1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Будем предполагать, что эта система счетно в бесконечности. Последнее условие согласно определению, данному в ~ 5 главы 12, означает, что существует последовательность функций (1, б Я)„ен такая, что при каждом х Е М имеет место равенство йш 1„(х) = 1. Пусть и есть мера в системе с интегрированием Е. Интеграл функции 1 будем обозначать символом ) 1'(х) др(х). М Далее ее = .Фу(Е) означает множество всех измеримых функций в системе с интегрированием Е.

Над функциями, определенными на множестве М, мы будем производить операции, удовлетворяюш;ие следующему условию. Если каждую из функций, над которыми производятся эти операции, заменить функцией, отличающейся от нее почти всюду, то в случае, когда результатом операций должно быть некоторое число, это число при заменах указанного рода остается неизменным. Если же результатом операции должна быть функция, то ее значения меняются лишь на множестве меры нуль в случае, если функции, из которых она получена, меняются на множестве меры нуль. Пусть даны измеримые функции 1: М -+ К и д: М вЂ” К. Будем считать, что функция У эквивалентна д, и писать | ° д, если 1(х) = = д(х) почти всюду в М, т.

е. множество тех х Е М, для которых 1(х) ~ д(х), есть множество меры нуль. Отношение У ° д, как показано в З 7 главы 13, рефлексивно, симметрично и транэитивно, так что употребление термина «эквивалентность» для этого отношения оправдано. Если э'з Ь и д~ ~ дз то 1здз ~ Ьдз, и для любых а,;б ч К имеем аЛ +,Здз его + ~ддз, так что обычные алгебраические операции удовлетворяют тому условию, что результат меняется лишь на множестве меры нуль, если изменить значения каждой из функций, над которыми выполняется данная операция на множестве меры нуль.

Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 206 Говорят, что функция ~: М вЂ” К интаегрируема с квадратом, если она измерима и ее квадрат представляет собой интегрируемую функцию. Множество всех интегрируемых с квадратом функций в системе с интегрированием Е далее будем обозначать символом 5з(Е) или просто Ьз, опуская символ Е каждый раз, когда это не может привести к недоразумению.

Для произвольной функции ~ Е Ьз(Е) полагаем 1/2 ]]Дь,~н~ = [1(х)] Нр(х) (2.2) ° Лемма 2.2. Если система с интегрированием счегна в бесконечности, то произведение любых двух функций класса Ьз(Е) есть интегрируемая функция. Любая линейная комбинация о1' + ~3д функций У,д е Ьг(Е) есть функция класса Хз(Е).- Доказательство. Пусть ~ Е Ьз(Е) и д Е Аз(Е). Тогда функции ~ и д измеримы и, значит, в силу следствия 1 теоремы 5.12 главы 13 их произведение ~д также есть измеримая функция. При каждом х Е М имеем неравенство ]Дх)д(х)] < -([((х)] + [д(х)] ). Функции [1(х)]з и [д(х)]з интегрируемы.

Отсюда вытекает, что интегрируема также и их полусумма, т. е. функция [а~ + ~3д]~ = о~~~ + 2оЯд +,б~д~. Функции ~з и д интегрируемы в силу того, что ~ и д принадлежат классу Ьз(Е). Интегрируемость функции ~д доказана выше. Мы по- лучаем, что функция (о~ + бд)з является линейной комбинацией трех интегрируемых функций и, следовательно, сама интегрируема. Для всех х Е М имеем ]Дх)д(х)] < Цх). В силу теоремы 5.3 главы 13 отсюда вытекает, что функция ~д интегрируема. Пусть функции ~ и д принадлежат классу Аз(Е), а о и б есть произвольные вещественные числа. Имеем З 2.

Общее понятие ортогональной системы функций 207 Таким образом, линейная комбинация любых двух функций 1,д б б Ьз(Е) всегда принадлежит классу 1з(Е) и, значит, 1з(Е) есть векторное пространство. Лемма доказана. ° Из леммы 2.2, в частности, вытекает, что множество функций Ьз(Е) представляет собой векторное пространство. Пля произвольных двух функций 1, д Е Ьз(Е) полагаем (1,д) = 1(к)д(х) дл(з). м Величина (1,д) называется скалярным произведением функций 1 и д. Из свойств интегралов, установленных в главе 13, очевидным образом следует, что скалярное произведение в Ьз(Е) удовлетворяет условиям Н1 и Н2 определения предгильбертова пространства.

Пля всякой функции 1 Е Ьз(Е), очевидно, имеем (У, У) = [У(к)]2 дд(х) > О. м Знак равенства здесь имеет место в том и только в том случае, если 1(х) = О для почти всех х б М. В дальнейшем две интегрируемые с квадратом функции, отличающиеся одна от другой лишь на множестве меры нуль, условимся рассматривать как один и тот же элемент пространства 1з(Е). Формально элементы пространства Ьз(Е) есть классы эквивалентных функций. С учетом этого соглашения мы можем считать, что условие НЗ определения гильбертова пространства для множества функций Аз(Е) также выполняется.

