1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 35
Текст из файла (страница 35)
у — у. = ау(* "' д7" Применяя теорему 9.3, получаем, что функция — (х, уо) интегриду руема относительно переменной х Е А, причем имеет место равенство | ау „„. 1 у(у) — у(у.), и й(у) — к(у.) ду ' з-зе / у — уо я-зе у — уо Это позволяет заключить, что функция Г дифференцируема в точке уо Е (а, 6), причем имеет место равенство (9.5). Теорема доказана. ° 1) при всяком у Е (а,6) функция |з. х Е А Дх,у) переменной х интегрируема; д7" 2) при всяком х Е А функция Дх,у) имеет производную — (х,у), ду причем существует интегрируемая функция д: М вЂ” К такая, что при д7' каждом у Е У неравенство — (х,у) < д(х) выполняется для почти ау всех х Е М. Тогда функция Г(у), определенная равенством 180 Гл.
13. Интег альное исчисление нкций многих ле сменных Задачи .«1 Р 13.1.л« *, фу 7:*Ее' [Г и~ ] РРу Р )х!(1 | 2 2 21М2 11 — ~г — яг — — ~ ) аягаяг . ая . 2+зг+,„+зг (2 13.8. Вычислить объем части ст вами 2 2 — + — + *2 *2 а2 а2 2 л-мерного конуса, определенного неравен- 2 + х„ 2 — — <О ж„ 2 аа аг а — 1 соответствующей значениям ж„, для которых выполнены неравенства о«*. л. 13.9.
Вычислить объем л-мерной «чаши», определяемой неравенствами 2 2 *2 л > яе > — + -а + .. + —. аз аг аг 1 2 а всяком р > 1. 13.2. При каких о функция 1ж, у) ~ з~ интегрируемана квадрате !я! ( 1, 1*-У! !у! < 12 13.3. При каких о функция !я + у — х ! интегрируема в шаре х + у + 2 2 2 а 2 2 + 2<12 13.4.
При каких о функция 1*,у,х) 1ж~ + у ) интегрируема в шаре 11я,у,х) ! ж +у +з < 1) пространстваК? 13.5. Пусть я Е К~, Дя) = 1 „, О ( !ж! < 1/2, где р > О. Показать, !*!.(. ~)"' что функция 1 интегрируема при и > 1 и не является интегрируемой при и < 1 на шаре В 10, $) = 1я Е К" ! !я! < 2~). 13.6. Вычислить интеграл ! е * Ня, где У есть область пространства К", состоящая из всех точек я = 1жм яг,..., я„) пространства К", для которых 0<яг <жг « ° ° ° я„.
13.7. Вычислить интеграл Задачи 13.10. Дана система с интегрированием (М, .Уг, 1), счетная в бесконечности. Пустыр и 1 есть неотрицательные измеримые функции. Положим Е~(1) = = (х б М ] 1(х) > 1) Доказать равенство у(х)1(х) Их = у(х) <Ь Й. М о е~ (1) 13.11.
Пустыр: (О, 1) -~ К вЂ” строго монотонная дифференцируемая функ- ция на (О, 1). Показать равенство в(од) (а „вЂ” объем единичного и-мерного шара). 13.12. Пусть 1 есть интегрируемая функция на отрезке [а, 6] С К. Положим 6 Г(х) = ] ппп(1(з), х) сй. Показать, что функция Г непрерывна. а 13.13. Пусть (1,„: [а,6] - И)м — цз,„. — последовательностьинтегрируемых функций, сходящаяся в Ез([а,6]) к функции 1о: [а,6] - К. Положим Гм(х) = = 1,1,„(1)сй, Го(х) = ] ~о(Г) <й.
Доказать, что Г~:Ф Го при пз оо на [а,6]. а а 13.14. Функция (х,у) 1(х,у) определена и интегрируема на квадрате Я = [О, 1] х [О, 1]. Положим Г(х, у) = 1 [,1(4, и) сКс6). Показать, что Г непреоо рывна на Я. 13.15. Построить последовательность непрерывных функций, сходящуюся в Ьз(К) к функции 1: х збпх]х[ 13.16. Локазать, что всякое 6-мерное многообразие класса С', г > 1, где 6 С и, в пространстве И есть множество меры нуль. 13.1Т.
