1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Применяя равенства (1.3), из (1.5) получаем следующие выражения для коэффициентов вещественной формы тригонометрического полинвма Р: ставления ля ко и центов т игономет ического полинома. Пусть Р есть тригонометрический полипом степени не выше и. Пусть номер к удовлетворяет условию — и < 1с < и. Умножим обе части равенства (1.2) на е '"*. В результате получим з1. Ряды Фурье. Олределениеи предварительные результаты 191 а при й = 1, 2,..., п получим 1 / е 'в*+ е'ь* 1 Г аь = — / Р(х) ггх = — / Р1х) сов йх Ых, 2 х„г' 1 г -е вь*+е'ь* 1 Ьь = — ( Р(х) = — / Р(х)в1пйхг1х. и 21 зг ./ Применим полученный результат к функциям х сов пх, х ~ вш пх.
Получим, что при п, гп = 1,2,... имеют место равенства и 1 1 (1 при п=т, — / совпхсовтхдх = ~ ( О при п~т; 1 Г (1 при п=т, — / вшихвшгпх гзх = ~ 10 при п~т. Для любых натуральных чисел ги и п будем иметь 1 ( — ( соя пх вш тх ггх = О. Заметим, что для любого п Е М имеют место равенства Рассмот им о ин спе дальный т игономет ический полипом. Для произвольного х Е К положим Р„1х) = ) е'~*. и Р„1х) = 1+ 2 ~ сов йх. ьжз 11.6) Отметим некото ые с в о й с т в а полинома Р . Объединяя слагаемые, номера которых равны и и — й при каждом (в = 1, 2,..., п, и принимая во внимание равенство е'ь*+ е '"* = 2 сов йх, получим Гл.
14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 192 использовано в альнейшем. Величина Рп(х) есть сумма 2п + 1 членов геометпричеспой прогрессии, у которой начальный член есть е '"*, а зиаменапзель равен е**. Применяя известную формулу для суммы членов геометпрической прогрессии, получим, что если е'х ф 1, т. е. х не является числом вида 2тттп, где тп — целое число, то имеет место ра- венство ° (и+1)х -зпх Рп(х) = Умножив числитель и знаменатель выражения в правой части это- ГО раВЕНСтВа На Е 'х/2, ПОЛУЧИМ, ЧтО дЛя даННОГО Х в(п+1/2)х -ю(п+1/2)х Рп(х)— Е"/2 — Е 'х/2 Замечаем, что '(и+1/2)х — е *(и+'/2)х = 21'зтп и+ — х, е'х/2 — е 'х/2 = 21з1п —, 2) ' 2' и окончательно приходим к следующему результату: З1П П+ — Х Р„(х) = (1.7) зщ— 2 при х ~ 2тттп, где тп целое и Рп(2хтп) = 2п + 1.
1.2. ПОНЯТИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО РЯ А РЯ ФУРЬЕ ИНТЕГРИРУЕМОЙ ФУНК ИИ Пусть дана функция и: и б Е ип. (Напомним, что символом Е обозначается множество всех целых чисел.) Равенство Функция Рп четна, т. е. Рп( — х) = Рп(х) для каждого х б И. Данное утверждение непосредственно вытекает из равенства (1.6) в силу у * хххюи.Фх хж Укажем некого ое п остое вы ажение ля Р х кото ое б ет З1. Ряды Фурье.
Определениеи предварительные результаты 193 далее означает, что имеет место равенство и = йш 2; 'иь. Если иь и Оп 1 есть вещественные функции, определенные на некотором множестве М, то мы будем говорить, что ряд ип сходитсЯ РавномеРно на множестве М, если фУнкции и>п = 2 иь сходятся к щ равномерно на множестве М при и — оо.
Выражение 2 ип формально представляет собой иную форму записи РЯда ио + ,"1 , '(ип + и и), и Равенство (1.8) означает, что щ есть п=1 сумма этого ряда. тригонометрическим рядом называется всякий ряд вида ао — + ~(ап сов пг + Ьп ып пг), (1.9) п=1 где (ап), и = О, 1,2,..., и (Ьп), и = 1, 2,..., есть произвольные последо- вательности комплексных чисел. Как и в случае тригонометрических полиномов, ряд (1.9) может быть записан в виде со + ~~1 (спе'и*+ с пе 'и*), (1.10) где СО = —, Сп = — (ап — 1Ьп), С „= — (ап + 1Ьп).
