1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 44
Текст из файла (страница 44)
е. имеет место равенство [~„(У; хо) — У(хо)] — [Б [д; хо) — д(хо)] = Г Р(б) — С(1), / вш ~и+ — ) бй. (3.5) 2я/ г ~, 2) ап— 1 Функция ~ в промежутке [е, я] ограничена и непрерывна, и, слеап— 2 Р(1) — й1) довательно, функция б интегрируема в промежутке [е, я]. вш— 2 На основании следствия 2 теоремы Римана — Лебего (теорема 1.1 этой главы) интеграл в правой части равенства (3.5) стремится к нулю при и — оо и, значит, [Яа(~; хо) — Дхо)] [о (д; хо) — д(хо)] — О при и — оо. Отсюда следует, что если Я„(1'; хо) — Дхо) — О при и — оо, то Я„(д; хо) — д(хо) — ~ О при и — оо.
Теорема доказана. ° 3.2. ОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХО ИМОСТИ г,ы Ф,г~ Пусть 1": К вЂ” С есть 2х-периодическая функция. Будем говорить, что 1 равномерно удовлетворяет условию Яиии (см. выше), если для всякого е > О можно указать значение б > О такое, что б | ]Дх + 1) — 2Дх) + 1(х — б)] о для любого х е [ — я, к]. з 3. Основные теоремы о сходимости ряда Фурье в точке 233 ° Лемма 3.2. Пусть функции гр: А — К и г/л: А — К, где А С К, ограничены и равномерно непрерывны, Ьг = ]]гр]]ь 1А1, Ьг —— ]]г/л]]ь га1 и ыг и ьлг есть модули непрерывности функций д и г/л соответственно. Тогда произведение грг/л равномерно непрерывно и имеет модуль непрерывности ллл = Тгггллг + Т гьлг. Локазательство.
Возьмем произвольно хг,хг Е А. Тогда полу- чим ]р(хг)ф( ) — р( г)ф(хг)] < < ][чл(хг) — гр(хг)]г/л(хл)] + ]гр(хг)[г/л(хл) — г/л(хг)]] < < ьгьлг(!хг — хг]) + Хгьлг([хг — хг]) = ьл(]хг — хг]), и тем самым лемма доказана. ° Мл 1 л Л 2 < — + -(Ь- о). (-). Л | /(х) яп Лх гЬ а (3.6) Яоказательство. Положим Г(Л) = Дх)з1пЛхг/х. а (3.7) Пусть Ло — — —. Предположим, что Л > Ло. В интеграле, которым Ь вЂ” а представляется функция Г(Л), произведем замену переменной интегрирования по формуле х = 1+ —. Получим Л а-а/А гГлл= | Г(г,-'-) егрг+ лгг.
Л а-а/А Отсюда А-а/А кр~= — | г( +'-) а р )г*. (3.8) а-а/А ° Лемма 3.3. Пусть даны промежуток [а, Ь] С К и непрерывная функция /: [а,Ь] -+ К. Предположим, что ]/(х)] < М < оо для всех х Е [а, Ь] иьл есть модуль непрерывности функции /. Тогда при всяком Л > Ло — — — выполняется неравенство Ь вЂ” а 234 Гл. 14. Ряды Фурье н преобразование Фурье Из условия Л > Ло следует что Ь вЂ” а > — и значит Ь вЂ” — > и.
Используя Л Л исходное выражение для Г(Л), получим з-а/Л Г(Л) = 1(х) з(п Лх дх + Дх) ззп Лх (1х. (3.9) ь- /л Применяя представление (3.8) для функции Г(Л), получим (г-а/Л Г(л(= — / у( +-)а л,з — / у( +-). л*з*. (зуз( а-а/Л Складывая равенства (3.9) и (3.10) почленно, получим а 2Г(л(= — у' У(*л — ) 2 л*з г Л а-гг/Л з-а/л ь '(у(,( — у(,г-')). л*з*»- /' у(,(а л*з*. (злл( а з-а/л Из (3.11) следует, что если Л > Ло, то выполняются неравенства а 2(Г(л(( < у а-зг/Л ь- /л (г + / л (-у(+-„')( * - /' (у(*(~ * а ь- /л Отсюда 2/Г(Л)/ < — + (Ь вЂ” а — — ) ьу (-) + —. Л Л Л Л Окончательно, Мя 1 7Г !Г(Л)/ < — + — (Ъ вЂ” а)ы (-) .