Пусть А С К" — множество, измеримое в смысле Лебега, и 1: А— -+ К" — непрерывное отображение. Показать, что если образ 1(Е) всякого множества Е С А, мера которого равна нулю, при отображении 1 есть множество меры нуль, то образ 1(В) всякого измеримого множества В С А при отображении 1 есть множество измеримое. 13.18. Показать, что если о — и-мерный сегмент и множество Е С л таково, что р(Е) = р(сг) (р — мера Лебега), то Е всюду плотно в л. 13.19.
Показать, что для всякого с > 0 найдется открытое множество У С [О, 1], всюду плотное в [О, 1] и такое, что его мера Лебега р(Е) ( с. 13.20. Локазать, что непрерывный образ всякого Гч-множества А С К" есть Гк-множество. (Множество А называется множеством типа Г„, если А — объединение счетного числа замкнутых множеств.) 182 Гл.
13. Интег альное исчисление нкций многих пе еменных 13.21. Построить пример множества А С К" такого, что,ц(А) > д(А) ()з — мерв Лебега, А — замыкание А). 13.22. Построить пример замкнутого множества в К" положительной меры, не имеющего внутренних точек. 13.23. Локазать, что из всякой последовательности функций (': К" — Й класса 1а(и"), сходящейся в ьз(и") к функции уо: к" - Й, можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к Ь почти всюду.
13.24. Пусть (у ) ен — последовательность интегрируемых функций у,»: К" — Й, сходящаяся в Ез(К") к интегрируемой функции уо: К" — К. Пусть (д»: И" — Й) ен — последовательность интегрируемых функций, сходящаяся почти всюду в К" к функции до. К" — И.
Локазать, что если [д,] < [Д,»] при всех т, то | дп, Нх - | до Ых. Нп Нп 13.25. Пусть и: [О, Ц вЂ” Й вЂ” интегрируемая функция. Определим при каждом и ступенчатую функцию ц» следующим образом: ь(п й — 1 6 — < х < —, 3=1,2,...,и. п п ип(х) = и (Ь-1 у» 13.28. Пусть у: [а, Ь] — Й вЂ” функция, интегрируемая на отрезке [а, Ь]. Лап казать, что если ] Я) й = 0 для всех х Е [а, 6], то Я) = 0 почти всюду в [а,6]. О 13.29. Пусть у: И" — К вЂ” интегрируемая функция. Показать, что если ] Дх) Нх = О для всякого п-мерного бруса Д = [амбз) х [аз, Ьз) х ° ° ° х [а, Ь ), Р то Дх) = 0 почти всюду в И".
Локазать, что функции ип сходятся к функции и в 1з([0, Ц) при и - оо. 13.26. Пусть Я = [ам 6~] х [аз, Ьз] х ° ° х [а„, Ь„] есть и-мерный сегмент, (у„: Я вЂ” К)~»ен — последовательность непрерывных функций, сходящаяся в Ха®) к функции уа: Я - И. Локазать, что если существует функция ы: [О,б) -~ К, которая является модулем непрерывности каждой из функций у,», то последовательность (~„)„ен равномерно сходится на множестве Я при и — оо к некоторой функции уо такой, что уо(х) = уо(х) для почти всех х Е Я. 13.27.
Функция у: [ — 1,Ц вЂ” К называется четной, если у(х) = ~р( — х) для почти всех х Е [ — 1, Ц; нечетной, если у(х) = — у(-х) для почти всех * Е [-1, Ц. Пусть у: [-1, Ц вЂ” К вЂ” интегрируемая функция. Доказать, что для того, чтобы функция у была четна (нечетна), необходимо и достаточно, чтобы для всякой нечетной (соответственно четной) непрерывной функции 1 ~р: [ — 1, Ц вЂ” К выполнялось равенство ] Дх)~р(х) Их = О. -1 183 Задачи 13.30.
