~ есть класс эквивалентных функций. Выберем произвольно функцию ~ е с.
Класс эквивалентности функции о 7 не зависит от выбора функции 7" б С, так как если Дх) = 71(х) почти всюду, то также и а Г(х) = о71(х) для почти всех х б М. Мы полагаем аС = [а7]. Пусть с и и — два произвольных элемента Г,1(Е). Выберем произвольно функции ~ Е с и д Е и. Тогда функция 7 + д принадлежит классу У(Е). Полагаем ~+ и = [7'+ д]. Если Ях) = У(х) почти всюду и д1(х) = д(х) почти всюду, то Ях) + дз(х) = 7(х) + д(х) почти всюду. Отсюда ясно, что класс [Г" + д] не зависит от выбора Г' Е С и д Е О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