Л 2 Л Это и есть требуемая оценка. Лемма доказана. ° ° Теорема З.З. Пусть /: К -+ С есть непрерывная 2я-периодическая функция. Тогда если / удовлетворяет условию Дини равномерно, то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно в К. 235 3 3. Основные теоремы о сходнмости ряда Фурье в точке Доказательство. Для произвольных х Е К и 1 Е К положим 1р,(1) = 1р,(Г;У) = Дх+ 1) — 2Дх) + ~(х — 1). Пусть, как и ранее, о„(1; х) означает п-ю частную сумму ряда Фурье функции ~.
Как было показано выше, имеет место равенство 11 зш и+ — )1 5„(~;Х) — ДХ) = — / Р,(1) 111. 2я ./ З1П— о 2 Зададим произвольно е > О. При 1 — 0 отношение 1 стремится З1П— 2 к пределу, равному 2. Пусть б1 > 0 таково, что для всех ~ Е (О, б1) О« 3. ап— 2 Так как по условию функция ~ удовлетворяет условию Дини равномерно, то найдется б > 0 такое,что 0 < б < б1,и для всех х Е [ — я,1г1 1 ( )1р~(1)~ Е о Положим зш 2я ./ 1 б зш— 2 Тогда Я„® х) — 1(х) = 11„(х) + Ъ'„(х) для всех х. Имеем б б 1 ( (1р,(М)! „1 /'З)1р,(Х)( „„Зе с б 2 0 81п— о при всех х Е К. з1п У„(х) = — / 1Р,(1) 1 о и+— 1й, яп— 2 и+— пг.
236 Гл. 14. Ряды Ф ье н и еоб азование Ф ье Ь | Дх) згп Лх дх Мгг 1 (7Г') Л 2 ~Л/ < — + -[Ь вЂ” а)ы ( — ~ . [3.12) Полагая в неравенстве [3.12) | = Г„а = б, 6 = гг, получим, что 1 я если и+ — > Ло =, то 2 гг — б' — / Р,[г)еш [ и+ — ) айаг 2гг / * [ 2) Ь 2М 1 ( 2гг < + -ы 2п+ 1 2 ~2п+ 1 [у'-[х)[ = Правая часть последнего неравенства не зависит от х и при п — ~ оо стремится к нулю. Пусть б таково, что при п > и будет иметь место неравенство 2М 1 ( 2гг 2п+ 1 2 12п+ 1/ 2 е Тогда для любого х Е [ — я, гг] выполняется неравенство ['ь'„[х)[ < —. Значит, при п > й для всех х е [-я, я] имеем [Я„[~; х) — Дх)[ < [У„[х)[+ ['г'„[х)] < — + — = е. Так как е > О произвольно, то тем самым установлено, что частные суммы Я„Ц; х) ряда Фурье функции Дх) сходятся к ней равномерно на промежутке [ — х,я], а значит, и на всем множестве К.
Теорема доказана. ° Докажем, что $'„[х) — ~ О равномерно в [ — я,гг] при п — оо. Для любых ~ы1з е [О, я] и любого х Е К имеем [~р,[ЬЬ) — ~р,[1Ь)] = [[г[х + 11) — Дх + 1з)] + Ц[х — 1Ь) — Дх — 1з)][ < < ][Дх+ гь) Дх+ ьз)]] + [[Г1х гь) — |[х — ьз)][ < 2м[[Ьь — гз[), так что функция у,[1) переменной 1 имеет модуль неирсрыеносгпи, не зависящий от х.