Пусть у: [а, Ь] — Й и д: [а, Ь] - Й вЂ” интегрируемые на [а, Ь] функции. Функция д называется обобщенной производной функции ~, если для всякой функции ~р б С ([а, Ь]) такой, что у(а) = ~р(Ь) = О, выполняется равен- 6 6 ство ] Дх) Я йх = — ] д(х)~р(х) <Ь. В этом случае пишут д = 2~- (обобщена О ная). Показать, что если д — обобщенная производная функции у, то Дх) = = ] д($) й+ С для почти всех х Е [а, Ь], где С = сонэк 13.31. Пусть функция у имеет на сегменте [а, Ь] обобщенную производную д = з - (см. задачу 13.30). Показать, что функция ат Пх+ Ь) — У(х) Ь при л — 0 сходится к функции д в пространстве Ьм т.
е. 6 | — д(х) сбх -+ 0 при Ь -+ 0 (функцию у считаем продолженной на все множество И, полагая у(х) = Да) при х ( а, у(х) =,1(Ь) при х > Ь). ~+6 13.32. Пусть у Е Ьз(И). Положим ~6(Г) = ~~ ] у(т) 6т. Показать, что при 6-6 Ь -> 0 функции уь сходятся к функции у в Ез (К), т. е. 1пп [[у — уь[[ т (н) = О. о 13.33. Функция у: К" - К принадлежит классу Ьз(К"). Показать, что г 6 интеграл уь(х) = (~д) ] е (* 1 ~ у(Г)й определен и конечен при всех К" х Е К~ Показать, что функция уь интегрируема при всех И > 0 и 16 - 1 при Ь 0 в ьз(К"). 13.34. Пусть у: К вЂ” Й и д: К вЂ” Й вЂ” 2л-периодические функции, интегрируемые на отрезке [0,2л]. Предположим, что функция д ограничена.
Показать, что при Л со 1 à — / 1(х)д(Лх) Нх -+ — / Дх) ах ° — / д(х) ах. 2л / 2 / 2л / (Указание. Рассмотреть сначала случай, когда функция у ступенчатая.) 13.35. Пусть (М,,дг,1) — система с интегрированием, р — мера в этой системе, у: М -+ Й вЂ” интегрируемая функция. Показать, что Дх) сЩ -+ 0 184 Гл. 13. Интег альное исчисление нкций многих пе сменных при р(Е) — О, т.
е. что для любого е > О найдется 6 > О такое, что при р(Е) < б 1(х) т!р < е. Е 13.36. Пусть (М,.дг, Х) — система с интегрированием такая, что р(М) < оо, и пусть Е есть совокупность всех измеримых вещественных функций, почти всюду конечных в М. Зля Х б Е, д б Е положим [П )-д( )[ р(Х, д) = тУр(х). Показать, что: а) р(1,д) > О, причем р(1, д) = О тогда и только тогда, когда Х(х) = д(х) почти всюду по мере р; б) р(1, д) = р(д, 1); в) р(Х, д) + р(д, тт) > р(Х, 6) для любых Х, д и тт. 13.3Т. Пусть Е = (М, Я', 1) есть система с интегрированием такая, что р(М) конечно. Говорят, что последовательность функций (Хя) „ен сходится к функции 1: М вЂ” К по мере, если для всякого с > О мера множества Е~(е) = = (х б М [ [Х„(х) — 1(х)[ > е) стремится к нулю при и — т со. Показать, что для того, чтобы последовательность функций (Х„)„ен сходилась по мере к функции Х: М вЂ” К), необходимо и достаточно, чтобы р(1, Хо) стремилось к нулю при тп — оо, где р(Х, д) определяется согласно формуле предыдущей задачи.
13.38. Пусть Е = (М, Я',Г! — система с интегрированием. Доказать, что из всякой последовательности функций 1 б Х т (Е), тп = 1, 2,..., такой, что [[Хта[[ь (г! -+ О, можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к нулю почти всюду. 13.39. Пусть Е = (М, Я',1) — система с интегрированием, где р(М) <оо, (Х: М вЂ” К) ен — последовательность неотрицательных измеримых функций.
Показать, что если [ 1„, т!х — О при тп — со, то Х сходится к нулю по мере при пт — оо. М 13.40. Пусть (М, Я', Х) — система с интегрированием, причем р(М) < со. Показать, что из всякой последовательности (1: М вЂ” К) ен измеримых функций, сходящейся по мере к функции Хо. М вЂ” К, можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к Хо почти всюду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