2' " 2 " ' " 2 В соответствии с соглашением, сделанным выше, выражение (1.10) может быть представлено также в виде опе'и* (1.11) Ьп = 1(еп — С и). ао = 2со, ап пп сп + с „, Выражение (1.11) будем называть комплексной формой тригонометрического ряда, (1.9) — вещественной формой того же ряда. Коэффициенты вещественной формы тригонометрического ряда определяются по коэффициентам его комплексной формы посредством равенств Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Предположим, что тригонометрическии ряд — + з (аасозпх+Ьасйппх) 2 а=1 (1.12) омерно сходящимся на промежутке (-гг, 1г] и Дх) есть является равномер й о мы яда.
его сумма. начала найд . С найдем коэффициенты комплексно" ф р р Имеем (1.13) Дх) = ~ сае*а* Дх)е * *дх = а а =со е -ааа -Гаа — *ох+ ~ с / е ' е ах+с „~ ' д е ' е х а аа1 а' В силу равенств ( . ) (1.4) слагаемые в правой части этого равенства, для которых и Ф т, ращ Ф обращаются в нуль. В результате получаем г"(х)е 1™ дх = 2лгс | ~ т г при любом целом т.
Отсюда са = — г(х)е '"*дх. 2п (1.14) аа =2,аа=са+с „,Ьа= П инимэя во внимание равенства ао — — 2сс, аа = са + с „, = 1(са — с а), получаем выражения для коэфф ц рин м оэ и иентов вещественнои формы данного тригонометрического ряда: 1 аа = — г(х)созпхдх, и=0,1,2,..., (1.15) Ьа = — / Дх)згппхдх, и = 1,2, 1 г Ф нкция ~ непрерывна. Умножив все члены ряда, . а (1.13) на е ' ункция неп гп — произвольное целое число, в силу р гиео еи об'интпеерироваиии где гп — р 12 пол чим, что имеет мефункциональных рядов, доказанных в главе, у сто равенство З 1.
Ряды Фурье. Определение и предварительные результаты 195 Пусть |': К -~ К есть произвольная 2т-периодическая функция, интегрируемая на промежутке [-т, 1г]. Интегрируемость в этой главе понимается в смысле определений главы 13, т. е. как интегрируемость в смысле Лебега. Тригонометрический ряд — + 7 [а„соз пх + Ь„21л пх) = ~ с„е'"* 2 ттж1 тг — гю ° Лемма 1.1. Пусть (": К вЂ” К есть 2я-периодическая функция. Тогда если существует р Е К такое, что функция ~ интегрируема ло промежутку [р — т, р+ я], то |' интегрируема по любому ограниченному промежутку [а, Ь] С К, и для всякого отрезка [а, Ь] такого, что Ь-а = 2я, выполняется равенство ь тг | )[х) гзх = ([х) г(х. (1.1б) Яоказательство. Для всякого х Е К найдется целое число и тах-р+я кое что т « т+ 1.
Тогда 2тт — гг < х — р < 2тт+ т т 2т и, значит, х принадлежит промежутку [[р + 2тя) — 1г, [р+ 2тгг) + т]. Производя в интеграле (р+2тгттг)+тг У[х) дх (р+2тгттг)-тг замену переменной по формуле х = 2 + 2тя, получим (р+2тггтг)+тг р+ тг Дх) г(х = Д(+ 2тя) г11. (р+2тгттт)-тг называется рядо.а Фурье функции (, если его коэффициенты выражаются через эту функцию по формулам (1.15) и [1.14) соответственно. Из доказанного следует, что если тригонометрический ряд сходится равномерно на промежутке [-т, гг], то он является рядом Фурье Следующая лемма будет использоваться при изучении вопроса о сходимости ряда Фурье функции. Гл.
14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 19б ь ь, ь | ~(х) Нх = Дх) Нх+ Ях) Их. а О ь, (1.17) Заметим, что Ьь — 2я = ад, а Ь вЂ” 2я = а. После замены переменной по формуле х = 1+ 2я в силу 2я-периодичности функции ~ второй интеграл в равенстве (1.17) преобразуется в интеграл от функции У по промежутку [аь, 6].
В результате будем иметь ь ь, а ь1 | Дх) ььх = Дх) Их + Дх) Нх = Ях) Нх. а а О1 О1 Аналогично устанавливается справедливость последнего равенствавсл чае ког ас с. Интеграл функции ~ по промежутку [аь, 61], как показано выше, равен интегралу по промежутку [р — х, р+ х]. Таким образом, для всякого промежутка длины 2я интеграл функции ~ по этому промежутку равен интегралу по промежутку [р — к, р+и].
