1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Ряды Фурье. Определение н предварительные результат ы 199 Следствие 2. Пусть даны промежуток [а, Ь1, где -оо < а < Ь < со, и функция г", интегрируемая на этом промежутке. Тогда ь ь ь | ем*.)(х) Их — О, яп ЛхУ(х) сЬ -+ О, соз ЛхДх) с8х — 0 а й а при Л ~ оо. Яокаэательство.
Пусть функция г" удовлетворяет условию теоремы. Продолжим ее на все множество вещественных чисел К, полагая Дх) = 0 при х ф [а, Ь~). Мы получим функцию, определенную и интегрируемую на всем множестве К. Имеем ь ОО | е' *Ях) Йх -+ 0 = е' *Дх) Ых — О. Тогда имеет место равенство Бш [Вь(г) — Рх(г)) = О. оо Локазательство.
Имеем 1 япЛЬ зшЛМ ВлУ) — Рь® = / о Дь') ~ь'г = ~г 1 — 2 зш = (зш ЛЬ 2 ДМ) сй = яп Лйр(й)У(Х) <И, (1.20) 2С зш а 1 — 2яп— где <р(~) = при ь' ~ О. 2 21 зш 2 Аналогичным образом заключаем, что и в каждом из двух других интегралов в качестве области интегрирования можно взять все множество К. Поэтому доказываемое следствие 2 непосредственно вытекает из теоремы 1.1 и ее следствия 1. Следствие 3. Пусть 1 есть произвольная функция, определенная и интегрируемая в смысле Лебега по промежутку [ — т, т), и для произвольного Л Е К пусть Гл.
14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 200 Теперь заметим, что 1 — 2 е(п— й 2 — 0 о 24 еш 2 Пействительно применяя к функции 2е1п — формулу Теааора с оста- 3 2 точным членом в Яорме Пеона, получим ЮЗ 2 е1п — = 1 — — + о(1з) 2 24 при 4 -+ О. Отсюда ,з — + о(13) 24 — Р + о(Р) (1) 24 12 + 0($4) 24 и, следовательно, 1пп ~р($) = О. 'с о ооп елим нк ию М полагая у(0) = О. Мы получим функцию, которзл определена и непрерывна в каждой точке промежутка (О, к], и, следовательно, она ограничена на этом промежутке. Отсюда вытекает, что функция Дг)<р($) измерима. Так как Щ1)у(г)] < ЦУ(г)~ для всех 1 Е 10, н], то она интегрируема в этом промежутке. Применяя теорему Римана — Пебега (см. теорему 1.1) к интегралу (1.20), получаем равенство Бш [Лз(~) — Рь(~)] = Ыш (е1пЛйр(~)Д1)<И = О, А-~оо ь оо,у о и следствие 3 доказано. Результат следствия 3 позволяет вычислить один интеграл, сходимость которого установлена в главе 12 (п, 4.5, формула (4.2)).
А именно, справедливо следующее утверждение. Б 1. Ряды Фурье. Определение и предварительные результаты 201 Следствие 4. Имеет место равенство | Бшх и — Ых = —. х 2 о (1.21) 1 Полагая в равенстве (1.20) Л = и+ -, где и Е Х и Дх) = 1, получим Б Б1П и+ — 1 "ап и+— 1„= й = й+б„, о 2Б1п— Б1П и+ -~) 1 = — + ~ соБ Й1. 2 Б1П— й-1 2 Отсюда получаем, что при всех и "вш ~и+ -~) 1 = — +~/ н.
о 2вш 2 При всяком целом й > 0 имеем равенство | вшН совНй = — = О, о а и, следовательно, мы получаем, что "вш и+— 2 Бп1— для любого и. Отсюда вытекает, что (1.22) где б„-+ 0 при и -+ оо. При каждом и в силу равенств (1.6) и (1.7) имеем Гл.
14. Ряды Ф ьеи и еоб аэование Ф ье 202 При и -+ со имеем 6„— ~ О. Произведя в интеграле в левой части равенства (1.22) замену переменной интегрирования по формуле с 11 н + -) 8 = х получим 2) (и+3/2)к | зшх и х 2 о При н -+ оо левая часть полученного равенства стремится к преГз1п х делу, равному ) — цх. Правая часть равенства стремится к пределу, х о равному —. Из доказанного, очевидно, следует равенство (1.21). Следствие 4 доказано. й 2. Общее понятие ортогональной системы функций В первом параграфе было отмечено свойство тригонометрических функций, называемое свойством ортогональностн (см.
равенства (1.15)). Оно сушественно используется при определении ряда Фурье интегрируемой функции. Основной вопрос теории рядов Фурье — вопрос о схслнмостн этого ряда. В главе 12 были определены понятия поточечной и равномерной сходи- мости ряда. В обшем случае поточечную схадимость ряда Фурье функции и тем более равномерную сходимость этого ряда к исходной функции можно гарантировать только в том случае, если функция удовлетворяет некоторым специальным условиям.
Некоторые результаты такого рода будут далее приведены. Оказывается, что если выбрать тип сходимости должным образом, то ряд Фурье некоторой функции всегда будет сходиться к этой функции. Как будет показано в этом параграфе, если 2к-периодическая функция ~ измерима и ее квадрат представляет собой функцию, интегрируемую по промежутку [ — к, н], то ряд Фурье функции в некотором интегральном смысле (точно определенном далее) всегда сходится к этой функции.
