1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Ряды Фурье н лреобразовалие Фурье 21б близкий к ней тригонометрический полипом. Этот полипом и является искомым. Пусть ~: К вЂ” К есть произвольная функция класса Ьз(( — я,я)). Для всякого и предполагается построить некоторый тригонометрический полипом Р . Зададим произвольно число и б М. Пусть дано число Ф Е Х.
Обозначим символом У~ч непрерывную функцию, определенную условиями М при у > )з'; у при — Я<у<Я; -У при у < -Х. ~Ъ(у) = График функции Уч(у) представлен на рис. 1. Рис. 1 Функция Уи непрерывна, причем для любых уз, уз б К имеем неравенство 1~Ъ(у~) — ПЪ(уз)! < Ь~ — Ы Эта функция ограничена, ~Уз~(у)! < Ф для всех у б К, и такова, что ~у — Уу(у)~ < ~у), каково бы ни было у б К. Наконец, заметим, что Уи(у) -+ у при Ф вЂ” оо для любого у б К. Если функция Г: К вЂ” К измерима, то функция Гу = Уу о Г является измеримой и ограниченной.
Ф нк ия з анная выше может оказаться неог выученной. Рассмотрим функцию ~и = Уи о У. Эта функция уже будет ограниченной. Имеем у( ) ~ ( ))г<у( ))г З 2. Обшее понятие ортогональной системы функций 217 При Ф -+ оо величина [Дх) — ~н(х)]~ стремится к нулю для всех х Е К. В силу гпеоремы Лебега о предельном переходе под знаком ингпеерала (глава 13, следствие 2 теоремы 4.3) отсюда вытекает, что [|(х) — 1ьг(х)] Их — + О ~н при 1У вЂ” оо и, значит, ][Д вЂ” 1ьг[]г., — О при М вЂ” оо. Фиксируем произвольно значение 1г' такое, что [[г' — Лд[[г., < 2 " ~.
(Напомним, что и есть номер того члена последовательности полиномов, который мы собираемся построить.) Соответствующую функцию Дч = У,ч о У далее будем обозначать символом и. Функция и определена и интегрируема на промежутке [ — я,я]. В частности, она определена и интегрируема на открытом промежутке (-я,я). В силу леммы 8.2 главы 13 найдется последовательность (У„)„ен ступенчатых функций, финитных относительно интервала 1 ( —.я,я), такая, что [[г"„— и[]ь,~ 1 < —. При и — оо имеем 7'„(х)— и(х) для почти всех х Е (-я, я). Тогда при и -+ оо также и У,ч[г„(х)] — Уьг[и(х)] = и(х) для почти всех х Е ( — я,я). Функция Уьг[7'„(х)], очевидно, является ступенчатой и финитной относительно промежутка ( — я,я). Отсюда следует, что [Уьг[~„(х)] — и(х)[з О для почти всех х.
При каждом и выполняется неравенство ]Ун[~„(х)] — и(х)[ < 41г' . Так как функция, постоянная на промежутке [ — я, я], интегрируема по этому промежутку, то в силу теоремы Лебега о предельном переходе (следствие 2 теоремы 4.3 главы 13) [Ц [|'„(х)] — и(х)[з дх - О при и — оо. Отсюда следует, что найдется номер по такой, что выполняется неравенство ][Он о У„, — иЬ, < 2 Положим Ургенч„ь = и.
Функция и ступенчатая. По построению она финитна относительно интервала ( — я, я). Это означает, что найдется число 6 > О такое, что в каждом из интервалов (-я, — я+ б) и (я — б, я), 218 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье примыкающих к концам промежутка ( — ьг, ьг), функция и обращается в нуль. Функция ьь интегрируема в смысле Ньютона.
Она имеет конечное число точек разрыва. Пусть Ф есть первообразная функции и в промежутке [ — ьг, я]. Функция Ф непрерывна. Положим иа(х) = Ф(х+ Ь) — Ф(х) Ь Функция иь непрерывна и при О < Ь < б обращается в нуль в каждой из точек — ьг и л. При Ь вЂ” О имеем иь(х) -+ и(х) всюду в [-ьг,ьг], кроме точек некоторого конечного множества, т. е. почти всюду в промежутке [ — я, я].