В частности, интегралы данной функции ~ по промежуткам [-я,к] и [р — я,р+ я] равны между собой. Отсюда следует равенство (1.1б). Лемма доказана. ° Так как функция ~ имеет период, равный 2я, то Д1+ 2тя) = Д1), и, следовательно, мы получаем, что функция 1 интегрируема по любому промежутку вида [(р+2тя) — я, (р+2пья)+я], причем ее интеграл по этому промежутку равен интегралу этой же функции по промежутку [р — я, р+ я].
Так как всякий промежуток [а, Ь], где а и Ь конечны, покрывается конечным числом промежутков вида [(р+ 2тя) — я, (р+2тя)+ к], где пь — целое число, то, значит, функция У интегрируема по любому такому промежутку [а, Ь]. Теперь предположим, что промежуток [а,Ь] удовлетворяет услоа+6 вию Ь вЂ” а = 2х. Положим с = . Найдется целое т такое, что 2 (р+ 2тя) — и < с < (р+ 2тя) + я. Вв ем обозначения: аь — — р + (2т — 1)я, 61 — — р + (2гл + 1)я, сь — — р+ 2тя. Если с1 — — с, то промежутки [а1, Ьь] и [а, Ь] совпадают.
Будем считать, что сь ~ с. П оложим что с < с. Тогда а1 < а и Ьь < 6. При этом Ьь б [а, Ь]. В силу свойства аддитивности интеграла как функции множества имеем В 1. Ряды Фурье. Определение и предварительные результаты 197 1.3. ТЕОРЕМА РИМАНА — ЛЕБЕГА И ЕЕ СЛЕИСТВИя Докажем теорему, играющую ключевую роль в дальнейших рассуждениях. ° Теорема 1.1 1теорема Римана — Лебега). Пусть ~: К вЂ” К— интегрируемая функция. Для произвольного Л б К положим г'1Л) = 11х)е' *Их. Тогда величина г [Л) будет определена для всех Л б К, причем 1пп Р[Л) = О. 1Л~ оо Доказательство.
Зададим произвольно е > О. Согласно определению интегрируемой функции 1см. главу 13) по нему найдется ступенчатал функция 1о такая, что 11.18) 2 Положим ф[Л) ~р1х)е~лз ~1х ~р1х)еюлж Цх Имеем Ю[х) = ~~~ ЬЛХ,[х), ь=з где аы й = 1, 2,..., гл, есть полуинтервалы в множестве К, аь = [аы Ьь) при каждом 7с. Для всякого Л Е К имеем /Р[Л) — ф(Л)[ ( [[11х) — 1о[х))е'"*! Их = 2 Гл.
14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 198 О еним величин Ф Л . Эта оценка облегчается тем обстоятельством, что величина Ф(Л) может быть вычислена явно. Получаем о$ вв ыьв влаа ор) = Т а, / "" а* = Т а, ' в=в вю1 ав (1.19) При ~Л~ -+ оо правая часть равенства (1.19) стремится к пределу, ваном н лю, т. е. Р У У Бпз Ф(Л) = О. Щ оо Отсюда следует, что найдется Ьо > О такое, что при ~Л~ > Ьо выполняет авенство ся нер )Ф(Л)~ Для всякого Л такого, что ~Л) > Ьо, имеем 1~( )! ~ 1~( ) - ( )1+ 1~( )! -+ 9 = ~. Так как в > О произвольно, то тем самым установлено, что 1пп Р(Л) = О.
~Л~-~оо Теорема доказана. ° Следствие 1. Пусть ~: И -+ вв есть интегрируемая функция. Тогда 1пп ~(х)в1пЛхсЬ = 1пп 1' ~(х)совЛхдх = О. А- оо,/ А-~ оо,~ Доказательство. Пусть Р(Л) = Дх)еы* Их. Следствие 1 доказано. Согласно теореме 1.1 при ~Л~ -+ оо величина Г(Л) стремится к нулю. Отсюда следует, что при Л -+ оо также и КеЩЛ)) — О и 1пзЩЛ)) ~ О. Для данной функции (, очевидно, оо оо КеЩЛ)) = 1(х) сов Лх сЬ, 1пзЩЛ)) = у(х) вш Лх дх. оо — оо з 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