Совокупность всех функций, удовлетворяюших указанным условиям, представляет собой векторное пространство, которое является частным случаем так называемых гильбертовых пространств. В этом параграфе приводится определение обших понятий гильбертова пространства и ортогональной системы векторов в таком пространстве, а также устанавливаются некоторые простейшие их свойства. В частности, 2 2.
Общее понятие ортогональной системы функций 203 вводится понятие полной ортогональной системы векторов в гильбертовом пространстве. Здесь доказывается, что для произвольной системы с интегрированием, счетной в бесконечности, множество измеримых функций, квадраты которых интегрируемы, представляет собой гильбертово пространство (теорема Рисса — Фишера) .
В заключительной части этого параграфа обшие результаты, касаюшиеся произвольных гильбертовых пространств, прилагаются к исследованию тригонометрических рядов Фурье. 2.1. ПОнЯтие ГильБеРтОВА пРОстРАнстВА. ПРОстРАнстВО ь Е Введем сначала общее понятие гильбертова пространства. Пусть Х есть произвольное векторное пространство над полем К.
Будем говорить, что Х есть предгильбертпово пространство, если каждой паре векторов х, у пространства Х сопоставлено некоторое число (х,у) таким образом, что выполнены следующие условия. Н1. Функция (х, у) б Х х Х (х, у) пикейна по каждому аргументу, т. е. при всяком у е Х для любых хз,х2 б Х и любых чисел а1, аз б К имеет место равенство (сз1х1 + озх2 у) = а1(х1, у) + аз(хз, у) и для любого х б Х для любых уз,уз Е Хи чисел)11„82 б К выполняется равенство (х~1З1У1 + р2У2) р1(х~ У1) + р2(х) У1) Н2. Функция (х,у) симметрична относительно х и у, т. е.
для любых х, у б Х имеет место равенство (х, у) = (у, х). НЗ. Для всякого х б Х величина (х, х) неотрицательна, причем (х, х) = 0 в том и только в том случае, если х = О. Величина (х,у) называется скалярным произведением векторов х и у в предгильбертовом пространстве Х. ° Лемма 2.1.
Пусть Х есть предгильбертово пространство. Для произвольного вектора х Е Х положим )~х~! =,/(х, х). Тогда для любых векторов х, у Е Х выполняется неравенство ' (2.1) ((х,У)~ < 'Вх(ЩУВ (неравенство Коши — Буняковского). Функция х ~ ~)х)! есть норма в пространстве Х. 204 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Локазательство. В случае когда либо х = О, либо у = 0 в силу линейности скалярного произведения по каждому из сомножителей, очевидно, (х, у) = О.
Тогда неравенство (2.1) выполняется. Будем далее предполагать, что х ф 0 и у ~ О. Пля всякого ~ Е К, применяя условия Н1 и Н2, получим (х+ 1у,х+ $у) = (х,х+ Фу) + 1(и,х+ 1у) = = (х, х) + 1(х, у) + 1(у, х) + Ф~ (у, у) = !!х !! + 21(х, у) + 8 !!у!! . Из условия НЗ следует, что (х + 1у, х + 1у) > 0 для любого 1 Е К. Мы получаем, что квадратный трехчлен р($) = !!х!!~ + 21(х, у) + Гз!!у!!~ неотрицателен для всех 1 Е К. Отсюда, как известно из школьного курса алгебры, следует, что ((х,у))з < !!х!!з!!у!!з и, значит !(х,у)! < < !!х!!!!у!!. Неравенство (2.1), таким образом, доказано.
Теперь докажем, что функция Л: х ~ !!х!! является нормой на векторном пространстве Х. Для всякого числа а Е К и любого вектора х Е Х в силу условия Н1 имеют место равенства (ах, ох) = о(х, ах) = а (х, х), т. е. мы получаем, что !!ах!!~ = а~!!х!!~. Отсюда заключаем, что !!ах!! = !а!!!х(!. Это означает, что условие И1 определения нормы выполнено.
Применяя еще раз условие Н1, получим !!х+ у!!з = (х+ у,х+ у) = (х,х)+ 2(х,у)+ (у,у). В силу неравенства (2.1) имеем (х, у) < !!х!!!!у!!. В результате получим неравенство !!х + у!!з < !!х!!з + 2!!х!!!!у!! + !!у!!з. Отсюда вытекает, что !! +у!!<!! !!+Ь!! Тем самым установлено, что функция х !!х!! удовлетворяет также и условию Х2 определения нормы. В силу условия НЗ при х ~ 0 имеем (х, х) > О.
Значит, !!х!! > 0 для всякого вектора х ~ О. Таким образом, условие МЗ определения нормы для функции 1У: х !!х!! также выполняется. Лемма доказана. ° Пусть Х есть предеильбертово проспчраксглво. Тогда Х является, как показано выше, нормированным вектиориым просгпранстпвом. з 2. Общее понятие ортогональной системы функций 205 Говорят, что Х есть гильбертово пространство, если выполнено следующее условие. Н4. Пространство Х является полным нормированным вектврнььм пространством. Примером гильбертовых пространств является пространство К" с обычным скалярным произведением. П ив ем гие и име ы. Пусть дана система с интегрированием Е = (М,Я,1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