Так как функция и ступенчатая, то она является ограниченной. Если !и(х)! < Х, = сопаь < оо, то также и !иь(х)! < А для всех Ь. Применяя теорему Лебега о предельном переходе, заключаем, что !!ия — и!!ь, — О при Ь вЂ” ь О. Выберем произвольно значение Ь такое, что О < Ь < б и !!иь — и!!ь, < 2 " ~. Положим ю = иь. Функция иь непрерывна и обращается в нуль в точках — я и я. Продолжим ее на всю числовую прямую К так, чтобы получить непрерывную функцию с периодом 2я. Так как значения функции ю в концах промежутка [ — ьг, ьг] совпадают, такое продолжение функции ю, очевидно, существует. В силу тпевремьь Вейерьитрасса о приближении непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами для всякого е > О найдется тригонометрический полинам Р такой, что !ю(х) — Р(х)! < г для всех х Е [-ьг, ьг]. Пля этого полинома Р имеем ![ю — Р!!ьь < ь/2яе.
Пусть Є— тригонометрический полинам Р, отвечающий значе— в-2 нию е = — 2 ' з. Тогда !!иь — Р[[ь, < 2 з/2~г Теперь доказательство легко завершается. Применяя неравенство ломаной (глава 9, и. 1.1.1), получим, что 1!У вЂ” Р.![ь. < 1!У вЂ” и!!ь. + 11и — и!!ь,+ + !1ю — ю[1сз + 11ю Рч11ьг < 4 ' 2 = 2 Полагая и = 1,2,..., получим последовательность тригонометрических полиномов, удовлетворяющую всем требуемым условиям. Лемма доказана. ° ° Теорема 2.4. Последовательность функций 1 —, созх, ашх,..., совах, сйппх,...
2' (2.14) есть полная ортогональная система функций в гильбертовом пространстве Ьг([ — ьг, ьг]). З 2. Общее понятие ортогональной системы функций 219 3 а м е ч а н и е. Последовательность функций (2.14) называется тригонометрической ортогональной системой функций на промежутке [-гг, гг]. Доказательство теоремы. Пусть функция У Е Тз([-т,т]) ортогональна к любой из функций последовательности (2.14). Требуется доказать, что тогда функция ~ является нулевым элементом пространства Хз([ — гг, т]). Согласно предположению, для всякой функции (а, являющейся членом последовательности (2.14), выполняется равенство (~, (р) = О. В силу свойства линейности скалярного произведения последнее равенство, очевидно, выполняется также и в случае, если (р есть линейная комбинация функций последовательности (2.14). Это означает, что функция ~ ортогональна любому тригонометрическому полиному Т.
Согласно лемме 2.4 найдется последовательность тригонометрических по- ЛИНОМОВ (Тв)ввн таКая, Чта ]]У вЂ” Тв]]Ь, — О Прн Гб -+ ОО. Прн КаждОМ П имеем ]]~ — Тв]]~с = (У вЂ” ТвбУ вЂ” Тв) = ]Щ]ьь 2(У Т ) + ]]Т ]]ъь Величина (1, Тв) равна нулю, и мы, следовательно, получаем ]]У-Т„]]зь = ][У]]з +]]Т„]]з . Отсюда ]]1 ]]ь, < ]]У вЂ” Т„]]зь,, и так как правая часть этого неравенства стремится к йулю при гб -+ оо, то, значит, ]]Дь, = О и, следовательно, функция ~ является нулевым элементом пространства Тз([ — 1г, гг]). Теорема доказана. ° Следствие. Пусть 1 есть функция класса Ьз([-т, т]).
