1610912312-9df1f4ce71ce8d14c4cc45dd00711797 (824699), страница 40
Текст из файла (страница 40)
последовательность (~„)„ен сходится к функции ~ в Ьз(Е). Теорема доказана. ° Гл. 14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 210 2.2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА Дх)д(х) ах. Как следует из теоремы 2.1, совокупность функций Тз([-х, л]) есть гильбертово пространство. Из равенств (1.15) из З1 вытекает, что последовательность функций 1 —, созх, япх, соз2х, яп2х, ..., сових, яд их, 2' является ортогональной в пространстве Тз([-к, к]. ° Лемма 2.3. Пусть Х есть гильбертово пространство и (хы хз~...
~ хь) — конечная ортогональная система векторов из Х такая, что ]]хг][ ~~ 0 при каждом 1 = 1, 2,..., н. Тогда векторы х; линейно независимы. Если х Е Х есть линейная комбинация векторов х;, х = 2,' Л;х;, то 1юз (х, х;) ][хдз (2.5) Пусть дано произвольное гильбертово пространство Х, (х, у) есть скалярное произведение в этом пространстве, ][х[[ = ~/(х, х) — норма вектора х Е Х. Говорят, что векторы х,у е Х ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Ортогональной системой векторов пространства Х называется всякая последовательность (х„) „ен векторов пространства Х такая, что для любых двух различных номеров о1 и оз векторы х„, и х„, ортогональны.
Если при этом ][х„][ = 1 при каждом о, то говорят, что (х„), о = 1,2,..., есть ортонормальная система векторов. В качестве и р и м е р а рассмотрим случай, когда Х есть множество всех измеримых 2х-периодических функций, интегрируемых с квадратом на промежутке [-к,х]. Это множество функций далее обозначается символом Тз([ — к, к]). Скалярное произведение (~, д) двух функций ~,д Н Хз([ — гг, х]) есть интеграл З 2. Общее понятие ортогональной системы функций при «ажпом г = 1, 2,..., и и имеет место равенство 211 Доказательство.
Пусть функция х является линейной комбинацией векторов х;, ю = 1, 2,..., п, х = 2; Л;х;, где Лы Лз,..., ˄— веще~ш1 ственные числа. При каждом у = 1, 2,..., и имеем равенство (х,х ) = ~Л;(х;,х,). Так как векторы х; образуют ортогональную систему, то все слагаемые в последней сумме, для которых 1 ~ ~', обращаются в нуль и, следовательно, (х,х ) = Л (х,х ) = Л Ях.)~)з. Отсюда получаем, что Л; = ' ', и равенство (2.5) тем самым доказано.
йхц02 ' х= ,'~ Лх;. Тогда, используя свойства скалярного произведения в Х, получим и и Цхи'=(х,х) =~"> Л;Л,(;,х;). в=1 1ю1 Слагаемые, для которых г ~ 1 в двойной сумме, стоящей справа, все равны нулю. Имеем также (х;, х;) = ЯхД)з. В результате полу- чаем ЙхО = ~~~ Л~ОхД~. ° =1 Таким образом, доказано первое из равенств (2.6).
Подставляя в него выражение для коэффициентов Л;, которое дается равенством (2.5), получим второе из этих равенств. Лемма доказана. ° В частности получаем, что если 2, Л;х; = О, то Л, = О для всех ° =1 ~ = 1,2,..., п. Это доказывает, что векторы х;, ~ = 1, 2,..., и, линейно независимы. Пусть Гл.
14. Ряды Фурье и преобразование Фурье 212 ]]х„]] ию1 (2.7) конечна, то ряд ~', х„является сходящимся в Х. Если Х есть его сумма, то ]]Х]] = ~ ]]х„]]~. (2.8) Локлзательство. Предположим, что последовательность векторов (х„)„ен удовлетворяет условиям теоремы. Зададим произвольно в > О и найдем по нему номер х Е Х такой, что для любого т > 7с выполняется неравенство Функции хь, хь» и..., х образуют ортогональную систему. Применим равенство (2.6) леммы 2.2, полагая в нем Л1 — — Лз — — —— Л„= 1.
Получим, что для всякого т > х Хи Так как е > О произвольно, то, следовательно, для ряда [х„]„ен выполняется условие Коши — Бвлъиано сходимвсти рида в пространстве Х. Так как Х есть полное пространство, то, значит, ряд [х„]„еи является сходящимся в Х. Пусть Х есть его сумма. н Положим Х„= ,'[ х„для и Е Х. Применяя равенство (2.6) к слуи=1 чаю, когда Й = 1, а т = н,получим,что При н -~ оо имеем ]]Х„]] -+ ]]Х]].
В результате приходим к равен- ству ]]Х]]~ = 1пп ]]Х„]]~ = 1пп ~~> ][х„]]~ = ,'~ ]]хД~. и=1 и=1 Отсюда следует (2.8). Теорема доказана. ° ° Теорема 2.2. Пусть (х„)„ен есть ортогональная система векторов в гильбертовом пространстве Х. Тогда если сумма З 2. Общее понятие ортогональной системы функлнй 213 Рассмот им воп ос о аэложении векто ов гульбе това п ест ан- ства Х в я по некто ам об аз ющим некото ю о тогональн ю сис- тем векто ов.