° Теорема 2.1 (теорема Рисса — Фишера). Пусть Е = (М,Я,1) есть система с интегрированием, счетная в бесконечности. Множество функций Хз(Е) является гильбертовым пространством. Локаэательстно. Выполнение условий Н1, Н2 и НЗ установлено выше. Требуется доказать, что выполняется также условие Н4, т. е.

что пространство функций Ьз(Е) является полным пространством. Пусть (1„)„еи есть произвольная фундаментальная последовательность функций, принадлежащих 1з(Е). Пля всякого и Е М и любого г б М пусть Е„,„есть множество всех точек х б М, для которых [1„(х)] > —. Так как функции ~„интегрируемы, то множество Е„, 1 з при любых и и г измеримо, причем его мера конечна.

Гл. 14. Ряды Фурье н преобразование Фурье 208 Пусть Мо есть объединение множеств Е„„, соответствующих значениям и,т = 1,2,.... Тогда если х ф Мо, то х ф Е„, для любых и и т, и, следовательно, для каждой из функций |„для данного х имеем 1 [Я < — для всех т Е ((. Отсюда вытекает, что при всяком и функция |'„ т обращается в нуль вне множества Мо. Множество Мо является объединением не более чем счетного семейства множеств, мера каждого из которых конечна. Занумеруем множества Е„, произвольным образом, и множество, которое при этом получит номер )з, обозначим символом Е„. Пусть и~ < из < < и), < ...

есть последовательность номеров такая, что при каждом (с для любого и > иь выполняется неравенство 2" 1 Применяя это неравенство к функции ~ = [Д„,~, — |„,[, получим, что при каждом (с = 1, 2,... выполняется неравенство „(х) — |„,(х)[ Ир(х) < | ~/р(Е) Е Отсюда следует, что сумма конечна. В силу теоремы о нормально сходящемся ряде (теорема 4.1 главы 13) отсюда вытекает, что для почти всех х Е Е сходится ряд 5 [1„,+,(х) — У„,(х)[, ь=) (2.3) Существование такой последовательности номеров вытекает из того, что последовательность функций (|„)„е))( является фундаментальной. Пусть Š— измеримое множество такое, что мера Е конечна. ИндакатоР 1тн множества есть фУнкциЯ класса Ез(Е).

Действительно, функция тн интегрируема и [~н(х)[~ = ун(х) для всех х. Для всякой функции 1 Е Аз(Е) интеграл [ Дх) Нр(х) есть скалярное произведение Е функций | и хн, и, значит, для всякой функции |' е Ьз(Е) имеет место неравенство 3 2. Общее понятие ортогональной системы функций 209 Множество Мо является объединением не более чем счетного множества измеримых множеств Е„, мера каждого из которых конечна. Пусть Н„есть множество тех х Е Е„, для которых ряд (2.3) является расходящимся. Тогда Н„есть множество меры нуль. Объединение множеств Н„обозначим через Но. Множество Но пренебрежимо, и для всякого я б Мо ~ Но ряд (2.3) является сходящимся.

Отсюда вытекает, что для всякого х Е Мо, не принадлежащего Но, сходится ряд ~„,(х) + [~„,(х) — 1„,(х) + + [~„,(я) — 1„„ ,(я)] + .... Для этого ряда его й-я частная сумма равна ~„„(х). Следовательно, мы получаем, что для почти всех я б Мо существует конечный предел Бт Х„(т). При э ф Мо этот предел также существует, так как функции У„все обращаются в нуль для таких х. Таким образом, определена функция ~: М -> И такая, что У„,(я) — У(я) для почти всех т Е М. Докажем, что построенная функция ~ принадлежит классу Ьз(Е) и последовательность (У„)„ен сходится к ней в Аз(Е), т. е.

[[ӄ— Дь, — 0 при и — оо. Зададим произвольно е > 0 и найдем по нему номер р такой, что для любых и' > и и и" > й выполняется неравенство 2 Фиксируем произвольно значение и > и. Тогда для достаточно больших значений Й выполняется неравенство е [Яя) — ~„„(х)] Ир(х) < —. При и -+ оо имеем ~„,(я) — Дя) почти всюду.

В силу теоремы Фоп~у (теорема 4.3 главы 13) из последнего неравенства следует, что 62 [|' (я) — Дх)]~ Иы(х) < —. (2.4) М Отсюда следует, что функция ~„— г" б Ьз(Е). Так как У„Е Хз(Е), это позволяет заключить, что ~ =,|'„— (ӄ— У) Е Ьз(Е). Номер и > и был выбран произвольно. Мы получаем, таким образом, что для всех и > й имеет место неравенство ][У. У![ь. «е. В силу произвольности с > 0 из доказанного следует, что [[Л вЂ” Дь, - 0 при и - оо, т. е.

Характеристики

Список файлов книги