В этом случае ряд Фурье — + ~(а„сових+ Ьв гйп их) (2.15) в=1 функции1 сходится к ней в оз([-гг,бг]), т. е. если Тв(х) = — + ~> (а соетх+ Ь гйптх) 2 вбв 1 есть и-я частная сумма ряда (2.15), то ]! г — Тв[[ь, — О при и -+ оо. При этом справедливо равенство в З вв (Г( 1 б = — б-1 ( „б-б()]. (2.1б( вбв1 Данное предложение есть частный случай следствия теоремы 2.3, когда Х = Ьз([-т,т]), а в качестве ортогональной системы функций в Х берется последовательность (2.15). Равенство (2.16) есть частный случай равенства Парсеваля (2.13).
Равенство (2.16) будем называть равенством Парсеваля для тригонометрической ортогональной системы функций. 220 Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 2.4. ПРИМЕРЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ ФУНК ИЙ 2.4.1. Пусть даны промежуток 1 = (а, Ь) С К и измеримая функция ю: .7 — + К такая, что ю(х) > 0 для всех х б 1. Символом Ьг(,7) будем обозначать множество всех измеримых функций ~: (а, 6) -+ К, для которых функция [Г(х)]~ интегрируема. Пусть 1г(.У, ю) есть совокупность всех измеримых функций, определенных в промежутке 1 и таких, что | [Дх)] ю(х) дх < оо. а Для любых двух функций |',д б Ьг(1,ю) в силу неравенства 2]У(х)д(х)! < [е(х)]г + [д(х)]г конечен интеграл 1 И д)- = Ях)д(х)ю(х) д .
-1 Величину (Г',д) будем называть скалярным произведением функций |,д б Ьг(,7, ю). Все условия, которым должно удовлетворять скалярное произведение в предгильбертовом пространстве в данном случае, как нетрудно видеть, выполняются. Таким образом, множество Ьг(,7, ю), представляет собой предгивьбертово пространство. Функция ю(х) называется весовой функцией пространства Йг(Л, ю). Пространство Гг(1,ю) полное и, значит, является гильбертовым пространством. г1ействительно, для произвольной функции Я Ьг(1, ю) положим Г(х) = Дх)З/ю(х) .
Тогда функция Г" измерима и ее квадрат есть интегрируемая по промежутку (а, 6) функция. Обратно, если | Е Ьг(д), то функция д = — принадлежит клас- У су Ьг(,7, ю). Таким образом, сопоставляя функции |' б Ьг(1, ю) функцию Г" = = У /ю, получаем биективное отображение пространства Ьг(1, ю) на пространство Ьг(1). При этом имеет место равенство З 2. Общее понятие ортогон льной системы функций 221 Пространство Хг(,У) согласно теореме Рисса — Фишера полно. Отсюда, очевидно, следует, что Хг(,У, ш) также есть полное пространство. Предположим, что функции Г„, и = 0,1,2,..., образуют ортогональную (ортонормальную) систему векторов гильбертова пространства Хз(У,ш). В этом случае будем также говорить, что Р„, п = 0,1,2,..., есть последовательность функций, ортогональная (соответственно, ортонормальная) на промежутке (а,б) относительно веса ш(х).
Особый инте с п едставляет тот сл чай ког а нк ии об а- з ю е о тогонгльн ю систем являются полиномами. Предположим, что весовая функция ш пространства Ьз(У, ш) такова, что ь | х"ш(х) Их < оо а (2.17) и„+1(х) = х"+ — ~ оьиь(х), я=о где постоянные ол находятся из условия (и„+ми;) = 0 для всякого 1 = О, 1, 2,..., п. Для сокращения записи положим г„+1(х) = х"+'. Подставляя в скалярное произведение (и„+ы и;) выражение функции и„+1 через функции г„+1 и функции иы где 0 < й < и, получим равенства (г„+м иь) — аь(иь, иь),„= О. Отсюда заключаем, что коэффициенты аь выражаются равенствами для всех целых и > О. Тогда для всякого полинома Р(х) функция Р(х)ш(х) интегрируема в смысле Лебега по промежутку (а, б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