(2.9) Тогда ряд (Л„х ]„еп является сходяпгнмся в Х. При этом имеет место неравенство ]]х]]з > ,'~ Лз]]х„]]з. «=з (2.10) Если х есть сумма ряда (Л х„]„еи, то вектор В = х — х ортогонален вектору х„лрн каждом и = 1, 2,.... 3 а м е ч а н и е. Неравенство (2.10) называется иераееистпеом Бесселя.
Доказательство теоремы. Пусть выполнены все условия теоремы, и, в частности, числа Л„определены для вектора х б Х, как п указано в формулировке теоремы. Положим Я„= х — 2 Л„х„. Для каждого номера к такого, что 1 < к < п, имеем я (Я„, хь) = (х, хь) — ~~~ Л„(х„, хь). (2.11) «=1 В силу ортогональности последовательности векторов (х„)„ен величина(х„,хь) обращается в нуль при и ~ /с. В сумме, стоящей в равенстве (2.11) справа, слагаемые, для которых и ~ /с, обращаются в нуль. Мы получаем, что для всякого х = 1, 2,..., и выполняется равенство (Л хь) — (х хь) Ль]]хь]]~ В силу (2.9) отсюда следует, что (Л„, хь) = 0 для любого такого к.
Таким образом, мы получаем, что векторы Л1хмЛзхз,...,Л„х„ и Л„образуют ортогональную систему. Применяя равенство (2.6) леммы 2.2 к этой системе векторов, получим ]]х]]~ = ,'> Л~]]х„]]~ + ]]Л„]]~. «=1 ° Теорема 2.2. Пусть (х„)„ен есть ортогональная система векторов пространства Х, х — произвольный вектор Х. Предположим, что ]]х„]] ф. 0 лрн каждом и, и пусть 214 Гл.
14. Ряды Фурье и преобразование Фурье Отсюда заключаем, что ]]х[[з > 2 Л~][х„][з при каждом и и, следоваи=1 тельно, ~', ЛЯх [[з < ][х[[з. В силу теоремы 2.2 это позволяет заклюю=1 чить, что ряд [Л„х„]„ен сходится. Пусть х„есть п-я частная сумма этого ряда. Тогда при каждом п б Я имеем В„= ж — х„. Возьмем произвольно номер и > 1.
Имеем, очевидно, ](В,ж„) — (В„,х„)! = [( — В„,х„)! < [] — В„]][[х ]!. (2.12) При и — оо имеем [[ — В„]! = ][х — х„]! -+ О. При и > и, как доказано выше, имеет место равенство (В„, х„) = О. Из соотношения (2.12) поэтому следует, что (В,х„) = О. Так как номер и б Я был выбран произвольно, то тем самым теорема доказана. ° Пусть (х„)„ен есть ортогональная система векторов пространства Х такал, что х„~ О для всех и б М.
Говорят, что ортогональная система (х„)„ен является полной в арвсшрансшве Х, если всякий вектор э Е Х, ортогональный каждому из векторов х, равен нулю. Следствие. Если (х„)„ен есть полная ортогональная система векторов, то для всякого вектора х б Х имеет место равенство х=~ Л„х, где числа Л„определяются из равенств (2.9).
В этом случае имеет место равенство ]]х]! Е Л ]]х ]! (2.13) 3 а м е ч а н и е. Равенство (2.13) называется равеисшввм Парсе- валя. ллокаэательстно следствия. Согласно теореме 2.3 ряд [Л„х„] ен является сходящимся в пространстве Х. Если х есть его сумма, то в силу теоремы 2.3 разность з = ж — х ортогональна каждому из векторов ж„. Так как (х,)„еи есть полная ортогональная система векторов пространства Х, то отсюда следует, что з = О, т. е.
х = ~, Л„х„. и=1 Справедливость равенства (2.12) вытекает из теоремы 2.2. Следствие доказано. Т з 2. Общее понятие ортогональной системы функций 215 2.3. ПОЛНОТА ОРТОГОНАЛЬНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Ф КО~ Й Пусть 1: К вЂ” К вЂ” произвольная 2к-периодическая функция на множестве К. Предположим, что функция 1 измерима и ее квадрат есть интегрируемая функция. Совокупность всех таких функций У обозначим символом Ьз([ — я, я]). Для произвольной функции Х б Ьз([ — |г, я]) полагаем я [[Дь, = [1(х)] дх Множество функций Ьз([ — л, к]), как было показано в п.
2.1, представляет собой гильбертово пространство. Скалярное произведение функций в этом пространстве определяется равенством (1,д) = Дх)д(х) дх. Норма произвольной функции 1 б 1,з([ — к, к]) определяется равенством Две функции 1 б Ьз([ — к, к]) и д б Ьз([-к,я]), совпадающие почти всюду, рассматриваются как один и тот же элемент пространства 1'2([ я1 я]). ° Лемма 2.4. Для всякой функции г' б Ьз([ — к, я]) сугцествует последовательность тригонометрических полнномов (Р„)„ен такая, что ]]У вЂ” Р„][г, — 0 при и — оо. Доказательство. Доказательство осуществляется в несколько шагов. На первом шаге мы строим ограниченную функцию, близкую к Х в Ьз([-я, л]).
На втором шаге построения ограниченная интегрируемая функция приближается ступенчатой функцией, финитной относительно интервала ( — л, л). Далее, для построенной ступенчатой функции находится близкая к ней непрерывная функция, обращающаяся в нуль в точках — к и я. Для полученной непрерывной функции — по теореме Вейергитрасса для периодических функций (глава 12, теорема 7.3) — существует Гл. 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