1 Функция ~ в промежутке [б,я] непрерывна и, следовательно, зьп— 2 ограничена и равномерно непрерывна. На основании леммы 3.2 отр*[~) сюда вытекает, что функция г',[ь) = — имеет в промежутке [б,гг] згп— 2 модуль непрерывности, не зависящий от х. Очевидно, существует число М < оо, которое не зависит от х и такое, что ]Г,[ь)[ < М для всех Ь Е [ — я,гг]. Воспользуемся результатом леммы 3.3. Если [У[х)[ < М < оо для всех х Е [а,Ь] и ы есть модуль непрерывности 1, то при всяком Л > Ло — — получаем Ь вЂ” а 2 4.
Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации 237 й 4. Разложения в ряд Фурье функций ограниченной вариации В этом параграфе будут даны доказательства некоторых классических результатов, касаюшихся сходимости рядов Фурье, которые мы применим к изучению вопроса о почленном интегрировании и дифференцировании ряда Фурье периодической функции. В главе 8 данного курса было введено понятие функции ограниченной вариации. Здесь мы докажем, что если функция 1' имеет период, равный 2к, и является функцией ограниченной вариации на всяком промежутке [ — к, к), то ее ряд Фурье поточечно сходится на множестве К. Если же 1' есть непрерывная функция ограниченной вариации, то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно.
4.1. ТЕОРЕМА ИРИХЛЕ О НОТОЧЕЧНОЙ СХО ИМОСТИ ияь Фззм 4.1.1. Напомним понятие функции ограниченной вариации, введенное в главе 8. Пусть дан промежуток [а,Ь] С К. Функция ~: [а,Ь] — ~ К называется функцией ограниченной вариации, если существует постоянная Ь < оо такая, что для всякой конечной последовательности (хь), й = 0,1,2,..., т, точек промежутка [а, 6], удовлетворяющей условию хв — — а < хз « х з < х = Ь, выполняется неравенство ~> [Дхь) — Дхь з)[ < Ь. к=1 в Наименьшая из таких постоянных Ь обозначается символом ~/ ~ и называется вариацией функции 1 на промежутке [а, 6].
Как было показано в главе 8, функция ~: [а, 6] — К является функцией ограниченной вариации в том и только в том случае, если она допускает представление 1 = д — Й, где ~ и д есть возрастающие функции на промежутке [а, Ь]. При этом если функция 1 непрерывна в некоторой точке хв Е [а, 6], то функции д и Ь могут быть выбраны так, что они будут непрерывны в точке хо. Если функция ~ непрерывна на всем промежутке [а, Ь], то возрастающие функции д и 6 такие, что ~ = д — 6, можно определить так, что они будут непрерывны на всем промежутке [а, 6]. Гл.
14. Ряды Фурье н преобразование Фурье 238 4.1.2. Далее нам потребуется следующее утверждение, доказанное в главе 5. (Для удобства читателя мы приводим его в нумерации этого параграфа.) ° Теорема 4.1, Пусть даны промежуток [а,Б] С К и функции 1: [а,Ь] — Кнд: [а,Ь] — К. Предположим, что функции д,]д[и1д интегрируемы ло промежутку [а, 6] и функция ~ монотонна. Тогда найдется с Е [а, Ь] такое, что имеет место равенство (4.1) Теорема 4.1 есть в точности теорема 5.2 главы 5 и носит наименование втпорой теоремы о среднем значении. Интеграл в теореме 4.1 понимается как ингоеграл в смысле Ньютона.
4.1.3. Докажем две простые леммы, используемые при доказательстве основной теоремы о дифференцировании и интегрировании рядов Фурье. ° Лемма 4.1. Пусть, как н ранее, Р„($) означает тригонометрический полипом 2 е'~~. Тогда существует постоянная Ь < оо такая, ь=-» что для всякого и Е [О, я] выполняется неравенство ] Р„(1) й < Т. о Доказательство. Для упрощения записи введем обозначение Н = 1 = п + —. Как показано в З 1 имеет место равенство 2 > Р»(>) — ~»(>) + >>'(>) в>п >' >> 2 1 2 где съ„(>) = — сйп М1, >р(г) = ., — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
